Лекция 3 Мы выяснили, что радиус действия ядерных

Лекция 3 Мы выяснили, что радиус действия ядерных сил определяется комптоновской длиной волны -мезона А поскольку длины волн тепловых нейтронов В этом случае, как мы увидим, рассеяние на ядрах практически не будет отличаться от рассеяния на точечном объекте, оно будет изотропным, т.е. нейтроны не "чувствуют" форму потенциала.

На больших по сравнению с размерами ядра расстояниях мы представили волновую функцию в виде суммы двух волн: падающей и рассеянной – сферической, расходящейся от центра волны Амплитуда рассеяния

Величина Aba называется амплитудой рассеяния. При | r | >> | r‘ | она определяет амплитуду рассеянной сферической волны Отношение dN к плотности падающего потока – дифференциальное сечение рассеяния Через элемент площадки r 2d в одну секунду проходит dN = jr r 2d рассеянных частиц и, соответственно, радиальную плотность потока jr

Сечение рассеяния имеет смысл площадки, расположенной перпендикулярно пучку, которая рассеивает с единичной вероятностью (в классической механике это – площадь поперечного сечения рассеивателя) Решая интегральное уравнение для a методом последовательных приближений, получим Соответственно, для амплитуды рассеяния

Этому ряду теории возмущений для амплитуды рассеяния можно сопоставить ряд графиков (диаграмм), которые имеют довольно наглядный смысл. Это – амплитуды рассеяния, получающиеся в результате однократного, двукратного и т.д. взаимодействия частицы с силовым центром

В первом борновском приближении (или просто в борновском) получим следующее выражение для амплитуды рассеяния: – переданный импульс от рассеивателя частице.

Так что, в борновском приближении амплитуда рассеяния с передачей импульса q определяестся соответствующей фурье-компонентой потенциала соответственно, сечение

Метод парциальных волн в теории рассеяния Возможность использования теории возмущений определяется достаточной малостью потенциала взаимодейстаия, по сравнению с энергией налетающей частицы. В области же достаточно малых энергий (больших длин волн) налетающих частиц имеется другая возможность упростить задачу о рассеянии, используя в качестве малого параметра отношение радиуса действия ядерных сил к длине волны частицы. Проиллюстрируем это в теории возмущений Когда длина волны a=1/ka >> RN (RN –радиус действия сил), то qr << 1, и экспоненту можно разложить в ряд

Удерживая только первый член ряда, будем иметь т.е. для медленных нейтронов при a=1/ka >> RN рассеяние изотропно и определяется средней по объему величиной потенциала (его нулевой гармоникой). Это означает, что нейтрон "не чувствует пространственную структуру ядра. Ядро конечного радиуса рассеивает точно так же, как точечное, если интеграл одинаков Проиллюстрируем, почему структура потенциала не чувствуется медленной частицей, на примере потенциала вида Заметим, что любой потенциал можно представить как сумму дельта-функций, в силу определения самой -функции V(r) = V(r’) (r - r’) d3r’

Две рассеивающие точки на расстоянии R В этом случае, амплитуда рассеяния Сечение Когда kaR << 1, то и qR << 1, и сечение неотличимо от сечения рассеяния на потенциале (V1+V2)  (r) При qR >>1, малое изменение q (как по величине, так и по направлению) приводит к множеству осцилляций cos поэтому в реальном эксперименте это слагаемое усредняется в нуль

О нейтроне

Сверху: распределение электронной плотности в сложной молекуле, видимое в «свете» рентгеновских лучей. Снизу: распределение ядерной плотности в той же молекуле в «свете» нейтронов.

