ЛЕКЦИЯ 4 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ Функция распределения полностью описывает

ЛЕКЦИЯ 4 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ Функция распределения полностью описывает случайную величину. Однако часто можно ограничиться более простыми характеристиками. Одной из важнейших характеристик случайной величины является её среднее значение или математическое ожидание. Пусть, например, Тогда математическое ожидание определяется формулой Если вероятности Вычисляется по формуле случайной величины отличны от 1/N , то среднее значение

2 , Математическим ожиданием случайной величины заданной на дискретном вероятностном пространстве с , называется число (1) Математическим ожиданием непрерывной многомерной случайной величины , заданной на непрерывном вероятностном пространстве Ù , Р) , называется число (2) Для одномерной непрерывной случайной величины равенство (2) упрощается (3) Воспользовавшись выражениями (1) – (3), вычислим математические ожидания случайных величин, имеющих распределения, приведённые на предыдущей лекции.

1. Равномерный закон распределения Подставляя плотность распределения вероятности при равномерном законе распределения в формулу (3), получим 3 2. Нормальный закон распределения Подставляя плотность распределения вероятности при нормальном законе распределения в формулу (3), получим Сделаем замену переменной интеграла Тогда интеграл разбивается на два Первый интеграл в этой сумме равен нулю, так как под интегралам стоит нечётная функция, а интегрирование происходит от до +. Второе слагаемое в этой сумме равно , так как интеграл, являющийся множителем у , равен единице в силу второго свойства плотности распределения вероятности.

3. Показательный закон распределения Подставляя плотность распределения вероятности при показательном законе распределения в формулу (3), учитывая нулевое значение плотности при отрицательных значениях независимой переменной, получим 4 Интегрируя это выражение по частям, имеем так как второе слагаемое равно нулю на нижнем и верхнем пределах. 4. Пуассоновский закон распределения Подставляя выражение вероятности при пуассоновском законе распределения в формулу (1), получим

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ Теорема 1. Математическое ожидание имеет следующие свойства : 1. Если С – постоянная, то МС = С. 2. Если С – постоянная, то 3. 4. Для любых случайных величин 5. Если случайные величины независимы, то Свойства 1 – 4 следуют из аддитивных свойств сумм и интегралов. Докажем свойство 5. Если независимые случайные величины, то плотность распределения Вероятности системы случайных величин равна произведению плотностей Распределения вероятностей отдельных случайных величин Поэтому 5

6 ДИСПЕРСИЯ Дисперсией случайной величины называется число (4) Дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины около её математического ожидания. Величину называют средне квадратичным отклонением. Если воспользоваться свойствами математического ожидания, то правую часть (4) можно преобразовать , т. е. (5) Для дискретных и непрерывных случайных величин выражения дисперсии имеют вид (6) (7) Воспользовавшись выражениями (4) – (7), вычислим дисперсии случайных величин, имеющих распределения, приведённые на предыдущей лекции.

1. Равномерный закон распределения Подставляя плотность распределения вероятности и математическое ожидание при равномерном законе распределения в равенство (7), получим 7 2. Нормальный закон распределения Подставляя плотность распределения вероятности и математическое ожидание при нормальном законе распределения в равенство (7), получим Делая замену переменных и интегрируя по частям, находим 3. Пуассоновский закон распределения Подставляя плотность распределения вероятности и математическое ожидание при пуассоновском законе распределения в равенство (6), получим

Предполагая, что случайная величина распределения, вычислим имеет пуассоновский закон 8 Так как с другой стороны то, сопоставляя эти равенства, имеем Подставляя эти выражения в (5) , находим СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ Теорема 2. Дисперсия обладает свойствами: 1. Для любой случайной величины 2. Если С постоянная, то 3. Если С постоянная, то 4. Если случайные величины независимы, то Свойства 1 – 4 следуют непосредственно из определения и свойств математического ожидания. Докажем свойство 4.

9 По определению дисперсии Перегруппировывая слагаемые а правой части равенства, используя свойства математического ожидания, имеем Отсюда, так как случайные величины независимы и то МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Моментом порядка k случайной величины называется число Центральным моментом порядка k случайной величины число называется

10 КОВАРИАЦИЯ Ковариацией случайных величин называется выражение (8) Она характеризует зависимость случайных величин друг от друга. Если случайные величины не зависят друг от друга, то = 0. Это было доказано при рассмотрении 4 -ого свойства дисперсии. Из определения ковариации (8), используя свойства математического ожидания, можно получить ещё одно выражение для ковариации Очевидно, что Нетрудно также проверить следующие равенства , = , где С – любая постоянная. С учётом возможной зависимости случайных величин друг от друга выражение Для дисперсии суммы случайных величин принимает вид =С

11 КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ Коэффициент корреляции определяется равенством По-существу, коэффициент корреляции есть нормированная ковариация. Он тоже характеризует зависимость случайных величин друг от друга, но благодаря нормировки имеет удобные для анализа свойства 1. 2. Если и независимы, то =0. 3. Если между случайными величинами существует линейная связь где А и В - постоянные, то Если для каждого возможного значения определено условное математическое ожидание величины то функция называется регрессией величины по , а её график – линией регрессии по .