Лекція 3. Семантика логіки висловлювань Правила істинності Таблиці

Лекція 3. Семантика логіки висловлювань Правила істинності Таблиці істинності Тавтології Тавтологічні імплікації Тавтологічні еквівалентності

1. Правила істинності 1. Якщо A - формула, тоді формула  A істинна iff A хибна. 2. Якщо A і B - формули, (A  B) істинна iff і A істинна, і B істинна. 3. Якщо A і B - формули, (A  B) істинна iff A або B (або обидві) істинні. 4. Якщо A і B - фомули, (A → B) істинна iff A хибна або B істинна. 5. Якщо A і B - формули, (A ↔ B) істинна iff A і B мають однакові значення, тобто, обидві істинні чи обидві хибні.

2. Таблиці істинності Смисл символу  відображається у таблиці: Таблиця І A A і х х і де А – будь-яке речення мови логіки висловлювань, і – скорочення слова “істинне”, х – скорочення слова “хибне”.

Таблиця ІІ Смисл символу  відображається у таблиці: A B A  B і і і і х х х і х х х х

Таблиця ІІІ Смисл символу  відображається у таблиці: A B A  B і і і і х і х і і х х х

Таблиця IV Смисл символу  відображається у таблиці: А В А  В і і і і х х х і і х х і

Пояснення до таблиці IV Легко бачити, що не будь-який умовний зв’язок може бути репрезентований застосуванням знака матеріальної імплікації. Наприклад, речення “Якщо б Іван був у бібліотеці, то Марія також була б там” не можна репрезентувати у вигляді Іван у бібліотеці  Марія у бібліотеці, оскільки у вихідному реченні явно установлюється залежність присутності Марії у бібліотеці від присутності там Івана. А матеріальна імплікація може бути істинною, навіть якщо антецедент хибний, тобто, і тоді, коли Івана немає у бібліотеці.

Таблиця V Тепер побудуємо наступну таблицю: А В  А  В і і х і і х х х х і і і х х і і Заключні стовпчики таблиць IV і V співпадають, тому можна вживати А  В замість А  В і навпаки.

Таблиця VІ Смисл символу  відображається у таблиці: А В А  В і і і і х х х і х х х і

Таблиця VІІ А В (А  В)  (В  А) і і і і і і х х х і х і і х х х х і і і Заключні стовпчики двох останніх таблиць співпадають, отже ми можемо використовувати один вираз замість іншого, тобто вживати А В замість (А  В)  (В  А) і навпаки.

3. Тавтології Усі п.п.ф. логіки висловлювань поділяються на тавтології (завжди істинні), суперечливості (завжди хибні) і нейтральні (можуть бути істинними і хибними за різних обставин). Логіки зацікавлені у пошуку тавтологій, тому що вони виражають закони логіки. Речення є тавтологією, якщо воно істинне незалежно від обставин. Таким, зокрема, є речення Марія посміхається   Марія посміхається. Воно є прикладом закону виключеного третього. А речення (Петро спокійний   Петро спокійний) є прикладом закону несупречливості.

Таблиця VІІІ A B C A  B  C і і і і і х і і х і і і і х і х х х і х х х і і х і і х х х х і х х і і х х і х х х х х х х і і

Пояснення до таблиці VІІІ Стовпчик, що стоїть під , показує, що ця формула є нейтральною. Існує математична формула, за якою можна визначити кількість строк, виходячи з кількості атомарних речень: m = 2n, де m кількість строк, а n – кількість атомарних речень.

4. Тавтологічні імплікації Маючи правила істинності, можемо встановлювати правильність міркувань. А1 А2 А3 . . . Аn В Якщо А1 і А2, і А3, і ,… ,і Аn, тоді В.

Валідність (правильність) аргументів і тавтологічність імплікацій Міркування подані у такій формі (два попередніх слайди) наз. аргументами. Аргумент валідний (правильний) iff логічно неможливо, що його засновки істинні, а висновок хибний. Аргумент “Якщо A1,,,… , An, тоді В” є валідним, якщо і тільки якщо, імплікація ((A1  …  An) → B) є тавтологією (тавтологічноюімплікацією), тобто, завжди істинна.

