Лекция 3 Ортогональные проекции плоскости Способы задания

Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости • Способы задания плоскости • Плоскости общего и частного положений • Особые линии плоскости Лектор Стриганова Л. Ю.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТЬ – МНОЖЕСТВО ПОЛОЖЕНИЙ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ОДНУ ТОЧКУ ПРОСТРАНСТВА И ПЕРЕСЕКАЮЩИХ ВНЕ ЕЕ ПРЯМУЮ ЛИНИЮ A a

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ 1. Аналитический способ Аx + By + Cz + D = 0 2. Графические способы

Графические способы задания плоскости Существуют 6 способов задания плоскости на эпюре, каждый из которых последовательно переходит один в другой А 2 aп 2 В 2 C 2 X ax А 1 aп 1 В 1 C 1 Z Y

Графические способы задания плоскости 2. Прямая и точка вне этой прямой 1. Три точки не принадлежащие одной прямой Z Z А 2 В 2 b 2 C 2 X А 1 C 1 В 1 C 1 Y b 1 Y

3. Параллельные прямые 4. Пересекающиеся прямые Z a 2 а 2 b 2 X Z К 2 X b 1 а 1 a 1 Y b 1 К 1 Y

5. Плоская фигура Z А 2 В 2 C 2 X А 1 C 1 В 1 Y

6. Следы плоскости – линии пересечения данной плоскости с плоскостями проекций Z a. П 2 az a-плоскость; a aп 1 - горизонтальный след плоскости a; aп 2 - фронтальный след плоскости a; a. П 3 ax X a п 1 aп 3 - профильный след плоскости a; ay ax, ay, az - точки схода следов. Y

Z a. П 2 Z a az az a. П 3 a. П 2 a. П 3 Zα ax X X a п 1 Y xα ax ay ay Y yα a п 1 ay Y

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 1. Относительно плоскостей проекций плоскости разделяют: • плоскости частного положения • плоскости общего положения 2. Плоскости частного положения разделяют: • плоскости параллельные плоскостям проекций – плоскости уровня • плоскости перпендикулярные плоскостям проекций – плоскости проецирующие

ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ 1. Плоскости уровня – это плоскости параллельные плоскостям проекций Горизонтальная плоскость уровня a. II П 1 a. П 2 a Z В 2 С az 2 А 2 a. П 2 az В 3 С 3 А 3 a. П 3 А 2 В 1 А 1 С 1 Y В 2 С 2 a. П 3 Y X X Z А 1 С 1 Y ΔАВС ; IABCI=IA 1 B 1 C 1 I

Фронтальная плоскость уровня b I| П 2 Z b В 2 Z В 3 b. П 3 А 2 С 2 b. П 3 Y X b п 1 А 3≡С 3 by X by А 1 Y В 1 С 1 b п 1 ΔАВС ; IABCI=IA 2 B 2 C 2 I Y by

Профильная плоскость уровня П 3 Z g g. П 2 X gx X g п 1 Y Z gx Y g п 1 Y

Особенности чертежа плоскостей уровня • Фигуры принадлежащие плоскостям уровня проецируются в натуральную величину на параллельную плоскость проекций • На другие плоскости проекций фигуры принадлежащие плоскостям уровня проецируются в прямую линию

2. Проецирующие плоскости - это плоскости перпендикулярные плоскостям проекций Горизонтально проецирующая плоскость ┴П 1 ΔАВС Z a. П 2 a В 2 Z a. П 2 a. П 3 А 2 X С 2 a. П 3 ax ax ay X a п 1 ay А 1 y В 1 Y a п 1 С 1 ay Y Y

Фронтально проецирующая плоскость ┴ П 2 ΔАВС Z П 2 Z z П 2 z С 2 П 3 В 2 П 3 А 2 X x X f Y x П 1 А 1 С 1 В 1 Y п 1 Y

Профильно проецирующая плоскость ┴ П 3 ΔАВС П 2 Z Z П 2 z z ψ П 3 φ X X В 3 А 3 Y y п 1 Y y Y

Особенности чертежа проецирующих плоскостей • Фигуры принадлежащие проецирующим плоскостям на перпендикулярную плоскость проекций проецируются в прямую линию (вырожденная проекция) • Угол наклона между вырожденной проекцией и осями координат равен углу между заданной плоскостью и плоскостью проекций

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ • Плоскость общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций. Z a. П 2 a az a. П 3 ax X a п 1 ay Y

ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ ПЛОСКОСТИ 1. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой в этой плоскости 2. Прямая принадлежит плоскости если она проходит: а) через две точки этой плоскости б) через точку плоскости параллельно какой-либо прямой этой плоскости

Принадлежит ли точка А плоскости a? Z aп 2 точка А плоскости a А 2 X не принадлежит ax А 1 a. П 1 Y

ОСОБЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ 1. ЛИНИИ УРОВНЯ ПЛОСКОСТИ – линии параллельные плоскостям проекций и принадлежащие данной плоскости; 2. ЛИНИИ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА (ЛНН) ПЛОСКОСТИ – определяют угол наклона данной плоскости к одной из плоскостей проекций. ЛНН перпендикулярны линиям уровня: горизонтали на плоскости П 1; фронтали на плоскости П 2.

