Лекция 3 Основные правила выводимости 1

Лекция 3

Основные правила выводимости § 1. § § § 2. § § 3. § § 4. § H├A H, W├A H, C ├ A, H├C H├A. H, C ├ A, W├C H , W ├A. H ├ C→A H, C├ A.

Теорема дедукции § Пусть Н - множество формул, С, А формулы, § тогда H, C├ A. § H├C→A § В частности, если C├ A C→A

Обобщенная теорема дедукции § § {C 1, …, Ck}├ A ├C 1 →(C 2→(C 3→…(Ck→A)…)) § Теорема. (обратная теорема дедукции. )

Правило введения конъюнкции и дизъюнкции

Построение вывода в логике высказываний.

Проблемы аксиоматического исчисления . высказываний § Всякая аксиоматическая теория для ее обоснования требует рассмотрения четырех проблем: § проблемы разрешимости, § проблемы непротиворечивости, § проблемы полноты, § проблемы независимости.

Проблема разрешимости исчисления высказываний § Проблема заключается в доказательстве существования алгоритма, который позволил бы для любой заданной формулы исчисления высказываний определить, является ли она доказуемой или не является. § Теорема Проблема разрешимости для исчисления высказываний разрешима. § Док-во § любая формула исчисления высказываний - формула алгебры высказываний, и, следовательно, можно рассматривать ее логические значения на различных наборах значений входящих в нее переменных

Проблема непротиворечивости исчисления высказываний Определение Логическое исчисление называется непротиворечивым, если в нем не доказуемы никакие две формулы, из которых одна является отрицанием другой. § Иначе говоря, аксиоматическое исчисление называется непротиворечивым, если в нем не существует такая формула А, что доказуема как формула А, так и формула не А. § Если в исчислении обнаруживаются доказуемые формулы вида А и не А, то такое исчисление называется противоречивым.

Проблема полноты исчисление высказываний § Определение. Аксиоматическое исчисление высказываний называется полным в узком смысле, если добавление к списку его аксиом любой недоказуемой в исчислении формулы в качестве новой аксиомы приводит к противоречивому исчислению. § Определение. Исчисление высказываний называется полным в широком смысле, если любая тождественно истинная формула в нем доказуема

§ Проблема полноты исчисления высказываний содержит два вопроса: § Можно ли расширить систему аксиоматического исчисления путем добавления к ней в качестве новой аксиомы какой-нибудь недоказуемой в этом исчислении формулы? § Является ли всякая тождественно истинная формула алгебры высказываний доказуемой в исчислении высказываний? § Рассмотренное нами исчисление высказываний полно как в узком смысле, так и в широком.

Проблема независимости аксиом исчисления высказываний. Определение Аксиома А называется независимой от всех остальных аксиом исчисления, если она не может быть выведена из остальных аксиом. § Определение Система аксиом исчисления называется независимой, если каждая аксиома системы независима. § Рассмотренная нами система аксиом исчисления высказываний независима

АВТОМАТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ

§ В общем случае такой алгоритм построить нельзя. § Но для некоторых частных случаев такие алгоритмы существуют. § Доказательство теоремы равносильно доказательству общезначимости некоторой формулы. § Наиболее эффективно доказательство общезначимости формул осуществляется методом резолюций.

§ Процедура поиска доказательства методом резолюций фактически является процедурой поиска опровержения, т. е. вместо доказательства общезначимости формулы доказывается, что отрицание формулы противоречиво

§ В 1965 г. Робинсон предложил свой метод резолюций, который и по сей день лежит в основе большинства систем поиска логического вывода. § метод резолюций был использован в качестве основы нового языка программирования. § Так в 1972 году родился язык Пролог (“ПРОграммирование в терминах ЛОГики”)

§ Суть этой идеи состоит в том, чтобы компьютеру предлагать не алгоритмы, а описания предметной области задачи и саму задачу в виде некоторой аксиоматической системы, § решение задачи предлагать в виде вывода такой системы. § От программиста при таком подходе требуется описать с достаточной степенью полноты предметную область и формулировку задачи на языке этой системы, а поиск вывода, приводящего к решению задачи, поручается компьютеру.

§ Метод резолюций – это метод автоматического доказательства теорем. Это алгоритм, проверяющий отношение выводимости Г├. А § В общем случае алгоритм автоматического доказательства теорем не существует, но для формальных теорий (таких как исчисление высказываний, исчисление предикатов) подобные алгоритмы известны.

Основные определения метода резолюций § Определение Литерой будем называть выражения A или ØA. § Определение. Предложением называется дизъюнкция формул вида A или ØA § Определение Литеры A и ØA называются контрарными, а множество {A, ØA} – контрарной парой. § Определение Дизъюнкт – это дизъюнкция литер (или элементарная дизъюнкция) § Определение Дизъюнкт пустой (обозначается ), если он не содержит литер. § Пустой дизъюнкт всегда ложен, так как в нем нет литер, которые могли бы быть истинными при любых наборах переменных

Пример дизъюнктов

Правило Резолюций

Доказательство правила резолюций

Пример

§ Метод резолюций соответствует методу доказательства от противного. Действительно, условие A 1, A 2, …, A ├ B равносильно условию § A 1, A 2, …, An, ØB├ . § Метод резолюций относится к методам непрямого вывода.

Алгоритм построения вывода методом резолюций § Шаг 1. Формулы A 1, A 2, …, An и формулу ØB привести к КНФ. § Шаг 2. Составить множество S дизъюнктов формул A 1, A 2, …, An и ØB. § Шаг 3. Вместо пары дизъюнктов, содержащих контрарные литеры записать их резольвенту по правилу (2). § Шаг 4. Процесс продолжаем. Если он заканчивается пустым дизъюнктом, то вывод обоснован. § Изложенный алгоритм называется резолютивным выводом из S.

Резолютивный вывод из S. § Возможны три случая: § 1. Среди множества дизъюнктов нет содержащих контрарные литеры. Это означает, что формула B не выводима из множества формул A 1, A 2, …, An. § 2. В результате очередного применения правила резолюции получен пустой дизъюнкт. Это означает, что формула B выводима из множества формул A 1, A 2, …, An. § 3. Процесс зацикливается, т. е. получаются все новые и новые резольвенты, среди которых нет пустых. Это ничего не означает.

Пример

Продолжение примера

§ Правило резолюций более общее, чем правило modus ponens и производные правила, § Правило модус поненс также можно считать частным случаем правила резолюции при ложном A.

Докажем методом резолюций правило modus ponens

Преимущества и недостатки метода резолюций § Метод резолюций легко поддается алгоритмизации. Это позволяет использовать его в логических языках, в частности в ПРОЛОГе. § Недостатком этого метода является необходимость представления формул в КНФ. § Автоматическое доказательство теорем методом резолюций основан на переборе и этот перебор может быть настолько большим, что затраты времени на него практически неосуществимы – существенный недостаток.

§ В множестве дизъюнктов существует, как правило, не одна пара дизъюнктов, к которым можно применить правило резолюций. § Способ выбора дизъюнктов и летералов в них, к которым применяется правило резолюций для получения резольвенты, называется стратегией метода. § применение метода резолюций в доказательстве теорем и при планировании действий.