Лекция 4 Логические основы построения компьютеров. Учебные вопросы. 1. Элементы теории множеств. 2. Элементы математической логики. 3. Логические схемы элементов компьютера. 1
1. Элементы теории множеств. Понятие множества относится к фундаментальным, базовым понятиям математики. Точного определения этого понятия не существует. Определение. Множеством называют совокупность элементов, объединенных по некоторому общему признаку. Примеры: множество студентов Куб. ГАУ, множество целых положительных чисел, множество жителей планеты Земля. ва. алфавита, а элементы множеств соответствующими малыми буквами с нижними индексами, «нумерующими» сами элементы. Например, множество А = {a 1, а 2, . . . , аn. . . } содержит элементы а 1, a 2…, an, …. Если элемент а принадлежит множеству А, то пишется а А. Определение. Множество В называют подмножеством множества А, если каждый элемент В является также и элементом множества А. Этот факт будем обозначать А В. (Читается: «Множество А включает множество В» , или «В является подмножеством множества А» . ) 2
Определение. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством. Пустое множество является подмножеством любого множества. Пустое множество обозначают символом . Множества могут содержать конечное или бесконечное число элементов. , В первом случае их называют конечными, во втором бесконечными. Например, множество студентов в группе – конечное, а множество целых положительных чисел, кратных 3 - бесконечное. Существует ряд операций над множествами, с помощью которых из одних множеств можно получать (строить) другие множества. Рассмотрим эти операции. Пусть имеются множества: А = {a 1, а 2, . . . , аn. . . } и В = {b 1, b 2, . . . , n. . . } 3
Рис 1. иллюстрирует операцию объединения множеств А, В. А+В. Рис. 1. Объединение множеств А и В Пример. А={1, 3, 5}, B={4, 7, 1, 3}, тогда A+B={1, 3, 5, 4, 7} 4
Определение. Пересечением (или произведением) двух множеств А и В называют третье множество С, которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А и множеству В. Пересечение двух множеств А и В обозначается A В или А·В. Пишется С= A В или С=А·В. Рис 2. иллюстрирует операцию пересечения множеств А, В. А·В Рис. 2. Пересечение множеств А и В. Пример. А={1, 3, 5}, B={4, 7, 1, 3}, тогда A·B={1, 3} 5
Определение. Разностью множеств В и А называют множество, состоящие из тех элементов множества В, которые не принадлежат А. Разность множеств В и А обозначается ВА. Рисунок 3. иллюстрирует разность множеств В и А. Рис. 3. Разность множеств В и А. Пример. А={1, 3, 5}, B={4, 7, 1, 3}, тогда A/B={5} 6
Свойства операций над множествами: 1. A+В = В+А -коммутативность объединения множеств. 2. А · В = В · А -коммутативность пересечения множеств. 3. A+(B+C)=(A+B)+C -ассоциативность объединения множеств. 4. А ·(В · С)=(А · В) · С -ассоциативность пересечения множеств. 5. A·(B+C)=A·B+А·C- дистрибутивность пересечения относительно объединения. 6. A+(B·C)=(A+B) ·(А+C) - дистрибутивность объединения относительно пересечения. 7. Пусть имеются множества: 8. А = {a 1, а 2, . . . , аn. . . } и В = {b 1, b 2, . . . , bn, . . . } 9. Определение. Декартовым произведением множеств А и В называют множество С вида С={< a 1, b 1 >, < a 1, b 2 >, < a 1, bn >, . . . , < a 2, b 1 >, < a 2, b 2 >, …< a 2, bn >, . . . , }, элементами которого являются всевозможные пары (двойки) элементов множеств А и В. 10. Декартово произведение множеств Х и Y обозначается: Аx. В, то есть С=Аx. В. 11. Пара (двойка) является упорядоченной, то есть порядок элементов в ней имеет существенное значение, иными словами, пара <a, b> не равна паре <b, a>, т. е. декартовое произведение в общем случаев не коммутативно. 7
Примеры декартового произведения. 1. Пусть имеются множества: А = {1, 3, 6} и В = {3, 7}, тогда Аx. В= {<1, 3 >, <1, 7 >, <3, 3 >, <3, 7 >, <6, 3 >, <6, 7 >} 2. Пусть А={Иванов, Петров}, В={высокий, сероглазый, толстый}. Тогда Ах. В ={<Иванов, высокий>, <Иванов, сероглазый>, <Иванов, толстый, <Петров, высокий>, <Петров, сероглазый>, <Петров, толстый>}. 2. Элементы математической логики. Определение. Высказыванием называется утверждение, о котором объективно можно сказать, что оно либо истинно, либо ложно. Пример, «Москва - столица Франции» , «Корень квадратный из 36 равен б» , «Все лошади имеют по четыре ноги» и т. д. Эти высказывания объединяет лишь то, что они либо истинны, либо ложны. В дальнейшем нас будет интересовать не содержательная, а формальная сторона высказываний, , то есть истинно высказывание или ложно, и как это проверить. Таким образом, в дальнейшем не принимается во внимание смысла высказываний. 8
