Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений Площадь

Лекция 4 Геометрические характеристики плоских сечений

Площадь плоских сечений • Площадь является простейшей геометрической характеристикой сечения. Площадь всегда положительна и не зависит от выбора системы координат. • При вычислении площади сложных сечений, состоящих из простейших фигур • Для сечений, составленных из профилей стандартного проката, площадь каждого профиля и остальные необходимые для расчетов размеры принимаются по таблицам ГОСТов на прокатную сталь.

Статические моменты сечения y • • Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади А, сумма произведений площадей элементарных площадок d. A на их расстояния до этой оси: Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси: x d. A ρ O x A Статический момент площади фигуры относительно оси, лежащей в этой же плоскости, равен произведению площади фигуры на расстояние ее центра тяжести до этой оси: - координаты центра тяжести плоского сечения

Моменты инерции плоских сечений • Осевые моменты инерции - суммы произведений площадей элементарных площадок d. A на квадраты их расстояний до этой оси: • Полярный момент инерции - сумма произведений площадей элементарных площадок d. A на квадраты их расстояний до полюса y x • Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции d. A ρ Радиусы инерции: O A Рис. 4. 1 x

• Моменты инерции плоских сечений Центробежный момент инерции относительно осей x, y - сумма произведений площадей элементарных площадок d. A на их расстояния до этих осей: • Главными осями инерции фигуры называются оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. y x d. A ρ O A Рис. 4. 1 x

Осевые моменты инерции простых сечений y h • прямоугольник y х • круг • кольцо b y • треугольник: момент инерции относительно оси х, cовпадающей с основанием, относительно центральной оси: х х

Полярные моменты инерции простых сечений • квадрат р р • круг а • кольцо р

Моменты инерции при параллельном переносе осей • Оси называются центральными, если они проходят через центр тяжести фигуры • Теорема. Момент инерции относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. у у1 • С а

Моменты сопротивления • • Осевой момент сопротивления относительно оси равен моменту инерции относительно той же оси, деленному на расстояние до наиболее удаленной от этой оси точки: Полярный момент сопротивления относительно полюса равен моменту инерции относительно того же полюса, деленному на расстояние до наиболее удаленной от этого полюса точки:

Моменты сопротивления простых сечений y h • Осевые: • прямоугольник y х р х b • круг • кольцо y р • Полярные: а • круг • кольцо • квадрат р х

Стандартные прокатные профили • Нашей промышленностью выпускаются стандартные прокатные профили (двутавр, швеллер, уголок равнобокий, уголок неравнобокий), которые могут быть использованы как готовые элементы конструкций (балки, стойки, элементы ферм и т. д. ). Размеры прокатных профилей стандартизированы и сведены в таблицы сортаментов прокатной стали. В этих таблицах приводятся все размеры сечений и основные геометрические характеристики прокатных профилей в соответствии с их номером. а—двутавр, б— швеллер, в — неравнобокий уголок, г—равнобокий уголок.

Геометрические характеристики сечений сложной формы • Порядок расчетов: – начертить сечение; – начертить вспомогательные оси координат; – разбить сечение на отдельные плоские фигуры и начертить системы координат для каждой. Для проката расположение осей взять из сортамента; – вычислить (для проката − выписать из сортамента) геометрические характеристики каждой плоской фигуры относительно их собственных систем координат; – вычислить эти же величины относительно вспомогательной системы координат; – вычислить геометрические характеристики сечения.

Пример • Определить момент инерции симметричного сечения, показанного на рис. относительно вертикальной оси симметрии y. Двутавр № 10 (ГОСТ 8239 -56). Швеллер № 5 (ГОСТ 8240 -56). • Решение. • Разбиваем исходное сечение на простейшие элементы, моменты инерций которых приводятся в справочниках: I - двутавр, II и III - швеллеры. • По сортаменту на стандартные прокатные профили имеем: Для двутавра № 10 (ГОСТ 8239 -56): H=10 см, B=7 см, F=14, 2 см 2, Ix=244 см 4, Iy=35, 3 см 4. Для швеллера № 5 (ГОСТ 8240 -56): h=5 см, b=3, 7 см, F=6, 90 см 2, Ix =26, 1 см 4, Iy =8, 41 см 4, x 0=1, 35 см.

• Момент инерции сечения относительно оси y т. к. оба швеллера расположены идентично относительно оси y. • Для двутавра • Для швеллера • Окончательно имеем: сортам. =26, 1 см 4.