ЛИНИИ УРОВНЯ ПЛОСКОСТИ Горизонталь плоскости Z az a Горизонталь h параллельна горизонтальной плоскости проекций и принадлежит плоскости a a. П 2 a. П 3 ax X a п 1 ay Y

1. ЛИНИИ УРОВНЯ ПЛОСКОСТИ Горизонталь плоскости AН(h) горизонталь плоскости a; Z aп 2 az Следы плоскости – линии уровня плоскости А 2 Н 2 h 2 X ax a. П 1 Н 1 h 1 А 1 ay Y п 1 –горизонталь плоскости п 2 –фронталь плоскости

Горизонталь плоскости треугольника В 2 AH(h)– горизонталь ΔАВС H 2 А 2 X С 2 А 1 С 1 H 1 В 1

Фронталь плоскости Z aп 2 az АF (f)- фронталь плоскости a А 2 f 2 ax F 2 X F 1 А 1 f 1 a. П 1 ay Y

Фронталь плоскости треугольника В 2 СF (f) фронталь плоскости ΔАВС F 2 А 2 С 2 X А 1 F 1 С 1 В 1

2. ЛИНИИ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА ПЛОСКОСТИ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ Линия ската 1. Линия ската az Z a a. П 2 a. П 3 h 2. Линия Ската ┴ αп 1; 3. Линия Ската ┴ h 1. ax X Линия наибольшего наклона плоскости α к горизонтальной плоскости проекций - Линия ската плоскости α. a п 1 ay Y

Линия ската aп 2 1. А 1 D 1 ┴ А 1 H 1 II П 1. az 2. А 1 D 1 ┴ αп 1 А 2 H 2 h 2 X ax a. П 1 D 2 H 1 h 1 А 1 D 1 ay Y

Линия ската треугольника В 2 1. В 1 D 1 ┴ А 1 H 1 2. ВD – линия ската треугольника H 2 А 2 D 2 С 2 X А 1 D 1 H 1 В 1 С 1

ЛИНИЯ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА ПЛОСКОСТИ Z a. П 2 a az 1. 2. a. П 3 ax X f a п 1 ay Y ЛНН к П 2 ┴ αп 2 ЛНН к П 2 ┴ f II П 2

Линия наибольшего наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций z aп 2 az Е 2 f 2 А 2 X ax F 2 Е 1 F 1 A 1 a. П 1 f 1 ay АЕ – ЛНН к П 2 A 2 Е 2 ┴ A 2 F 2 П 2 A 2 Е 2 ┴ п 2

ЛИНИЯ НАИБОЛЬШЕГО НАКЛОНА плоскости ΔАВС к фронтальной плоскости проекций В 2 F 2 А 2 BE – ЛНН к П 2 В 2 E 2 ┴ C 2 F 2 П 2 Е 2 С 2 X А 1 F 1 Е 1 В 1 С 1

НОРМАЛЬ ПЛОСКОСТИ a • Нормаль плоскости n – линия перпендикулярная заданной плоскости Z a. П 2 az a. П 3 n ax X a п 1 ay Y

aп 2 az n 2 А 2 ax А 1 X n 1 a. П 1 ay Y • Проекции нормали перпендикулярны проекциям линий уровня плоскости a: горизонтали на П 1; фронтали на П 2. • Проекции нормали перпендикулярны следам плоскости a: n 1 ┴ a п 1 ; n 2 ┴ a п 2.

А 2 НОРМАЛЬ ПЛОСКОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКА Через точку D провести В 2 D 2 1. Проведем перпендикуляр горизонталь F 2 к плоскости AH. На горизонтальной плоскости треугольника проекции нор. АВС перпендикулярна H 2 маль горизонтали D 1 N 1┴ А 1 Н 1 А(80, 20, 30) N 2 С 2 Точку N выберем произ. В(40, 60) вольно D 1 С(0, 40, 0) 2. Проведем фронталь CF X А 1 С 1 F 1 N 1 В 1 H 1 D(10, 0, 70) На фронтальной плоскости проекции нормаль перпендикулярна фронтали D 2 N 2 ┴C 2 F 2

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ, ПЛОСКОСТИ

1. ПРЯМАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНА ПЛОСКОСТИ, ЕСЛИ ОНА ПАРАЛЛЕЛЬНА ЛЮБОЙ ПРЯМОЙ ПРИНАДЛЕЖАЩЕЙ ПЛОСКОСТИ 2. ПЛОСКОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ, ЕСЛИ ДВЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ДВУМ ПЕРЕСЕКАЮЩИМСЯ ПРЯМЫМ ДРУГОЙ ПЛОСКОСТИ

• Через точку D провести прямую a параллельную Δ АВС и плоскость α(a∩b) параллельную Δ АВС

a 2 B 2 b 2 A 2 Z D 2 a 2 II B 2 C 2 a II BC a 1 II B 1 C 1 a II ΔABC C 2 (a b) X b 1 A 1 a II BC D 1 C 1 b II AC a 1 B 1 Y a II ΔABC

