Скачать презентацию Лекция 3 Логические основы ЭВМ Основные понятия Скачать презентацию Лекция 3 Логические основы ЭВМ Основные понятия

Лекция_3_Логика.ppt

  • Количество слайдов: 49

Лекция № 3 Логические основы ЭВМ. Основные понятия алгебры логики. Лекция № 3 Логические основы ЭВМ. Основные понятия алгебры логики.

План: 1. Логика высказываний. Логические операции. 2. Законы логики. 3. Таблица истинности. Логические схемы. План: 1. Логика высказываний. Логические операции. 2. Законы логики. 3. Таблица истинности. Логические схемы.

ЛОГИКА — это наука о формах и способах мышления. Логика делится на 2 ЛОГИКА — это наука о формах и способах мышления. Логика делится на 2 раздела: классическая логика математическая логика

Аристотель (384 - 322 гг. до н. э. ) Основоположник классической логики Предмет изучения Аристотель (384 - 322 гг. до н. э. ) Основоположник классической логики Предмет изучения – правильные рассуждения, которые называются силлогизмами.

Значительный вклад в развитие логики внесли Основные формы мышления: Готфрид Вильгельм Лейбниц Джордж Буль Значительный вклад в развитие логики внесли Основные формы мышления: Готфрид Вильгельм Лейбниц Джордж Буль (1815 - 1864 гг. ) (1646 - 1716 гг. ) Теперь для решения логических задач используются математические символы и методы. Логика становится математической.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА изучает правила представления высказываний, построения новых высказываний из имеющихся с помощью логических МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА изучает правила представления высказываний, построения новых высказываний из имеющихся с помощью логических преобразований, а также способы установления истинности или ложности высказываний. Основным объектом математической логики является высказывание. АЛГЕБРА ЛОГИКИ – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

ВЫСКАЗЫВАНИЕ – это повествовательное предложение, смысл которого может быть истинным или ложным. Высказывание ВЫСКАЗЫВАНИЕ – это повествовательное предложение, смысл которого может быть истинным или ложным. Высказывание обозначают прописными латинскими буквами или заключают в скобки {}. ВЫСКАЗЫВАНИЯ: • {Рубль – российская валюта} (истинное). • {Спортом заниматься полезно} (истинное). • {На яблонях растут бананы} (ложное).

Повелительные, вопросительные и бессмысленные предложения не являются высказываниями! Например: «Стой!» – не высказывание, т. Повелительные, вопросительные и бессмысленные предложения не являются высказываниями! Например: «Стой!» – не высказывание, т. к. это повелительное предложение; «x 2+5 x-6=0» – не высказывание, т. к. не указано значение х, при котором оно рассматривается. Высказывание не содержит внутреннего противоречия и несет смысловую нагрузку. Например: «Это утверждение не может быть истинным» – не является высказыванием, т. к. этот ответ представляет предложение, в котором скрыто внутреннее противоречие.

Высказывания ВЫСКАЗЫВАНИЯ ПРОСТЫЕ СОСТАВНЫЕ (СЛОЖНЫЕ) A, B, C A И B, A ИЛИ B Высказывания ВЫСКАЗЫВАНИЯ ПРОСТЫЕ СОСТАВНЫЕ (СЛОЖНЫЕ) A, B, C A И B, A ИЛИ B К ПРОСТЫМ ВЫСКАЗЫВАНИЯМ относят неразложимые высказывания. Пример: A= {Число 122 – составное}. СЛОЖНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ – высказывание, которое можно разложить на части (простые высказывания). Сложное высказывание получается из простых путем выполнения над ними логических операций. Пример: B= {10 делится на 2 И 5 больше 3}.

Основные логические операции Основные логические операции

ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ – способ построения сложного высказывания из нескольких высказываний. При этом ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ – способ построения сложного высказывания из нескольких высказываний. При этом значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний. Таблицу, содержащую значения составных высказываний при всех сочетаниях значений входящих в него простых высказываний, называют ТАБЛИЦЕЙ ИСТИННОСТИ СОСТАВНОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ.

