Лекция 3 Применение методов линейного программирования в экономических

Лекция 3 Применение методов линейного программирования в экономических моделях. (продолжение)

Учебные вопросы: • Метод искусственного базиса • Задача об оптимальном распределении ресурсов • Двойственная задача линейного программирования

Особенности задач линейного программирования • Задача о диете (о рационе, о смесях); • Задача об использовании ресурсов (планирования производства); • Задача об использовании мощностей (о загрузке оборудования); • Задача о раскрое материала.

Формулировка задачи о диете (рационе, смесях) в общем виде: Составить дневной рацион из n видов продуктов в количестве xj (j = 1, 2, …, n), стоимостью сj каждый. Содержание пищевых элементов i = 1, 2, …, m в дневном рационе должно быть не меньше bi. В единице каждого j–го продукта содержится aij единиц i-го пищевого элемента. Содержание пищевых элементов в рационе должно удовлетворять следующим условиям: Целевая функция принимает максимальное значение:

Формулировка задачи об использовании ресурсов (планирования производства) в общем виде: Найти план выпуска n видов продукции с использованием m видов ресурсов. где: xj (j=1. . n) – число единиц продукции каждого Pj типа, запланированного к производству. bi (i=1. . m) – запас каждого вида ресурса Si; aij – число единиц ресурса Si, затрачиваемого на изготовление единицы продукции Pj (технологические коэффициенты); cj – прибыль от реализации единицы продукции вида Pj, удовлетворяющий условиям: при котором целевая функция принимает максимальное значение:

Формулировка задачи об использовании мощностей (о загрузке оборудования) в общем виде: Предприятию дан план производства продукции по времени и номенклатуре: требуется за время T выпустить n 1, n 2, …, nk единиц продукции P 1, P 2, …, Pk. Продукция производится на станках S 1, S 2, …, Sm. Для каждого станка известна производительность aij (число единиц продукции Pj, которое можно произвести на станке Si) и затраты bij на изготовление продукции Pj на станке Si в единицу времени. Найти план работы станков (распределить выпуск продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были минимальны. Обозначим: xij – время, в течение которого станок Si будет занят изготовлением продукции Pj (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, k): при котором целевая функция принимает минимальное значение:

Формулировка задачи о раскрое (распиле, обработке) в общем виде: На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве a единиц. Требуется изготовить из него y комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам b 1, b 2, …, by (условие комплектности). Каждая единица материала может быть раскроена n различными способами, в результате использования i-го способа (i = 1, 2, …, n) получается aik единиц k-го изделия (k = 1, 2, …, y). Необходимо найти план раскроя, обеспечивающий оптимальный план раскроя, обеспечивающий максимальное количество комплектов. Обозначим через xi – число единиц материала, раскраиваемого i-тым способом. x – число изготавливаемых комплектов изделия. Тогда: Требование комплектности: Очевидно: Целевая функция принимает максимальное значение:

Задача об использовании ресурсов (планирования производства) Для изготовления двух видов продукции P 1 и P 2 используют 4 вида ресурсов: S 1, S 2, S 3 и S 4. Запасы ресурсов, затраты ресурсов на производство каждого вида продукции Вид ресурса Запас ресурса Количество ресурсов на одну единицу продукции P 1 P 2 S 1 18 1 3 S 2 16 2 1 S 3 5 - 1 S 4 21 3 - Прибыль от производства единицы продукции P 1 и P 2 равны, соответственно, 2 и 3 руб. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от реализации ее будет максимальной.

Формализация задачи: Целевая функция: … Прибыль от производства единицы продукции P 1 и P 2 равны, соответственно, 2 и 3 руб. … и должна стремиться к максимуму. План производства – количество единиц продукции P 1 и P 2 , которые обозначим x 1 и x 2. С учетом цены с1 = 2 и с2 = 3, целевая функция примет следующий вид: Неравенства составляются по каждому ресурсу с подстановкой планируемого количества производства изделий каждого типа: Не указанные явно в условии задачи, но очевидные условия на неотрицательность количества изделий каждого типа:

Графическое решение задачи об использовании ресурсов 4 2 1 3

1. Способ определения первоначального допустимого базисного решения. 2. Правило перехода к лучшему (не худшему) решению. 3. Критерий проверки оптимальности найденного решения. Любые m переменных системы m линейных уравнений с n переменными (m < n) называются основными (базисными) если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные n – m переменных называются неосновными (свободными). Основными могут быть разные группы из n переменных.

