Лекция 3 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Тема Сопротивление материалов

Лекция 3 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Тема Сопротивление материалов

Изгиб Под изгибом понимают такой вид деформации, при которой в поперечном сечении бруса действует изгибающий момент, от действия последнего происходит искривление оси бруса. Различают два вида плоского изгиба: чистый и поперечный изгиб. Под плоским чистым изгибом понимают деформацию, когда в поперечных сечениях участка бруса действует только один силовой фактор отличный от нуля и одинаковый во всех сечениях – это изгибающий момент Под плоским поперечным изгибом понимают такой вид деформации, при которой в поперечном сечении бруса действует два силовых фактора: изгибающий момент М и поперечная сила Q

Изгиб. Основные требования к балкам Брус в поперечном сечении, которого действует изгибающий момент, называется балкой. Балки, рассматриваемые в сопротивлении материалов должны удовлетворять следующим условиям: 1. Сечение балки имеет хотя бы одну ось симметрии 2. Все внешние силы лежат в плоскости симметрии балки. F 3 F 2 R 1 M 1 F 1 Вертикальная плоскость симметрии Горизонтальная плоскость симметрии

Основные типы балок В зависимости от числа опор и характера опорного закрепления различают балки l 1. Однопролетные 2. Консольные 3. Заделанными концами lк 4. Разрезные l lк l 5. Неразрезные Консолью называют часть двух опорной балки, свисающую за опору или балку с одним защемленным и другим свободным концом Разрезными называются статически определимые балки, проходящие над несколькими промежуточными опорами Неразрезными называются статически неопределимые балки , проходящие над несколькими промежуточными опорами

Правило знаков для внутренних силовых факторов Поперечная сила считается положительной, если равнодействующая внешних сил, приложенная слева от выбранного сечения направлена вверх и отрицательной, если она направлена вниз. Изгибающий момент считается положительным, если алгебраическая сумма моментов сил, расположенных слева от сечения, дает равнодействующий момент, направленный по ходу часовой стрелки. Положительная поперечная сила Q Q Положительный момент М Отрицательная поперечная сила Q Q М Отрицательный момент М М

Метод сечений при изгибе При поперечном изгибе в сечении действует изгибающий момент М и поперечная сила Q, для определения, которых используют метод сечений. Для изгибающего момента метод сечений формулируется следующим образом: Изгибающий момент в любом сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения. Для поперечной силы метод сечений формулируется следующим образом: Поперечная сила в сечении равна сумме проекций на нормаль к оси балки всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения.

Дифференциальные зависимости при изгибе

Дифференциальные зависимости при изгибе Первая производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки, перпендикулярной к ее оси Первая производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе. Вторая производная от изгибающего момента по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки, перпендикулярной к ее оси.

Правила контроля эпюр а R A а b R B RB F F R A b F R B F RA RB RA RAa Ч 1. В сечении, в котором к балке приложена сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная к оси балки эпюра поперечных сил Q делает скачок на величину этой силы и с ее знаком. 2. В сечении, где приложена сосредоточенная внешняя сила эпюра изгибающих моментов делает резкое изменение угла наклона смежных участков эпюры (излом эпюры). Излом эпюры направлен навстречу вектору силы.

а Правила контроля эпюр b RA R M RA B RB M RAЧ a q R A l 3. Сосредоточенная (или распределенная) пара сил влияния на закон изменения поперечных сил на участке не оказывает, и на эпюре Q это ни как не отражается. 4. В сечении, где приложена пара сил, эпюра изгибающих моментов делает скачок на величину этой пары и с ее знаком. R В RA 5. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка q, эпюра поперечных сил имеет вид прямой наклонной линии с угловым коэффициентом q. 2 q l /8 RB 6. На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра изгибающих моментов ограничена параболической кривой.

а Правила контроля эпюр RA a а F l RA F a F F RB RB R A F RA RB RB RAЧ a RBЧ a 7. В сечении где приложена сосредоточенная сила эпюра изгибающих моментов делает резкое изменение угла наклона смежных участков эпюры (излом эпюры). Излом эпюры направлен навстречу вектору силы. 8. На участке, где поперечная сила равна нулю, наблюдается деформация чистого плоского изгиба, при котором изгибающий момент является постоянной величиной (М=const).