ИНВЕРСИЯ ИНВЕРСИЕЙ (ЛОГИЧЕСКИМ ОТРИЦАНИЕМ) высказывания А называется высказывание, которое истинно, если ложно высказывание А ИНВЕРСИЯ ИНВЕРСИЕЙ (ЛОГИЧЕСКИМ ОТРИЦАНИЕМ) высказывания А называется высказывание, которое истинно, если ложно высказывание А и ложно в противном случае. Обозначения: , (читается «не А» , «неверно, что А» ). Пример: A ={Компьютер работает} ={Компьютер не работает} А А 0 1 1 0

КОНЪЮНКЦИЯ КОНЪЮНКЦИЕЙ двух высказываний А и B называется высказывание, которое истинно, когда оба высказывания КОНЪЮНКЦИЯ КОНЪЮНКЦИЕЙ двух высказываний А и B называется высказывание, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно в остальных случаях. КОНЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И» . Обозначения: A&B, A B (читается «А и B» ). Пример: A = {Число 11 положительное} B = {Число 11 нечетное} А В A & B = {Число 11 положительное И нечетное} A B 0 0 1 1 1

ДИЗЪЮНКЦИЯ ДИЗЪЮНКЦИЕЙ двух высказываний А и B называется высказывание, которое ложно, когда оба высказывания ДИЗЪЮНКЦИЯ ДИЗЪЮНКЦИЕЙ двух высказываний А и B называется высказывание, которое ложно, когда оба высказывания ложны, и истинно в остальных случаях. ДИЗЪЮНКЦИЯ (ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» . Обозначения: A B, A+B, A|B (читается «А или B» ). Пример: A = {Число 11 положительное} B = {Число 11 нечетное} A B = {Число 11 положительное ИЛИ нечетное} А В A B 0 0 1 1 1 0 1 1

ИМПЛИКАЦИЯ ИМПЛИКАЦИЕЙ (ЛОГИЧЕСКИМ СЛЕДОВАНИЕМ) двух высказываний А (посылка) и B (заключение) называется высказывание, которое ИМПЛИКАЦИЯ ИМПЛИКАЦИЕЙ (ЛОГИЧЕСКИМ СЛЕДОВАНИЕМ) двух высказываний А (посылка) и B (заключение) называется высказывание, которое ложно, когда посылка А истинна, а заключение B – ложно, и истинно – в остальных случаях. Обозначения: A B, A B (читается «из А следует B» , «если А, то B» , «A влечет B» ). Пример: A = {Студенты пропускают занятия} B = {Деканат в восторге} А В A B A B = {Если студенты пропускают занятия, то деканат 0 0 1 в восторге} 0 1 1 1 0 0 1 1 1

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬЮ двух высказываний А и B называется высказывание, которое истинно, когда оба высказывания ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬЮ двух высказываний А и B называется высказывание, которое истинно, когда оба высказывания одновременно истинны (ложны), и ложно – в остальных случаях. Обозначения: А↔В, А≡В, А~В (читается «А эквивалентно B» , «А, тогда и только тогда, когда B» ). Пример: A={Параллелограмм является ромбом} B={Диагонали параллелограмма перпендикулярны} A↔B={Параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда его диагонали перпендикулярны} А 0 0 1 1 В 0 1 А↔В 1 0 0 1

Приоритет логических операций • ИНВЕРСИЯ А • • КОНЪЮНКЦИЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ ИМПЛИКАЦИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ↔ Операция Приоритет логических операций • ИНВЕРСИЯ А • • КОНЪЮНКЦИЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ ИМПЛИКАЦИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ↔ Операция одного приоритета выполняется слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки ().

Логическая формула (самостоятельно) Логической формулой называется выражение, составленное из букв, обозначающих высказывания, знаков логических Логическая формула (самостоятельно) Логической формулой называется выражение, составленное из букв, обозначающих высказывания, знаков логических операций и скобок, удовлетворяющих следующим условиям: любая переменная, обозначающая высказывание – формула; если A и B – формулы, то , A B, A↔B – формулы (1); если в любую из формул (1) вместо переменной A и B подставить формулу, то получится формула.

