Лекция 3 ОСНОВЫ ТЕХНОЛОГИИ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 4

Лекция 3. ОСНОВЫ ТЕХНОЛОГИИ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФАКТОРОВ • Мультипликативный метод программной генерации случайных чисел, в основе которого лежит рекуррентное соотношение: ai=(А* аi-1 + С) mod M, где аi, аi-1 — очередное и предыдущее случайные числа соответственно; А, С — константы; М — достаточно большое целое положительное число (чем больше M, тем длиннее неповторяемая последовательность). 2

• Основные анализируемые характеристики генерируемых датчиком последовательностей: – равномерность; – стохастичность (случайность); – независимость. 3

Проверка равномерности P Vm Y • Интервал [0, 1] разбивается на m частей и проверяется частота попадания СВ в каждую часть. Y – случайная величина, P – относительная частота, Vm – среднее значение 4

Стохастичность (случайность) • Метод комбинаций Выбирают {x 1, x 2, . . , x. N} и определяют вероятность появления в каждом хi ровно j единиц. При этом могут анализироваться как все разряды числа, так и только L старших. Тогда ожидаемое число появлений случайных чисел из {х. N} с j единицами в проверяемых L разрядах: nj=N • C j. L p. L(1), C j. L — число комбинаций (сочетаний) j единиц в L разрядах р. L(1) — вероятность появления единицы в двоичном разряде, р. L(1)=0. 5. 5

Независимость • Две случайные величины а и b называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. Для независимых СВ корреляционный момент равен нулю. • Важной характеристикой датчика СЧ является длина отрезка апериодичности L. 6

Моделирование случайных событий • Событие А с вероятностью Р. 7

Пример Блок-схема алгоритма имитации случайного события Схема использования генератора случайных чисел для имитации случайного события 8

Моделирование полной группы несовместных событий События называются несовместными, если вероятность появления этих событий одновременно равна 0. Отсюда следует, что суммарная вероятность группы несовместных событий равна 1. Обозначим через a 1, a 2, …, an события, а через P 1, P 2, …, Pn — вероятности появления отдельных событий. Так как события несовместны, то сумма вероятностей их выпадения равна 1: P 1 + P 2 + … + Pn = 1. 9

Схема генерации несовместных случайных событий с помощью генератора случайных чисел 10

Блок-схема алгоритма имитации случайных несовместных событий 11

Пример Иллюстрация работы генератора случайных чисел на примере выбора карт из колоды 12

Моделирование дискретных случайных величин • метод последовательных сравнений; • метод интерпретации 13

Метод последовательных сравнений • Число R последовательно сравнивают со значением суммы P 1 + P 2 +. . . , P 1 — вероятность наименьшего значения СВ X, Р 2 — вероятность второго по величине значения СВ X. При первом выполнении условия проверка прекращается и дискретная СВ X считается принявшей значение xi 14

Пример дискретной случайной величины Х 15

Метод интерпретации • Пусть Р – вероятность успешных испытаний из N, G=1 -P – вероятность неудачных. Тогда моделируемая СВ есть число из N независимых СЧ, равномерно распределенных на интервале [0, 1], которые меньше Р. 16

Моделирование случайной величины с заданным законом распределения • Метод ступенчатой аппроксимации • Метод усечения • Метод взятия обратной функции 17

Метод ступенчатой аппроксимации Обозначим: hi - высота i-го столбца, f(x) — распределение вероятности. Значение hi операцией нормировки необходимо перевести в единицы вероятности появления значений x из интервала xi < x ≤ xi + 1: Pi = hi/(h 1 + h 2 + … + hi + … + hn). 18

Иллюстрация метода ступенчатой аппроксимации 19

Блок-схема алгоритма, реализующего метод ступенчатой аппроксимации 20

Метод усечения Иллюстрация метода усечения 21

Блок-схема алгоритма, реализующего метод усечения 22

Метод взятия обратной функции • Пусть задан интегральный закон распределения вероятности F(x), где f(x) — функция плотности вероятности x 1 = F– 1(r 1). r 1 — число, генерируемое эталонным ГСЧ в интервале от [0, 1], x 1 — сгенерированная в итоге случайная величина 23

Иллюстрация метода обратной функции для генерации случайных событий x 24

Для экспоненциального закона распределения вероятности случайных событий f(x) = λ · e–λx искомая СВ xi будет равна: xi = – 1/λ · ln(1 – ri). 25