Порядок построения эпюр Q и М а= м 2 RA q= к. Н/м 4 b= м 2 c= м 2 1. Определяем реакции опор Сумма моментов всех сил относительно опоры В: M=2 к. Нм RB F=2 к. Н Реакция в опоре А: Сумма моментов всех сил относительно опоры А: Реакция в опоре В: 5, 5 к. Н Проверка:

а 2 м = b 2 м = 2. Разбиваем балку на участки c=2 м Уравнения для поперечной силы RA q 4 к. Н м = / M= 2 k. Hм RB F=2 к Н z 1 z 2 z 3 F z 0 Q 1=RA-q z 1 Прямая наклонена оси эпюры при z 1=0, Q 1=RA-=4, 5 к. Н; при z 1=2 м, Q 1(2)=RA-qz=4, 5 -4∙ 2=3, 5 к. Н. Координаты сечения в котором поперечная сила равна нулю: RB RA 1 участок 0≤z 1≤a=2 м. Q 1=RA-q z 0 =0, z 0=RA/q=4, 5/4=1, 125 м 2 участок 2 м ≤z 2≤a=4 м. Q 2=RA-q а Прямая параллельная оси эпюры при z 2=2, Q 2(2)=RA-2 q=4, 5 -4∙ 2=-3, 5 к. Н; 3 участок 4 м ≤z 3≤a=6 м. Q 3=RA-q а+RB Прямая параллельная оси эпюры при z 3=4, Q 3(4)=RA-2 q + RB =4, 5 -4∙ 2+5, 5=2 к. Н;

Уравнения для изгибающего момента 1 участок 0≤z 1≤ 2 м M 1=RA∙z 1 -q∙z 12/2 Квадратная парабола При z 1=0, M 1(0)=0. При z 1=z 0=1, 125 м M 1(1, 125)=4, 5∙ 1, 125 -4∙ 1, 1252/2=2, 53 к. Н∙м. При z 1=2 м, М 1(2)=4, 5∙ 2 -4∙ 22/2=1 к. Н∙м; 2 участок 2≤z 2≤ 4 м M 2=RA∙z 2 -q∙a∙(z 2 -a/2)+М Убывающая наклонная прямая 1 к∙Нм При z 2=2, M 2(2)=4, 5∙ 2 -4∙ 2(2 -1)+2=3 к. Н∙м. При z 2=4 м M 2(4)=4, 5∙ 4 -4∙ 2(4 -1)+2=-4 к. Н∙м. 3 участок 4≤z 3≤ 6 м M 3=RA∙z 3 -q∙a∙(z 3 -a/2)+М+RB(z 3 -4) Возрастающая наклонная прямая При z 3=4 м M 3(4)=4, 5∙ 4 -4∙ 2(4 -1)+2=-4 к. Н∙м; При z 3=6 м М 3(6)=4, 5∙ 6 -4∙ 2(6 -1)+2+5, 5(6 -4)=0

а 2 м = RА q 4 к. Н/м = z 1 b 2 м = M=2 k. Hм z 2 c= м 2 RВ На участке, где поперечная сила положительна (Q>0), эпюра изгибающих моментов возрастает. F=2 к. Н z 3 RB RA F z 0 2, 53 На участке, где поперечная сила отрицательна (Q<0), эпюра изгибающих моментов убывает В сечениях балки, где эпюра поперечных сил пересекает ось эпюры, изгибающий момент имеет экстремум. Если при этом поперечная сила меняет знак с плюса на минус, на эпюре изгибающих моментов имеет место максимум, при смене знака с минуса на плюс имеет место минимум. На концевой шарнирной опоре поперечная сила равна реакции этой опоры, а изгибающий момент равен нулю. 3 4 На концевой шарнирной опоре поперечная сила равна реакции этой опоры, а изгибающий момент равен нулю.

