ЛЕКЦИЯ 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

ЛЕКЦИЯ 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Математическое моделирование. АКТУАЛЬНОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. Использование научных знаний конкретных практических задач. для решения Общенаучное значение математического моделирования. Возможность сравнения выводов теории с результатами измерений.

Математическое моделирование. СВОЙСТВА ОБЪЕКТА И ИХ ИЗМЕРЕНИЯ. Любой объект имеет множество свойств. Математическое моделирование связано с отражением количественных характеристик свойств объекта или процесса. Количественное выражение какого-либо свойства это параметр объекта. Свойства объекта можно представить в виде системы параметров, только в том случае, если они измеримы.

Математическое моделирование. ИЗМЕРЕНИЯ В МОДЕЛИРОВАНИИ. Получение количественных характеристик свойств требует их измерение. При измерении свойств наблюдаемому состоянию объекта ставится в соответствие: число, номер, знак, символ. Измерения свойств связаны с какой-либо шкалой.

Математическое моделирование. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ШКАЛЫ. Шкала наименований. Определение принадлежности результата наименований измерения к данному классу и запись этого с помощью определенного обозначения. Порядковая шкала. Измерения дают возможность в каком-либо отношении сравнивать разные классы. Шкала интервалов. При измерении становятся известны «расстояния» между любыми классами. Абсолютная шкала имеет абсолютный нуль и абсолютную единицу. Абсолютная шкала безразмерна.

Математическое моделирование. ПОНЯТИЕ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Математическая модель – это математический объект, который по своим свойствам подобен объекту-оригиналу. Связи между реальными объектами заменены подходящими отношениями между математическими объектами и параметрами. Математическая модель отражает количественные характеристики процессов в объекте, следовательно, она отражает соотношения между параметрами объекта: Входные параметры Выходные параметры Внутренние параметры

Математическое моделирование. Объект моделирования характеризуется: совокупностью входных управляющих воздействий: совокупностью воздействий окружающей среды: совокупностью внутренних независимых параметров: совокупностью внутренних зависимых параметров: совокупностью выходных параметров системы:

Математическое моделирование. ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. Возможные способы построения математических моделей: на основе законов, описывающих протекающие в объекте процессы, но с использованием эмпирических соотношений. путем идентификации модели или ее параметров - с помощью статистической обработки результатов измерений (например, модель типа «черный ящик» ). на основе композиции моделей элементов.

Математическое моделирование. ОБЩИЙ ВИД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ: Данные уравнения устанавливают группами параметров: q q зависимость между двумя параметры окружающей среды, параметры внешних воздействий и независимые внутренние параметры; выходные параметры и внутренние зависимые параметры. Уравнения дополняются начальными условиями, которые определяют состояние объекта в момент времени t = 0.

Математическое моделирование. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Построение содержательной (концептуальной) модели. Задача моделирования строится как задача какой-либо предметной области. Формулировка допущений и ограничений. Формализация описания объекта. Выбор класса математических объектов, которые могут отражать свойства объекта. Определение значений параметров модели на основе обработки результатов наблюдений или эмпирических законов. Верификация модели (сопоставление модельных результатов с наблюдаемой действительностью, и статистическая оценка адекватности). Уточнение модели. Применение модели для решения практических задач.

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Математическое моделирование. МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ В СРЕДЕ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ. Допущения, принятые при построении модели: 1. Тело правильной геометрической формы, например шар. 2. Масса тела – постоянная величина. 3. В процессе движения форма тела не изменяется. 4. Плотность тела существенно выше плотности окружающей среды, силой Архимеда можно пренебречь. 5. Вращение тела отсутствует. 6. Сила сопротивления линейно зависит от скорости движения тела. 7. Сила притяжения – постоянная величина. Вывод: тело можно считать материальной точкой, движение которой описывается на основе второго закона Ньютона. Цель моделирования: определить закономерность изменения скорости движения тела во времени.

Математическое моделирование. Математическая модель движения тела. F=kv P=mg x

Математическое моделирование. ТЕПЛОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТЕЛА С ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДОЙ. Имеется нагретое тело. В начальный момент времени температура тела больше температуры окружающей среды: Скорость распространения тепла внутри тела за счет теплопроводности много больше скорости теплоотдачи в окружающую среду. Задача моделирования состоит в установлении закона изменения температуры тела T(t). Модель процесса строится на основе закона сохранения энергии в форме уравнения теплового баланса.

Безразмерные модели и подобие.

Математическое моделирование. Математическая модель движения тела. F=kv P=mg x

Математическое моделирование. АКТУАЛЬНОСТЬ ПОСТРОЕНИЯ БЕЗРАЗМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ. Большое количество параметров модели затрудняет анализ результатов моделирования. Необходимость повышения информативности вычислительного эксперимента, установления законов подобия для целого класса процессов или явлений.

Математическое моделирование. Суть метода построения безразмерных моделей: 1. Построение модели. 2. Определение безразмерных переменных. 3. Преобразование модели к безразмерному виду. 4. Определение масштабов. Результаты исследования безразмерной модели распространяются на множество реальных размерных моделей, для которых безразмерные параметры имеют одно и тоже значение.

Математическое моделирование. ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ БЕЗРАЗМЕРНОЙ МОДЕЛИ. Построение модели: Определение безразмерных переменных: Преобразование модели: Определение масштабов:

Математическое моделирование. БЕЗРАЗМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В СРЕДЕ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ. Все процессы с одинаковым значением параметра сводятся к одной и той же безразмерной модели. подобны и

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ. 1. Получение и исследование аналитического (возможно для простейших линейных моделей). решения 2. Получение приближенного решения (инженерный подход). 3. Получение асимптотического решения разложения по малому параметру). 4. Применение качественных методов анализа. 5. Применение численных методов моделирования и проведение численного эксперимента. (применение

Численные методы моделирования. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ: 1. Устойчивость метода. Неустойчивый метод приводит к накоплению погрешности вычислений. Признак неустойчивости – решение имеет пилообразный вид, амплитуда достигает предельных порядков. 2. Порядок метода. Любой численный метод имеет характеризует погрешность метода. порядок точности, который Проблема моделирования – необходимо выбрать численный метод, точность которого, соответствует точности постановки задачи моделирования.

Численные методы моделирования. 3. Скорость сходимости метода. При увеличении числа шагов до бесконечности решение задачи стремится к точному решению. Каждый метод имеет свою скорость сходимости, которая определяет компьютерное время реализации модели.

Численные методы моделирования. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. ЗАДАЧА КОШИ. 0 tn tn+1 t

Численные методы моделирования. В момент tn значение yn известно, требуется построить метод вычисления yn+1. Проинтегрируем исходное уравнение:

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ. Для вычисления интеграла в (1) применим метод прямоугольников:

Численные методы моделирования. Характеристики метода: • Первый порядок точности, метод прост в реализации. • Условно устойчив, для обеспечения устойчивости необходимо выбирать шаг интегрирования достаточно малым.

Численные методы моделирования. Для вычисления интеграла по формуле (1) также применим метод прямоугольников:

Численные методы моделирования. ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕТОДА: Метод первого порядка точности; • Метод безусловно устойчив • Вычисления по формуле (3) в общем случае требуют итераций. •

Численные методы моделирования. Для вычисления интеграла (1) применим метод трапеций:

Численные методы моделирования. Реализация метода выполняется в 2 этапа: 1. Вычисляется вспомогательное значение y по явному методу Эйлера 2. Вычисляется окончательное решение

Численные методы моделирования. ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕТОДА: • • Второй порядок точности. Практически устойчив.