Истинность логической формулы Логическое выражение называется тождественно истинным, если оно принимает значение 1 на Истинность логической формулы Логическое выражение называется тождественно истинным, если оно принимает значение 1 на всех наборах значений переменных, входящих в него. Чтобы найти правильный ответ, необходимо определить, будет ли предложенное высказывание верным. Это означает, что в результате вычислений высказывание должно принять значение истина.

Примеры № 1. Из заданных логических выражений тождественно № 1. истинным является … A Примеры № 1. Из заданных логических выражений тождественно № 1. истинным является … A B A&B A&B&A 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 A B A&Bv. A 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 A B Av. Av. B 0 0 1 1 1 0 0 1 1

Примеры № 2. Из заданных логических выражений тождественно . истинным является … Решение: Тождественно Примеры № 2. Из заданных логических выражений тождественно . истинным является … Решение: Тождественно истинным является выражение Таблица истинности для данного выражения имеет вид: Из таблицы видно, что логическое выражение является тождественно истинным, т. к. на всех наборах значений переменных оно принимает значение 1. Остальные выражения не являются тождественно истинными.

№ 3. Логическое выражение будет истинным при следующих значениях переменных А, В, С: № 3. Логическое выражение будет истинным при следующих значениях переменных А, В, С:

A=4, B=3, C=5 A=– 2, B=– 4, C=– 2 A=0, B=0, C=– 2 A A=4, B=3, C=5 A=– 2, B=– 4, C=– 2 A=0, B=0, C=– 2 A B C A>B A=C (A>B)&(A=C) 4 3 5 1 0 0 1 0 -2 -4 -2 1 0 0 0 0 -2 0 1 1

№ 4. Записать с помощью логических формул следующие высказывания: A. «Если идет дождь, то № 4. Записать с помощью логических формул следующие высказывания: A. «Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые» . PS: союз «а» имеет смысл связки «и» . Решение: 1 -е предложение: A B. 2 -е предложение: A B. Объединяем два высказывания в одно связкой « » : (A B) B) (A B. «Точка X принадлежит отрезку [A, B]» . Решение:

Логическая функция (самостоятельно) Логической функцией называют функцию F(X 1, X 2, . . . Логическая функция (самостоятельно) Логической функцией называют функцию F(X 1, X 2, . . . , Хn), аргументы которой X 1, X 2, . . . , Хn (логические переменные) и сама функция F (логическая переменная) принимают значения 0 или 1. Логическая функция может задаваться в виде: логического выражения, таблицы истинности, логической схемы.

Законы алгебры логики Законы алгебры логики

1. Закон двойного отрицания 1. Закон двойного отрицания

2. Переместительный (коммутативный) закон 2. Переместительный (коммутативный) закон

3. Сочетательный (ассоциативный) закон 3. Сочетательный (ассоциативный) закон

4. Распределительный (дистрибутивный) закон 4. Распределительный (дистрибутивный) закон

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана) 5. Закон общей инверсии (законы де Моргана)

6. Закон поглощения 6. Закон поглощения

7. Закон исключения (склеивания) 7. Закон исключения (склеивания)

8. Прочие законы 8. Прочие законы

Пример: Упростить логическое выражение По закону де Моргана ( Согласно распределительному закону: Упрощаем выражение: Пример: Упростить логическое выражение По закону де Моргана ( Согласно распределительному закону: Упрощаем выражение: ):

Пример: Упростить логическое выражение По закону де Моргана ( Согласно распределительному закону: Упрощаем выражение: Пример: Упростить логическое выражение По закону де Моргана ( Согласно распределительному закону: Упрощаем выражение: ):

Пример: Какое значение должна принять переменная , тобы огическое ыражение Ач л в было Пример: Какое значение должна принять переменная , тобы огическое ыражение Ач л в было истинным По закону де Моргана ( По дистрибутивному закону ): :

Пример: Какое значение должна принять переменная , тобы огическое ыражение Ач л в было Пример: Какое значение должна принять переменная , тобы огическое ыражение Ач л в было истинным По закону де Моргана ( По дистрибутивному закону ): :

