Лекция 4 1 СМО с ограниченной очередью СМО

Лекция 4 1. СМО с ограниченной очередью (СМО с ожиданием) 2. Уравнения Колмогорова 3 Предельные вероятности. Формулы Эрланга. 4. Показатели эффективности СМО с ожиданиям 5. Время пребывания заявки в системе. Формулы Литтла. 1. СМО с ограниченной очередью (СМО с ожиданием) Пусть n -число каналов, m - число мест в очереди, - интенсивность потока заявок, µ - интенсивность потока обслуживаний одним каналом. Потоки заявок и обслуживаний (окончаний ремонта) предполагаются простейшими Пришедшая заявка становится в очередь, если все каналы заняты и есть места в очереди. Если мест в очереди нет, то заявка получает отказ и покидает СМО не обслуженной. Рассмотрим возможные состояния системы

S 0 - в СМО нет заявок S 1 - в СМО одна заявка S 2 - в СМО две заявки в очереди заявок нет ……………. Sk - в СМО k заявок ……………. . Sn - в СМО n заявок Sn+1 - в СМО n заявок и одна заявка в очереди …………………………. Sn+m-1 - в СМО n заявок и m -1 заявка в очереди Sn+m - в СМО n заявок и m заявок в очереди Граф состояний системы строится с учетом того, что максимальная интенсивность обслуживания системы равна nµ. Размеченный граф состояний СМО

2. Уравнения Эрланга-Колмогорова Запишем систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний СМО ……………………… (4. 1) , …………………… кроме того (4. 2) Начальные условия (4. 3) приводят к начальной задаче, которая решается численными методами

3. Предельные вероятности. Формулы Эрланга Запишем систему алгебраических уравнений из условий Решая эту систему уравнений, получим формулы Эрланга ……………… . ……………………

………………………… ………… …………

…………

Если

В результате получаем формулы Эрланга (4. 4) 4. Показатели эффективности СМО Следует отметить, что основные показатели эффективности работы вычисляется для стационарного режима. 1. Вероятность отказа в обслуживании заявки. Заявка получит отказ, когда все каналы заняты и в очереди нет мест, т. е. система находится в состоянии Sn+m. (4. 5) 2. Относительная пропускная способность СМО, то есть доля заявок, которые будут обслужены (4. 6)

3. Абсолютная пропускная способность СМО (интенсивность потока обслуженных заявок, т. е. среднее количество обслуженных заявок в единицу времени) (4. 7) 4. Среднее число заявок в СМО (на обслуживании и в очереди) Пусть - Lc число заявок в СМО. Закон распределения этой случайной величины имеет вид (4. 8) 5. Среднее число заявок на обслуживании Пусть Loбс-число заявок на обслуживании. Закон распределения этой случайной величины имеет вид (4. 9)

7. Среднее число заявок в очереди - число заявок в очереди … … (4. 10)

5. Время пребывания заявки в системе. Формулы Литтла Рассмотрим формулу, связывающую (для предельного стационарного режима) среднее число заявок , находящихся в СМО (т. е. обслуживаемых или стоящих в очереди) и среднее время пребывания заявки в системе. Пусть СМО – любая (одноканальная, многоканальная, с неограниченной или с ограниченной очередью) и связанные с ней два потока событий: поток заявок, прибывающих в СМО и поток заявок, покидающих СМО. Если в системе установился предельный стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее. Оба потока имеют одну и ту же интенсивность. Пусть X(t) число заявок, прибывающих в СМО до момента t; Y(t) - число заявок, покинувших СМО до момента t; Z(t) - число заявок, находящихся в СМО. Это случайные функции

Рассмотрим очень большой промежуток времени Т : Д. тогда

Интеграл равен площади заштрихованной фигуры

Если мы разделим сумму всех времен на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системы (4. 11) Аналогично получают формулу (4. 12) среднее время пребывания заявки в очереди

Замкнутые СМО Задача. Один мастер-наладчик обслуживает 6 станков с программным управлением. Если в станке возникает неисправность, наладчик (когда он не занят на другом станке) ее устраняет. В среднем в станке возникает одна неисправность в час. Ремонт станка занимает в среднем 6 минут. Необходимо: 1. Построить граф состояний СМО. 2. Записать уравнения Колмогорова. 3. Эаписать уравнения Эрланга для предельных вероятностей. 4. Найти предельные вероятности состояний

S 0 - все станки исправны S 1 - один станок ремонтируется, очереди нет S 2 - один станок ремонтируется, один станок в очереди S 3 - один станок ремонтируется 2 станка в очереди S 4 - один станок ремонтируется 3 станка в очереди S 5 - один станок ремонтируется 4 станка в очереди S 6 - один станок ремонтируется 5 станков в очереди 6 S 1 S 0 4 5 S 2 S 3 2 3 S 4 S 5 S 6

6 5 S 1 S 0 4 S 2 S 3 2 3 S 4 Уравнения Колмогорова S 5 S 6

Вычисляем предельные вероятности: