Лекция 3 Симлекс-метод решения оптимизационных задач

Лекция № 3 Симлекс-метод решения оптимизационных задач

Симлек-метод является универсальным методом решения оптимизационных задач при любом количестве переменных Ключевая идея алгебраического симплекс-метода вытекает из графического способа и заключается в том, что оптимальное решение находится в одной из угловых точек пространства решений

1. Приведение математической модели к стандартной задаче линейного программирования 1. 1 Преобразование ограничений математической модели в равенства с неотрицательной правой частью. Имеются следующие неравенства x 1 + x 2 > -5 -x 1 - x 2 < 5 3 x 1 + 4 x 2≤ 6 4 x 1 + 2 x 2 < -4 -4 x 1 - 2 x 2 > 4 Если есть отрицательная правая часть, то необходимо обе части неравенства умножить на (-1), при этом знак меняется на противоположный

Правила преобразования неравенств в равенства К левым частям неравенств вида «≤» - дополнительная переменная прибавляется, вида «≥» - дополнительная переменная вычитается Пояснение 2<4 2+2 = 4 7>4 7 -3 = 4 x 1 < 4 x 1 + x 2 = 4 x 1 > 4 x 1 - x 2 = 4 1 2 3 8 7 5 Если есть модель с 5 ограничениями F = 438 х₁ + 432 х₂ → max х₂ ≤ 11 х₂ ≤ 12 3*х₁ + 6*х₂ ≤ 81 5*х₁ + 5*х₂ ≤ 95 6*х₁ + 3*х₂ ≤ 96 Получаем систему из m=5 уравнений с n=7 неизвестными F = 438 х₁ + 432 х₂ → max Стандартная форма задачи линейного программирования х₂ + х3 = 11 х₂ + х4 = 12 3*х₁ + 6*х₂ + х5 = 81 5*х₁ + 5*х₂ + х6 = 95 6*х₁ + 3*х₂ + х7 = 96

2. Выбор базисного решения При решении любой системы уравнений необходимо, чтобы число уравнений было равно числу неизвестных В стандартной форме задачи линейного программирования число уравнений m=5 меньше числа неизвестных n=7 Чтобы решить такую задачу, необходимо выбрать базисное решение Для этого n неизвестных произвольно разбить на 2 группы: 1) Базисная группа - включить кол-во переменных, равных числу уравнений 2) Небазисная группа - включить оставшиеся свободные переменные (n-m), не вошедшие в 1 группу

Возможные варианты разбивки х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7 на групп базисная (5 перем. ) небазисная (2 свободные перем. ) 1) х3, х4, х5, х6, х7 х1, х2 2) 3) 4) х2, х3, х4, х5, х6 х1, х2, х5, х6, х7 х1, х3, х4, х6, х7 х1, х7 х3, х4 Количество всех решений для m уравнений с n переменными можно определить по формуле: Симплекс-метод позволяет рассмотреть не все варианты базисного решения, а лишь их часть Алгоритм решения начинается с некоторого первоначального Для удобства за базисное принимаем вновь введенные переменные

Записать уравнения ограничений математической модели относительно выбранных базисных переменных Математическая модель F = 438 х₁ + 432 х₂ → max х₂ + х3 = 11 х₂ + х4 = 12 3*х₁ + 6*х₂ + х5 = 81 5*х₁ + 5*х₂ + х6 = 95 6*х₁ + 3*х₂ + х7 = 96 базисные переменные х3, х4, х5, х6, х7 F = 438 х₁ + 432 х₂ → max х3 = 11 - 0*х₁ - 1*х₂ х4 = 12 - 0*х₁ - 1*х₂ х5 = 81 - 3*х₁ - 6*х₂ х6 = 95 - 5*х₁ - 5*х₂ х7 = 96 - 6*х₁ - 3*х₂

3. Приведение уравнений системы и целевой функции к виду основной или нормальной формы векторного уравнения хб= В – А*х где В – свободный член; А – коэффициент при неизвестном. х3 = 11 - 0*х₁ - 1*х₂ В=11, А = (0; 1) х3 = 11 – (0*х₁ + 1*х₂) х4 = 12 - 0*х₁ 1*х₂ х5 = 81 - 3*х₁ 6*х₂ В=12, А = (0; 1) В=81, А = (3; 6) х4 = 12 – (0*х₁ + 1*х₂) х5 = 81 – (3*х₁ + 6*х₂) В=95, А = (5; 5) х6 = 95 – (5*х₁ + 5*х₂) В=96, А = (6; 3) х7 = 96 – (6*х₁ + 3*х₂) х6 = 95 - 5*х₁ 5*х₂ х7 Аналогичное = 96 - 6*х₁ функцией 3*х₂ F = 438 х₁ + 432 х₂ преобразование выполняется и с целевой В=0, А = (438; 432) F = 0 – (- 438 х₁ - 432 х₂)

4. Сведение параметров системы уравнений в исходную симплекс-таблицу Табл. 1 хб В А св. перем. хб F = 0 – (- 438 х₁ - 432 х₂) Проверка первоначального допустимость и оптимальность. х3 х4 х5 х6 х7 11 0 1 12 0 1 81 3 6 95 5 5 96 6 3 F х3 = 11 – (0*х₁ + 1*х₂) х4 = 12 – (0*х₁ + 1*х₂) х5 = 81 – (3*х₁ + 6*х₂) х6 = 95 – (5*х₁ + 5*х₂) х7 = 96 – (6*х₁ + 3*х₂) В 0 базисного х1 х2 -438 -432 решения на Если условия допустимости и оптимальности не выполняются, необходимо выполнить преобразования в симплекс-таблице и выбрать другое базисное решение Правила преобразования для максимум целевой функции рассмотрены в практических занятиях Рассмотрим решение модели при минимуме целевой функц

5. Решение математической модели симплекс-методом при минимизации целевой функции Имеется модель F = 20 х₁ + 30 х₂ → min 3 х1 + 4 х₂ ≤ 30 2 х1 + 3 х₂ > 12 х₂ >2, 4 5. 1 Свести задачу соотношением минимизации к min F = -max (-F) F = - (-20 x 1 - 30 x 2) → max Ограничения остаются без изменения максимизации

5. 2 Привести задачу к стандартной форме и свести параметры уравнений в исходную симплекс таблицу 3 х1 + 4 х₂ ≤ 30 2 х1 + 3 х₂ > 12 х₂ >2, 4 F = - (-20 х₁ - 30 х₂) → max 3 x 1+4 x 2+x 3=30 2 x 1+3 x 2 -x 4=12 0 x 1+x 2 -x 5=2, 4 F = - (-20 х₁ - 30 х₂) → max х3 = 30 – (3*х₁ + 4*х₂) х4 = -12 – (-2*х₁ - 3*х₂) х5 = -2, 4 – (0*х₁ - 1*х₂) F = - (0 – (20*х₁ + 30*х₂) Табл. 1 хб В св. перем. х1 х3 30 3 х4 -12 -2 х5 -2, 4 0 F 0 20 х2 4 -3 -1 30

5. 3 Проверить первоначальное базисное решение на допустимость и оптимальность Табл. 1 хб В св. перем. х1 х3 30 3 х4 -12 -2 х5 -2, 4 0 F 0 20 х2 4 -3 -1 30 Решение допустимо если все В > 0 Решение оптимально если все F < 0 Согласно исходной симплекс-таблицы первоначальный вариант базисного решения недопустимый (т. к. есть отрицательные значения) и не оптимальный (т. к. есть положительные значения) Необходимо выбрать другой вариант базисного решения

5. 4 Преобразовать симплекс-таблицу Табл. 1 хб В св. перем. х1 х3 30 3 х4 -12 -2 х5 -2, 4 0 F 0 20 х2 4 -3 -1 30 Выбрать разрешающий столбец, который определяется наибольшим положительным коэффициентом в строке F Разрешающий столбец указывает, что х2 из свободных переменных будет вводиться в базисное решение Выбрать разрешающую строку, которая определяется как и при максимизации целевой функции наименьшим положительным частным отношения В к соответствующему элементу в разрешающей строке 30 : 4 = 7, 5 На пересечении строки и столбца (-12) : (-3) = 4 (-2, 4) : (-1) = 2, 4 находится разрешающий элемент

Табл. 1 хб В св. перем. х1 х3 30 3 х4 -12 -2 х5 -2, 4 0 F 0 20 Табл. 2 х2 хб 4 х3 х4 х2 2, 4 -3 -1 30 F В св. перем. х1 х5 -4 3 0 -1 -30 В новой симплекс-таблице поменять местами х2 с х5 Все остальные переменные остаются на своих местах Новое значение разреш. элемента = Новое значение эл. разр. строки = Новое значение эл. разр. столбца =

Табл. 1 хб главн. диагон В св. перем. х1 х3 30 3 х4 -12 -2 х5 -2, 4 0 F 0 20 Табл. 2 св. перем. х2 хб 4 х3 20, 4 3 побочн. х4 -4, 8 -2 диагон. х2 2, 4 0 -3 -1 30 В F -72 х1 20 х5 -4 3 -1 -30 Остальные элементы меняются по правилу прямоугольника (см. практику) Новое значение эл. = Получили новый вариант базисного решения, при котором базисные переменные х3, х4, х2 свободные переменные х1, х5 Проверить новый вариант на допустимость и оптимальность В случае невыполнения условий выполнить преобразования