Нормальные напряжения при изгибе В теории плоского изгиба, для упрощения решения задачи определения нормальных напряжений, на основании натурных испытаний, приняты следующие допущения: • При изгибе продольные сечения балки искривляются по дуге окружности; • Поперечные сечения плоские до изгиба, остаются плоскими и после изгиба; • Поперечные сечения пересекаются с продольными волокнами под прямым углом. Задача определения нормальных напряжений при изгибе является статически неопределимой и для ее решения необходимо рассмотреть три стороны задачи Статическая (ССЗ) Геометрическая (ГСЗ) Физическая (ФСЗ) Синтез

Статическая сторона задачи 2 участок 1 участок l а a R B R A F Опорные реакции 3 участок F Проверка z 1 z 2 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов 1 участок 0 ≤ z 1 ≥ a z 3 При z 1=0, М 1(0)=0 При z 1=а, М 1(а)=F·a 2 участок a ≤ z 2 ≥ (a+l) Эпюра поперечных сил F При z 2=а, М 2(а)=F·a При z 2=а+l, М 2(а+l)=F·(a+l) -F(a+l-a)=Fa Эпюра изгибающих моментов Ч Fa Fa F 3 участок (a+l) ≤ z 3 ≥ (2 a+l) При z 3=а+l, М 3(а+l)=F·(a+l) -F(a+l-a)=Fa При z 3=2 а+l, М 2(2 а+l)=F·(2 a+l) -F(2 a+l-a)=0

Статическая сторона задачи Если к балке приложен положительный изгибающий момент, то в этом случае, верхние ее волокна укорачиваются, а нижние удлиняются. Длина нейтрального волокна остается неизменной. Нейтральный слой R B F y R F A y Нейтральный линия z Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем. Линия, по которой поперечное сечение балки пересекается с нейтральным слоем балки, называется нейтральной линией сечения. d. A x x Нейтральный слой Мx

Геометрическая сторона задачи Длина отрезка на нейтральном слое Центр изгиба Длина отрезка на слое удаленном от нейтрального на расстояние y Удлинение отрезка после деформации Относительная деформация dz F a 0 a 1 b 0 b 1 F y

Физическая сторона задачи При чистом изгибе в поперечных сечениях балки действуют единственный силовой фактор изгибающий момент, поперечные силы отсутствуют, а следовательно отсутствуют и касательные напряжения. Под действием нормальных напряжений часть волокон балки удлиняется, другая часть укорачивается и для них можно записать закон Гука при растяжении с y x р Нейтральная линия

Синтез Осевой момент инерции ССЗ ГСЗ ФСЗ Нормальные напряжения при изгибе Величина момента инерции характеризует влияние размеров и формы поперечного сечения балки на ее способность сопротивляться деформации (искривлению).

Расчеты на прочность при изгибе При поперечном изгибе материал балки находится в неоднородном напряженном состоянии. Крайние (наиболее удаленные от нейтральной линии) точки сечения находятся в линейном напряженном состоянии и испытывают деформации растяжения или сжатия. Нейтральное волокно находится в плоском напряженном состоянии чистого сдвига, а все другие точки находятся в произвольном плоском напряженном состоянии. 1 F t макс sмин 2 3 sмакс F L Mакс = м 4 sмин 1 t t t 2 sмакс t 3

Расчеты на прочность при изгибе Опасной называется точка, где материал находится в более напряженном состоянии. • Опасной может быть наиболее удаленная от нейтрального слоя точка опасного сечения, где нормальные напряжения достигают наибольшей величины; • Опасной может быть точка нейтрального слоя сечения, в котором действует наибольшая поперечная сила, где касательные напряжения достигают наибольшей величины; • Опасной может быть точка, в которой и , хотя и не принимают наибольших значений, но в своей комбинации создают наиболее не выгодное сочетание, то есть в этой точке действуют наибольшие эквивалентные напряжения.

Расчеты на прочность по нормальным напряжениям Нормальные напряжения при изгибе макс Нейтральная линия мин изг Условие прочности при изгибе Проверочный расчет Проектный расчет Определение допускаемого момента