Определение. Высказыванием называется простым, если оно содержит только одно утверждение. Определение. Высказывание называется составным (сложным), если оно образовано из простых высказываний с помощью грамматических связок и, или, не, …если, то…, необходимо и достаточно и т. д. Пример. Число 20 кратно числам 4 и 5 – составное высказывание. Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В, С. Высказывание может иметь только одно логическое значение истина или ложь. Истина обозначается числом 1 или буквой И, ложь – числом 0 или буквой Л. Логические операции над высказываниями. Определение. Отрицанием заданного высказывания А называется другое высказывание, обозначаемое символом , являющееся истинным, если исходное высказывание ложно, и ложным в противном случае. Пример. А={Карась – рыба. }, = {Карась - не рыба}. Отрицание соответствует частице «не» . Отрицание читается не А. 9
Таблица истинности для операции отрицания А 1 0 0 1 Определение. Дизъюнкцией высказываний А, В называется новое высказывание, являющееся ложным лишь в случае ложности обоих высказываний А, В и истинным во всех остальных случаях. Дизъюнкция обозначается символом А+В или А В. Дизъюнкция соответствует союзу «или» . А+В читается А или В. Пример. Пусть высказывание А= {Число 10 кратно 2}, а высказывание В= { Число 10 кратно 5 }. Тогда дизъюнкция заданных высказываний А+В= { Число 10 кратно 2 или 5 }. Таблица истинности для операции дизъюнкция А В А+В 1 0 1 1 0 0 1 1 10
Определение. Конъюнкцией высказываний А, В называется новое высказывание, являющееся истинным лишь в случае истинности обоих высказываний А, В и ложным во всех остальных случаях. Конъюнкция обозначается символом А·В или А В. Конъюнкция соответствует союзу «и» . А·В читается А и В. Пример. Пусть высказывание А= {Число 10 кратно 2}, а высказывание В= { Число 10 кратно 5 }. Тогда конъюнкция заданных высказываний А·В = { Число 10 кратно 2 и 5 }. Таблица истинности для операции конъюнкция А В А • В 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 11
Определение. Импликацией высказываний А, В называется новое высказывание, являющееся ложным лишь в случае, когда А истинно, а В ложно и истинным во всех остальных случаях. Импликация обозначается символом А→В. Импликация читается если А, то В. Таблица истинности для операции импликация А В А→В 1 0 0 1 1 Определение. Эквиваленцией высказываний А, В называется новое высказывание, являющееся истинным лишь в случае, когда А и В имеют одинаковый логический смысл и ложным во остальных случаях. Эквивалеция обозначается символом А~В и читается А тогда и только тогда, когда В. 12
Таблица истинности для операции эквиваленция А В А~В 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 Определение. Строгой дизъюнкцией высказываний А, В называется новое высказывание, являющееся истинным лишь в случае, когда А и В имеют противоположный логический смысл и ложным в остальных случаях. Строгая дизъюнкция обозначается символом А В и читается А или строго В. Таблица истинности для операции строгая дизъюнкция А В 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 13
Определение. Формулой алгебры логики называется сложное высказывание, полученное из простых с помощью логических операций. Пример. (А+В) → А · В. Свойства и законы алгебры логики. 1. А+В=В+А- коммутативность дизъюнкции. 2. А · В= В ·А - коммутативность конъюнкции. 3. А+(В+С)=(А+В)+С- ассоциативность дизъюнкции. 4. А ·(В · С)=(А · В) · С- ассоциативность конъюнкции. 5. А ·(В+С)=А · В+А · С- дистрибутивность конъюнкции. 6. А+ (В · С)=(А + В) · (А + С)- дистрибутивность дизъюнкции. 7. ¬ ¬А=А- закон двойного отрицания. 8. -закон де Моргана. 9. -закон де Моргана. 10. А+А · В=А –закон поглощения. 11. А · (А+В)=А –закон поглощения. 12. А+0=А; А · 0=0; А+1=1; А · 1=А. 13. А+ =1 –закон исключения третьего. 14. А+А=А –закон. 15. А · А=А –закон идемпотентности. 16. А · =0 –закон противоречия. 14
Некоторые тождества алгебры логики. 1. А→В= +В 2. 3. 4. А~ В=А·В+ · 15
Определение. Функцией алгебры логики n переменных или функцией Буля называется сложное высказывание, содержащее n переменных, где каждая переменная принимает только два значения 0 или 1, и при этом функция может принимать одно из двух значений 0 или 1 полученное из простых с помощью логических операций. Пример. 2. f(x)=x+x →x -функция одной переменной 1. f (x, y)=x+y → x · y - функция двух переменных. Таблица истинности для функции одной переменной x f 1 (x) f 2 (x, y) f 3 (x, y) f 4 (x, y) 1 1 1 0 0 0 1 0 Из таблицы следует, что f 1 (x)=1, f 2 (x)=0, f 3(x)=x, f 4(x)=¬x. 16
Способа задания функции алгебры логики. 1. Аналитический (формулой). 2. Табличный. 3. С помощью функциональной схемы. Обозначения логических операций в функциональных схемах. ¬ 1. Отрицание – 2. Дизъюнкция – V 3. Конъюнкция – & 17
Пример. F(x, y)=x+y+z –аналитическое задание функции формулой. Задание функции функциональной схемой x z y x x+y • y V • • z V x+y+z 18
3. Логические схемы элементов компьютера. Таблица сложений в двоичной СС : b ¬ ¬b a 0+0=0 0+1=1 & a ¬b+ ¬a b 1+0=1 1+1=10 V b & ¬a b a ¬ ¬a Рис. 1. Логическая схема одноразрядного двоичного сумматора. 19
Скачать презентацию Лекция 4 Логические основы построения компьютеров Учебные вопросы
03090062МиИ-Лк07(Логика ПК).ppt