Парциальные волны Изотропность рассеяния при  >> R связана с тем, чтов этом случае рассеяние происходит только с угловым моментом l=0 (в s-состоянии) Момент импульса налетающей частицы есть M = pb. С другой стороны, в квантовой механике он равен Ml = ħ [l(l+1]1/2, так что каждому значению орбитального квантового числа l соответствует свое прицельное расстояние (при заданном импульсе p):

| Частицы с l  0 минуют область взаимодействия и не рассеиваются. Рассеивается только s-волна, остальные компоненты волновой функции остаются без изменения. Чтобы провзаимодействовать, нейтрон должен пройти на расстоянии  RN от центра ядра, а поскольку это расстояние много меньше его длины волны, то мы не можем знать, с какой стороны от ядра проходит нейтрон. Нейтрон практически с одинаковой вероятностью проходит с обеих сторон ядра, а это означает, что его средний момент импульса равен нулю, то есть рассеяние происходит только в s-состоянии. Длины волн   RN, при которых существенным становится рассеяние с l =1 (в p-состоянии), соответствуют энергиям нейтронов  10 МэВ. Если потенциал, в котором происходит рассеяние, обладает сферической симметрией, то момент количества движения является интегралом движения, т.е. состояния с разными моментами рассеиваются независимо. Поэтому падающую волну удобно представить в виде суперпозиции волн с разными моментами. Их и называют парциальными волнами. Парциальные волны

| Выбрав за полярную ось направление ka, напишем Парциальные волны

Наличие в плоской волне сходящейся и расходящейся волн отражает тот простой факт, что, с точки зрения классического радиального движения, свободная частица сначала приближается к центру, а потом удаляется от него. Что можно представить как отражение от потенциального барьера. Это и есть причина появления в уравнениях центробежного потенциала. Парциальные волны Отступление

Парциальные волны Решение уравнения Шредингера, определяющее рассеяние, будем искать в таком же виде: ψ(r) = (kr) −1 l (2l + 1)ilRl(r)Pl(cos θ), тогда для Rl(r) получим уравнение с граничным условием Rl(0) = 0, чтобы волновая функция ψ(r) была конечной в нуле. Это уравнение получено из уравнения Шредингера в сферических координатах подстановкой в него ψ(r), что соответствует обычной подстановке ψ = f(r)Ylm, где f(r) = R(r)/r.

Мы можем кое-что сказать о функции Rl(r), не решая уравнения. Например, на больших расстояниях от центра ее можно записать в виде, поскольку взаимодействие с рассеивающим полем изменит только амплитуду расходящихся от центра волн. Парциальные волны Величина Sl называется диагональным матричным элементом матрицы расеяния. Сравнивая с асимптотикой для (r), получим

Парциальные волны При упругом рассеянии величины Sl могут быть выражены через фазовые смещения (фазы рассеяния) l , тогда и Поскольку Pl (1) = 1, то

Парциальные волны Интегрируя по углам величину и, используя свойство ортонормированности полиномов Лежандра получим

Парциальные волны или где Множитель (2l +1) можно интерпретировать как статистический вес состояния с моментом l. Из этого выражения следует важный вывод, что максимально возможное значение сечения равно

Парциальные волны Оно определяется не геометрическим размером рассеивателя R , а длиной волны налетающего нейтрона, которая в нашем случае на много порядков больше. Это имеет место при так называемом резонансном рассеянии, фаза при этом проходит через значение /2 . Таким образом при увеличении фазы рассеяния от 0 до /2 сечение рассеяния возрастает, при дальнейшем увеличении фазы оно начинает убывать и cнова обращается в нуль при фазе равной . Из выражения для A(0) имеем То есть Это соотношение называется оптической теоремой.

Резонансное рассеяние Так называемое резонансное рассеяние возникает, когда энергия налетающей частицы на ядро сравнивается с энергией возбужденного состояния составного ядра (состоящего из частицы и исходного ядра). При этом можно считать, что рассеяние происходит в два этапа: сначала налетающая частица поглощается ядром, затем составная система живет некоторое время и распадается опять на первоначальное ядро и ту же частицу. Существенным моментом такой картины является то, что составное ядро за время жизни "забывает историю", и его дальнейший распад не зависит от способа образования, т.е свойств первоначальной системы. Проиллюстрировать это явление можно на простом примере рассеяния частицы на потенциале с барьером (например, кулоновским, в случае рассеяния α-частицы или протона на ядре) Потенциал взаимодействия частицы в состоянии с моментом l. Частица в квазистационарном состоянии с энергией Er. Может произойти распад такой составной системы : частица может протуннелировать наружу. Такой эффект играет важную роль в α-распаде ядер и рссмотрен впервые в работах Гамова (1928 г.), Гарни и Кондона (1928, 1929).