Построить следы плоскости β, параллельной α и проходящей через точку А αп 2 βп 2 F 2 А 2 F 1 А 1 βп 1 αп 1 Проведем через точку А горизонталь параллельную горизонтальному следу плоскости α

ПРЯМАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ • ПРЯМАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ПЛОСКОСТИ, ЕСЛИ ОНА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ДВУМ ПЕРЕСЕКАЮЩИМСЯ ПРЯМЫМ ПРИНАДЛЕЖАЩИМ ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ • В соответствии с теоремой о проекциях прямого угла прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна одноименным проекциям горизонтали и фронтали плоскости · ДВЕ ПЛОСКОСТИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ, ЕСЛИ ОДНА ПЛОСКОСТЬ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ДРУГОЙ

Задача • Построить проекции нормали плоскости a, проходящей через точку С плоскости

C α αп 2 n 2 С 2 А 1 D 2 X O С 1 D 1 n 1 αП 1

• Через точку D провести перпендикуляр к плоскости Δ АВС и плоскость α (n∩a) перпендикулярную Δ АВС • А(80, 10, 30) • В(40, 60, 50) • С(10, 45, 0) • D(50, 55, 5)

В 2 a 2 F 2 n 2 А 2 H 2 X D 2 С 2 А 1 n 1 С 1 F 1 a 1 D 1 H 1 В 1 1. n 1 А 1 Н 1 II П 1 3. n 2 С 2 F 2 II П 2 4. а – произвольная прямая

ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, ЕСЛИ У НИХ ЕСТЬ ОДНА ОБЩАЯ ТОЧКА

п 2 а 2 п а 2 2 К 2 X X O O К 1 a 1 К 1 п 1 a 1 п 1 • Точка пересечения прямой и плоскости частного положения определяется на пересечении следа плоскости и проекции прямой

Пересечение прямой частного положения и плоскости общего положения В 2 a 2≡К 2 А 2 m 2 С 2 В 1 X А 1 К 1 a 1 О С 1

Пересечение прямой общего положения и плоскости общего положения СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ 1. Через прямую проводят плоскость частного положения α ┴ П 1. 2. Определяют линию пересечения заданной плоскости и введенной плоскости α. 3. Определяют точку пересечения заданной прямой и построенной линии пересечения. Это искомая точка пересечения заданной плоскости и прямой а. 4. Определяют видимость заданной прямой.

B 2 αп 2 К 2 D 2 С 2 Е 2 A 2 αп 1 a 2 B 1 D 1 К 1 A 1 C 1 E 1 a 1 Видимость прямой определяют по конкурирующим точкам

Видимость прямых определяют по конкурирующим точкам которые принадлежат скрещивающимся прямым. Конкурирующие точки располагаются дальше или ближе относительно плоскости П 2 (точки А и В), выше или ниже относительно плоскости П 1 (точки C и D). На горизонтальной плоскости проекций видима точка С имеющая большую координату Z, на фронтальной плоскости проекций видима точка А имеющая большую координату Y. С 2 А 2 Ξ В 2 D 2 X В 1 А 1 D 1 Ξ C 1

Определение видимости прямой B 2 К 2 F 2 Е 21 Е 2 A 2 F 11 B 1 F 1 К 1 A 1 С 2 C 1 E 1

ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПЛОСКОСТИ

1. ПЛОСКОСТИ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ, ЕСЛИ У НИХ ЕСТЬ ДВЕ ОБЩИЕ ТОЧКИ 2. ПЛОСКОСТИ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПО ПРЯМОЙ ЛИНИИ, КОТОРАЯ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ДВЕ ОБЩИЕ ТОЧКИ ПЛОСКОСТЕЙ

B 2 F 2 К 2 X α п 1 A 2 α п 2 C 2 B 1 O F 1 К 1 C 1 A 1 • Линия пересечения фронтально-проецирующей плоскости и плоскости общего положения определяется по точкам пересечения сторон треугольника ΔАВС и фронтального следа плоскости α

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ Для построения линии пересечения плоскостей достаточно определить две общие точки заданных плоскостей

Задача Построить линию пересечения треугольников ΔABC и ΔDEF. A(100, 20), B(65, 70), C(10, 30, 25), D(90, 10, 55), E(45, 70, 0), F(20, 10, 65)

1. АВС ∩ DE = К DE ┴ П 2 2. АВС ∩ EF = L EF ┴ П 2

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ bп 2 1. АВС ∩ α = 1 -2 ∩ DE = К αп 2 К 12 2 22 21 11 К 1 32 L 2 42 3. АВС ∩ β = 3 -4 ∩ EF= L 3. Определим видимость треугольников. 41 L 1 31 αп 1 Ξbп 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДИМОСТИ СТОРОН ТРЕУГОЛЬНИКА bп 2 αп 2 К 1 L 2 L 1 αп 1 Ξbп 1 • Видимость определяем по конкурирующим точкам или визуально. • Вершины треугольников В и F имеют большую координату Z (относит. других вершин). • В и F видимы на П 1. • Вершины В и Е имеют большую координату У (относит. других вершин). • В и Е видимы на П 2.