Таблица истинности Таблицу, показывающую, какие значения принимает логическая функция при всех сочетаниях значений ее Таблица истинности Таблицу, показывающую, какие значения принимает логическая функция при всех сочетаниях значений ее аргументов, называют ТАБЛИЦЕЙ ИСТИННОСТИ ЛОГИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. А В A B 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

Алгоритм построения таблицы истинности 1. 2. 3. 4. 5. 6. Подсчитать количество переменных n Алгоритм построения таблицы истинности 1. 2. 3. 4. 5. 6. Подсчитать количество переменных n в логическом выражении; Определить число строк в таблице, которое равно m = 2 n; Подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество операций; Ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов; Заполнить столбцы входных переменных наборами значений; Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п. 4 последовательностью.

Пример: Построить таблицу истинности выражения 5 4 1 3 2 Количество переменных n = Пример: Построить таблицу истинности выражения 5 4 1 3 2 Количество переменных n = 3, количество строк таблицы m = 23 = 8. Количество операций в выражении – 5, количество столбцов = n + 5 = 8

5 4 1 3 2 5 4 1 3 2

Пример: Определить истинность логической формулы: Решение: Определим порядок выполнения действий с учетом приоритета логических Пример: Определить истинность логической формулы: Решение: Определим порядок выполнения действий с учетом приоритета логических операций: Для решения задачи построим таблицу истинности этой формулы, перебрав все варианты значений логических переменных А, В и С. Здесь числовые обозначения для логических величин: 1 – истина, 0 – ложь. Данная логическая формула является тождественно истинной, т. е. истинной при любых значениях входящих в нее логических переменных.

Логические элементы Устройство, которое после обработки входных двоичных сигналов выдает на выходе сигнал, являющийся Логические элементы Устройство, которое после обработки входных двоичных сигналов выдает на выходе сигнал, являющийся значением одной из логических операций, называется ЛОГИЧЕСКИМ ЭЛЕМЕНТОМ.

Название элемента НЕ (инвертор) И (конъюнктор) ИЛИ (дизъюнктор) И-НЕ ИЛИ-НЕ Изображение Логическая функция Название элемента НЕ (инвертор) И (конъюнктор) ИЛИ (дизъюнктор) И-НЕ ИЛИ-НЕ Изображение Логическая функция

Построение логических схем Каждой логической операции в выражении соответствует логический элемент, на входы которого Построение логических схем Каждой логической операции в выражении соответствует логический элемент, на входы которого поступают ее операнды. Каждой логической переменной соответствует вход на логической схеме. Построение необходимо начинать с логической операции, которая должна выполняться последней, располагая операнды у входов логического элемента. Затем, для каждого логического выражения, расположенного на входе данного элемента аналогичным образом повторяется построение логической схемы.

Пример: По заданной логической функции построить логическую схему. 3 1 5 2 4 A Пример: По заданной логической функции построить логическую схему. 3 1 5 2 4 A B F(A, B) A B

Пример: Логическая схема имеет два входа X и Y. Определить логические функции F 1(X, Пример: Логическая схема имеет два входа X и Y. Определить логические функции F 1(X, Y) и F 2(X, Y), которые реализуются на ее двух выходах. X Y F 1(X, Y) F 2(X, Y)

Типовые логические устройства компьютера (сумматоры, полусумматоры, триггеры, счетчики, регистры, шифраторы, дешифраторы) Сумматор служит для Типовые логические устройства компьютера (сумматоры, полусумматоры, триггеры, счетчики, регистры, шифраторы, дешифраторы) Сумматор служит для суммирования чисел посредством поразрядного сложения. Триггер – устройство, запоминающее один бит информации (сигналы 0 и 1). Для запоминания и демонстрации n-разрядного двоичного числа необходимо n параллельно соединенных триггеров, совокупность которых называется n-разрядным регистром. Для запоминания одного байта потребуется 8 триггеров. Оперативная память компьютера часто конструируется в виде набора регистров.