Используем метод комплексных энергий, впервые предложенный Гамовым. Предположим, что расстояния между распадающимися квазистационарными состояниями много больше их "ширин", а также что энергия системы в состоянии r определяется комплексной величиной Резонансное рассеяние где Er, Γ — вещественны и Γ > 0. Тогда вероятность найти систему в состоянии r будет уменьшаться со временем следующим образом: Число ядер в состоянии r будет также уменьшаться экспоненциально скорость переходов (вероятность распада в единицу времени) будет

Это соотношение позволяет интерпретировать Γ как ширину уровня в соответствии принципом неопределенностей, поскольку из него следует, что τ = 1/Γ — есть среднее время жизни состояния (среднее время между двумя распадами)). Радиальную часть волновой функции на больших расстояниях можно записать в виде Резонансное рассеяние или где Al(E) — комплексные функции от комплексной энергии E: Фазы рассеяния определятся из

Резонансное рассеяние При E = Er − iΓ/2 амплитуда сходящейся волны должна обратиться в нуль Волновая функция в этом случае будет описывать "связанное" состояние, и в В.Ф. останется только расходящаяся волна, соответствующая распаду состояния. Это и отвечает тому, что произошло поглощение, и система "забыла" о налетающей частице, поскольку сходящейся волны нет. Разлагая Al в окрестности Er − (i/2)Γ, получим то есть

Резонансное рассеяние Следовательно, при E = Er − (i/2)Γ, будем иметь Такой волне соответствует полный ток вероятности Согласно уравнению неразрывности этот ток должен равняться вероятности распада в единицу времени Γ/ħ, откуда следует |al|2 = 1/ ħvΓ , где v = ħk/m — скорость частицы. Используя выражение для Al(E) получим для сдвига фазы:

Резонансное рассеяние Если положить тo и

Резонансное рассеяние Здесь δl(0) — сдвиг фазы вдали от резонансного уровня. При |E −Er| >> Γ, δl →δl(0). В окрестности резонанса имеем Отсюда видно, что когда энергия падающей частицы проходит через резонансное значение, сдвиг фазы изменяется на . Для амплитуды рассеяния, соответственно получаем:

Резонансное рассеяние Первый член этого выражения называется амплитудой потенциального рассеяния, второй — амплитудой резонансного рассеяния. В сечение рассеяния дают вклад обе амплитуды в том числе и интерференционный член. Сечение резонансного рассеяния определяется формулой: При энергии E = Er ± Γ/2 оно падает в два раза по сравнению с макси-мальным значением в резонансе (при E = Er) равным: Поэтому величину Γ называют шириной уровня на половине высоты, или просто шириной уровня. При точном резонансе фаза

Резонансное рассеяние Изображение кривых зависимостей сечения резонансного рассеяния и фазы δ от энергии нейтрона E/Er.

1. Сферическая потенциальная яма глубины V0 и радиуса d. Потенциал имеет вид: Несколько примеров упругого рассеяния

Несколько примеров упругого рассеяния Тогда внутри ямы уравнение Шредингера запишется или где Его решение внутри ямы При r → 

Несколько примеров упругого рассеяния В силу непрерывности волновой функции и ее производной, на границе ядра нужно "сшить" внешние и внутренние решения уравнения Шредингера и их производные, а поскольку нас интересует только фаза δ0 волновой функции, то можно приравнять на границе ядра значения логарифмических производных: K ctg Kd = k ctg (kd + δ0), tg (kd +δ0)=kD, K ctg Kd = K / tg Kd ≡ D−1 где или логарифмическая производная функции внутренней области.

Несколько примеров упругого рассеяния В результате Поскольку у нас kd << 1 (S-волна), следовательно и При kD → ,т.е. когда Kd →(π/2+nπ), (D = tg Kd / K) имеем

При kD → , т.е. когда Kd →(π/2+nπ), (D=tg Kd/K) имеем следовательно в этом случае δ0 ≈ π/2. Это означает, что при выполнении условий возникает резонанс. Если же еще и k2Dd << 1 (при k → 0), то tg δ0 ≈ k(D − d) полное сечение рассеяния запишется как

полное сечение рассеяния При малых энергиях и глубоких ямах имеем K2 = k2 + 2 ≈  2 В этом случае сечение не зависит от энергии (слабо зависит), в этом случае δ0 ~ k. При d =(2n+1) π/2 сечение резко возрастает (tg d →). Этo - условия появления очередного S-уровня в яме. При d = π/2 на поверхности ямы появляется 1-й уровень с E1=0. Углубляя яму, можно добиться появления 2-го уровня c E2=0 при d =3π/2 ит.д.