Теорема о разрешимости задачи ЛП. Если для системы m линейных уравнений с n переменными (m < n) ранг матрицы коэффициентов при переменных равен m, т. е. существует хотя бы одна группа основных переменных , то эта система называется неопределенной, причем каждому произвольному набору значений неосновных переменных соответствует одно решение системы. Базисным решением системы m линейных уравнений с n переменными называется решение, в котором все n-m неосновных переменных равны нулю. Число базисных решений является конечным, т. к. оно равно числу групп основных переменных, не превосходящее Cnm

Полагаем неосновные переменные (x 1 и x 2) равными 0, получаем базисное решение: X 1 = (0, 0, 18, 16, 5, 21), которое является допустимым и соответствует вершине 0, 0 области допустимых решений

Теорема о допустимых базисных решениях Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка многогранника решений, и наоборот, каждой угловой точке многогранника решений соответствует допустимое базисное решение. Правила выбора разрешающего столбца и разрешающей строки Разрешающий столбец определяет наибольший (по модулю) отрицательный коэффициент Сj в нижней строке. Разрешающая строка определяется по минимальному соотношению, вычисляемого по следующим правилам: 1. ∞, если bi и aij имеют разные знаки. 2. ∞, если bi = 0 и aij < 0. 3. ∞, если aij = 0. 4. 0, если bi = 0 и aij > 0. 5. | bi / aij |, если bi и aij имеют разные знаки. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент aij.

18/3 16/1 5/1 ∞ Переход к следующей таблицей осуществляется по правилам: 1. В левом столбце записывается новая базисная переменная (в нашем примере – x 2 вместо x 5. 2. Новую строку вместо разрешающей получают из старой делением на разрешающий элемент aij (в нашем примере он равен 1). 3. В остальных строках, включая строку F, коэффициенты определяются по правилу прямоугольника: старое значение в этой ячейке, минус частное, в числителе – произведение элементов разрешающего столбца в данной строке и разрешающей строки в данном столбце. В знаменателе – значение разрешающего элемента. Для нашего примера первый свободный элемент рассчитывается следующим образом: 18 – (3 * 5) / 1 = 3

В результате получается следующее базисное решение: x = (0, 5, 3, 11, 0, 21). На рисунке оно показано следующей точкой. 0, 5, 3, 11, 0, 21 0, 0, 18, 16, 5, 21 3/1 11/2 ∞ 21/3

3, 5, 0, 21 Аналогично находим следующее базисное решение, эффективность последовательно возросла с 0, затем 15, сейчас – 21. 5/5

Критерий оптимальности выполнен (в нижней строке нет отрицательных значений), значение целевой функции = 24, что совпадает с полученным графическим способом. Оптимальное решение: 6, 4, 0, 0, 1, 3

Рассмотрим следующий пример Решить симплекс-методом задачу: При ограничениях: Пробуем решить обычным симплекс – методом: Даже не строя симплекс-таблицу, получаем первое базисное решение: X = (0, 0, -1, 3, 3), которое недопустимо.

Метод искусственного базиса Суть метода: 1. В каждое уравнение, дающее отрицательную компоненту в базисном решении вводим новую неотрицательную переменную y 1, y 2, … yk, которая имеет тот же знак, что и свободный член в правой части уравнения. 2. В симплекс-таблицу включаем и эти переменные. 3. Целевую функция заменяем функцией вида: T = F – M(y 1 + y 2 + … + yk), где М – произвольное большое число. Благодаря этому обозначению получил свое второе название: M- метод. Тогда: 1. Если в оптимальном решении Т- задачи все искусственные переменные равны 0, то соответствующие значения остальных переменных дают оптимальное решение исходной задачи (т. е. Т = F при y 1 = y 2 = … = yk = 0, т. е. М = 0). 2. Если имеется оптимальное решение Т-задачи, при котором хотя бы одна из искусственных переменных отлична от 0, то система ограничений исходной задачи несовместна. 3. Если Т = ∞, то исходная задача также неразрешима, причем либо F = ∞, либо условия задачи противоречивы.

Решение примера М-методом

Ход решения: Последняя строка заполняется, умножая строку y 2 на –М (за исключением самого y 1)

Переменная y 1 переходит в неосновные, обращается в 0 на следующем базисном решении и затем исключается из рассмотрения. Далее решение происходит по обычному алгоритму.

Свойства двойственных задач • В прямой задаче ищут максимум функции, в двойственной – минимум. • Коэффициенты при переменных в линейной (целевой) функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой. • Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида <=, а в задаче минимизации все неравенства вида >=. • Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу. • Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче. • Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.

Две задачи ЛП, обладающие указанными свойствами, называются симметричными взаимно двойственными задачами, или просто двойственными задачами. Алгоритм составления двойственной задачи: • Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если в исходной задаче ищут максимум целевой функции, то приводят их к виду: <=, если минимум, то к виду <=. Если требование не соблюдается, неравенство умножают на -1. • Составить расширенную матрицу системы АI, в которую включить матрицу коэффициентов при переменных а, столбец свободных членов системы ограничений b и строку коэффициентов при переменных в целевой функции с. • Найти матрицу AII, транспонированную к АI. • Сформулировать двойственную задачу на основании полученной матрицы АI, и условия неотрицательности переменных.

Пример двойственной задачи: Уже известная Вам задача линейного программирования