Лекция 4 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Учебные

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Лекция № 4 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Учебные вопросы: 1. 2. 3. 4. Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств. Операции над множествами. Принцип включения и исключения

1. Основные понятия теории множеств Множеством называют совокупность (класс, собрание, ассоциацию) элементов, объединенных по некоторому общему признаку. Множество A = {a 1, a 2, … , ai, … , an, } содержит элементы a 1, a 2, … , an, …, иначе считается пустым множеством . Элемент ai является элементом множества A, т. е. ai A Георг Кантор (1845 -1918) - один из создателей теории множеств, представлял множество как "совокупность или набор определенных и различимых между собой объектов, мыслимых как единое целое".

Множество A называют подмножеством множества B, если каждый элемент множества A является также и элементом множества B. Обозначение: B A. Отношение вида B A будем называть включением. Любое множество есть подмножество самого себя Число элементов конечного множества A называют мощностью этого множества и обозначают символом Card A или |A|. Теорема: Если для конечного множества А его мощность равна n, то количество всех подмножеств данного множества Р(А) = 2 n Пусть C= {1, 2, 3}. Подмножества C: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, { } Пример: Вычислите количество подмножества М – делителей числа 20. Составим множество М и найдем его мощность : М = {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Мощность |M| = 6, тогда количество подмножеств равно Р(М) = 26 = 64.

Виды множеств Множества конечные бесконечные счетные несчетные

Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством. Обозначение - или Ж. Свойства пустого множества: 1. Считают конечным множеством 2. Пустое множество является подмножеством любого множества Множество, которое содержит все мыслимые элементы называют универсальным множеством, или универсумом. Обозначают буквой U. Универсальное множество содержит в качестве своих подмножеств любые множества. Примеры : 1. При сборке ПК универсальным множеством естественно назвать множество всех деталей и сборочных элементов, из которых состоит ПК. 2. Если мы рассматриваем множества, связанные с какими-нибудь фигурами на плоскости, то в качестве универсального множества можно выбрать множество всех точек плоскости.

Попарное соответствие между элементами двух множеств называется взаимно однозначным соответствием. Общее число взаимно однозначных соответствий для n-элементных множеств равно n! Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. представляют собой одно и то же множество. Множества А и В называют эквивалентными (равномощными, равночисленными), если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие, при котором каждому элементу ai множества А соответствует единственный элемент bj множества В, и наоборот, каждому элементу bj множества В соответствует единственный элемент ai множества А. Тот факт, что множества A и B эквивалентны между собой будем обозначать: A B.

Счётные и несчётные множества Если бесконечное множество оказывается возможным привести во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел, то такое множество называют счётным, иначе несчетным. Существование несчётных множеств следует из теоремы Г. Кантора: «Множество всех действительных чисел интервала 0<x≤ 1 несчётно» . В любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Примеры счётных множеств: 1. Натуральные числа 2. Целые и простые числа Примеры несчётных множеств: 1. Вещественные числа 2. Комплексные числа Выпуклое множество – множество, которое наряду с любыми двумя точками А и В содержит также весь отрезок АВ. Примеры выпуклых множеств: прямая, плоскость, круг. Однако, окружность не является выпуклым множеством.

2. Способы задания множеств 1. Множество может быть задано перечислением всех его элементов. Пример 1: А = {1, 2, 3} Пример 2: B = { река Нил, город Москва, планета Уран}. 2. Множество может быть задано описанием общих свойств элементов. Обозначение: A = { x | P(x) } - "A есть множество элементов x таких, что для них выполняется свойство P( x )". Пример 1: А = {x | x R, x 2 – 4 = 0} Пример 2: В = {x | x R, x 2 + 9 = 0 } A = {2, -2} В = { } 3. Формальным законом построения элементов множества Пример 1: А = {x | x = 3 k, k N } Пример 2: Периодическая система элементов Менделеева 4. Графически

3. Операции над множествами Пусть имеются множества: A={a 1, a 2, … , ai, … , an, … } B={b 1, b 2, … , bj, … , bm, … } Объединением (или суммой) двух множеств A и B называют третье множество C, которое состоит из элементов, принадлежащих множествам A или B (или тому и другому вместе). Обозначение: A B.

Пересечением (или произведением) двух множеств A и B называют третье множество C, которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству A и множеству B. Обозначение: A B. Дополнением множества A до универсального множества U называют множество, состоящие из тех элементов множества U, которые не принадлежат A. Обозначение: U A или A.

Разностью множеств В и A называют множество, состоящие из тех элементов множества В, которые не принадлежат A. Обозначение: ВA. Симметрической разностью множеств A и В называют множество, состоящие из элементов множества С = A B A B. Обозначение: A В

4. Принцип включения и исключения для двух множеств Формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом.

Пример1: В классе 30 учащихся, 16 из них занимаются музыкой, 17 увлекаются теннисом, а 10 занимаются и музыкой, и теннисом. Есть ли в классе ученики, равнодушные и к музыке, и к теннису, и если есть, то сколько их? Решение: А - множество учащихся, интересующихся музыкой, n(A)=16, В - множество учащихся, интересующихся теннисом, n(B)=17, n(A B) =10, тогда по полученной формуле: n(AUВ)=16+17 -10=23 В классе 30 учащихся, то 30 - 23 =7 учащихся равнодушны и к музыке, и к теннису.

Принцип включения и исключения для трех множеств

Пример2. На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии - 700, а по стереометрии - 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии 500, по планиметрии и стереометрии - 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?

Решение: пусть U - множество всех абитуриентов, n(U) =1000 А – мн-во абитур-тов, решивших задачу по алгебре, n(A) = 800 В –мн-во абиту-тов, решивших задачу по планиметрии, n(В)=700 С – мн-во абитур-тов, решивших задачу по стереометрии, n(С)=600 n(A B)= 600, n(A C) = 500, n(B C) = 400, n(A B C) =300. В множество A B C включены все абитуриенты, решившие хотя бы одну задачу. n(А U В U С) = 800 + 700 + 600 - 600 - 500 - 400 + 300 = 900. Отсюда следует, что не все поступающие решили хотя бы одну задачу. Ни одной задачи не решили: n(U) - n(AUBUC) = 1000 – 900 = 100 абитуриентов

Литература: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Колесников Н. Г. Математические и логические основы информатики. Краснодар издат. Куб. АГУ. 2000 г. 224 с. Калбертсон Дж. Т. Математика и логика цифровых устройств. -М. : Прсвещение, 1965. -267 с. Кук Д. , Бейз Г. Компьютерная математика. – М. : Наука, 1990. Мальцев А. И. Алгебраические системы. – М. : Наука, 1970. Ершов Ю. Л. , Палютин Е. А. Математическая логика. – М. : Наука, 1979. Верещагин Н. К. , Шень А. Начала теории множеств М. МЦНМО, 1999 г. , 127 с.

Скачать презентацию Лекция 4 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Учебные

3514-МЛОИ-Лк04.ppt

Количество слайдов: 18