При не очень глубоких ямах, сечение может существенно зависеть от энергии, в частности, при тех энергиях, когда tg(Kd) = Kd, сечение рассеяния обращается в нуль. Это — эффект Рамзауэра. Экспериментально он был впервые обнаружен при рассеянии электронов на атомах благородных газов. При приближении энергии к резонансной, когда сечение резко возрастает. Те значения энергии, при которых возникает резонанс, называются виртуальными уровнями энергии системы.

Длина рассеяния Представим волновую функцию нейтрона в виде при kr → 0

Длина рассеяния называется длиной рассеяния, это — расстояние, на котором R0 обращается в 0. Величина

Сферический потенциальный барьер высотой V0 и радиуса d Для сферического барьера 2 = −2mV0/ħ2, поэтому при энергиях нейтронов, малых по сравнению с высотой барьера, выражение для сечения можно получить заменой ( → i), что эквивалентно замене обычного тангенса на гиперболический в выражении для сечения Для бесконечно высокого (непроницаемого) барьера d →  и th d →1, так что , в этом случае и

т.е. длина рассеяния в этом случае совпадает с радиусом непроницаемой сферы Сечение через длину рассеяния выражается следующим образом При k → 0 оно равно

Величину S0 можно выразить через логарифмическую производную функции R0 в точке d на границе ядра. Обозначив Резонансное рассеяние получим где x = kd << 1. Выделив в величине f(E) вещественную и мнимую части f(E)=f0 − ih, выразим через них S0: Отсюда и

Так как функция R0 и ее производная должны быть непрерывны на границе ядра, то значение f(E) при r =d полностью определяется условиями во внутренней области r ≤ d. Следовательно, величины f0 и h являются функциями энергии относительного движения нейтрона и ядра (которые образуют составную систему). Если h = 0, т.е. f(E) = f0, то σr = 0 и |S0|2 =1. В этом случае – только упругое рассеяние. Резонансное рассеяние Значения энергий Er, при которых f0(Er) = 0, называются резонансными. В них сечения σr и σe достигают максимальных значений. Разложив функцию f0(E) в ряд по степеням E − Er вблизи E = Er и обозначив

Резонансное рассеяние получим сечение упругого рассеяния запишем в виде где амплитуда резонансного рассеяния (внутреннего) амплитуда потенциального (внешнего) рассеяния. Иногда Apot называют амплитудой рассеяния на непроницаемой сфере. Действительно эта часть сечения равна

Действительно, если бы ядро представляло абсолютно непроницаемую сферу (абсолютно отражающую), то при r = d волновая функция R0(kd) обращалась бы в нуль, т.е. Так что и при kd << 1 сечение рассеяния на непроницаемой сфере Введя фазу δ по формуле 2(E − Er) = Γ ctg δ, выражение для резонансной амплитуды можно представить в виде В результате для сечения рассеяния получим

Резонансное рассеяние Фазовое смещение δ является функцией энергии. Графики зависимостей сечения реакции (поглощения) и фазы рассеяния от энергии нейтрона вблизи резонанса выглядит следующим образом Также ведут себя квадрат амплитуды и фаза классического осциллятора под действием вынуждающей силы. В резонансе вынуждающая сила (кроме того, что ее частота должна совпадать с частотой свободных колебаний) должна быть всегда направлена по скорости осциллирующей частицы, чтобы передавать энергию этой частице Fv > 0. Таким образом, если x = x0 cos ωt, то F ~ v = −ωx0sinωt= ωx0 cos (ωt − π/2), т.е. в резонансе фаза осциллятора на π/2 сдвинута относительно фазы вынуждающей силы. Приведенные выше, это — более общие, по сравнению с предыдущими, формулы Брейта—Вигнера. Они описывают и резонансное рассеяние, и поглощение.