├ Тавтологічну імплікацію позначають символом ├ . Речення “Із засновків A1,…,An у тавтологічний спосіб випливає висновок B” скорочується формулою A1  …  An ├ B. Тобто, ├ - це завжди істинна →. (Див. таблицю IV)

Деякі тавтологічні імплікації Спрощення: А  В ├ А А  В ├ В Додавання: А ├ А  В В ├ А  В З’єднання: А, В ├ А  В

Modus ponens А  В, А ├ В Ця схема дозволяє від ствердження умовного висловлювання і ствердження його основи (антецедента) здійснювати перехід до ствердження його наслідку (консеквента). Напр.: Якщо він ошукує свого друга, то його друг ображається. Він ошукує свого друга. Його друг ображається.

Modus tollens А В, В ├ А За допомогою цієї схеми від ствердження умовного висловлювання і заперечення його наслідку здійснюється перехід до заперечення його основи. Напр.: Якщо ти тренувався, то покращив свої показники. Ти не покращив свої показники. Ти не тренувався.

Диз’юнктивний силогізм А  В; А ├ В А  В; В ├ А Напр.: Вона готує їжу або пише листа. Вона не готує їжу. Вона пише листа.

Гіпотетичний силогізм А В, В С ├ АС “Якщо цивілізація розвивається, то трапляється більше техногенних катастроф. Якщо кількість таких катастроф збільшується, то посилюється загроза життю людей. Тоді є вірним те, що із розвитком цивілізації збільшується загроза життю людей”.

Дилема А  С, В  С, А  В ├ С Якщо поїду на море, то добре відпочину. Якщо поїду в гори, то добре відпочину. Поїду на море або в гори. Добре відпочину.

5. Тавтологічні еквівалентності Еквівалентні формули істинні за однакових обставин (тобто, істинні відносно тих самих інтерпретацій). Це поняття еквівалентності наз. tautological equivalence.

Закон подвійної негації A eq. A Цей закон дає можливість подвійну негацію видаляти або вводити.

Закони де Моргана  (А  В) eq. (А  В). «Те, що завтра буде мороз і завтра буде вітер, невірно тоді і тільки тоді, коли завтра не буде морозу або завтра не буде вітру». (А  В) eq. (А   В). «Те, що він знає цивільне право або адміністративне право, невірно тоді і тільки тоді, коли він не знає цивільне право і не знає адміністративне право».

Визначення матеріальної імплікації (A → B) eq. ( A  B) Дивись правило істинності для імплікації, таблицю IV і таблицю V.

Визначення еквіваленції (A ↔ B) eq. ((A → B)  (B → A)) Дивись таблицю VІ і таблицю VІІ. (A ↔ B) eq. ((A  B)  ( A   B)) Дивись правило істинності для еквіваленції.

Закони дистрибутивності (A  (B  C)) eq. ((A  B)  (A  C)) «Те, що сьогодні буде презентація і завтра буде продаж або завтра виставку закриють, істинно тоді і тільки тоді, коли сьогодні буде презентація і завтра буде продаж або сьогодні буде презентація і завтра виставку закриють». (A  (B  C)) eq. ((A  B)  (A  C)) «Те, що завтра буде прохолодно або післязавтра буде тепло і можна буде піти в гори, істинно тоді і тільки тоді, коли завтра буде прохолодно або післязавтра буде тепло і завтра буде прохолодно або можна буде піти в гори».

Закон експортації-імпортації (A → (B → C)) eq. ((A  B) → C)) Твердження “Якщо тварина, котра має плавники, є рибою, якщо в неї є хвіст” істинне тоді і тільки тоді, коли істинне твердження “Якщо тварина має хвіст і має плавники, то вона є рибою.”

Контрапозиція (A → B) eq. ( B →  A) Твердження “Якщо особа є суб’єктом цивільно-правових відносин, тоді вона може укладати цивільно-правові угоди” істинне тоді і тільки, тоді, коли, істинним є твердження “Якщо особа не може укладати цивільно-правові угоди, вона не є суб’єктом цивільно-правових відносин”.

Приклад застосування тавтологічних еквівалентностей Як і тавтологічні імплікації, тавтологічні еквівалентності застосовуються для отримання висновків і для перевірки правильності їх отримання. 1. ((А  В)   С) Засновок 2. (А  В)    С ЗДМ до1 3. А   В   С ЗДМ до 2 4.  А   В  С ЗПН до 3