Лекция 3 Кооперативные игры Кооперативная игра это

Лекция 3. Кооперативные игры Кооперативная игра – это игра n игроков, которые могут объединяться в группы для максимизации выигрыша. - множество игроков - коалиция - количество игроков в коалиции - функция, определенная на множестве всех коалиций, принимающая числовое значение, являющееся максимальным гарантированным выигрышем коалиции, называется характеристической функцией Система - классическая кооперативная игра. О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 1

Лекция 3. Кооперативные игры Записать характеристическую функцию игры: Пример 8. Увлеченный, но не забывающий о хлебе насущном биохимик Иосиф Брауль (игрок 1) изобрел новое лекарство. Он не может самостоятельно наладить производство этого лекарства, но может продать рецептуру этого лекарства одной из фирм – «Хемик. Лимитед» (игрок 2) или «Нью. Мед. Компани» (игрок 3). Компания, приобревшая рецептуру, получает прибыль 1 млн. $, часть которой получит изобретатель. О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 2

Лекция 3. Кооперативные игры Записать характеристическую функцию игры: Пример 9. Игра "джаз - оркестр". Владелец ночного клуба в Париже обещает $ 1000 певцу, пианисту и ударнику (игроки 1, 2 и 3) за совместную игру в его клубе. Совместное выступление певца и пианиста он оценивает в $ 800, ударника и пианиста - в $ 650, а одного пианиста - в $ 300. Певец и ударник вместе зарабатывают $ 500 за вечер на одной станции метро, сам певец зарабатывает $ 200 за вечер в открытом кафе. Ударник один ничего не может заработать. О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 3

Лекция 3. Кооперативные игры Свойства характеристической функции : 1) персональность: т. е. коалиция, которая не содержит ни одного игрока, ничего не выиграет; 2) супераддитивность: 3) выпуклость: О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 4

Лекция 3. Кооперативные игры Игры и называются аффинно эквивалентными, если найдутся положительное число k и произвольные действительные числа ai такие, что для любой коалиции K выполняется равенство: Игра называется существенной, если В противном случае игра называется несущественной. Игра называется простой, если ее характеристическая функция принимает только два значения 0 или 1. Игра называется 0 -1 -редуцированной, если . О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 5

Лекция 3. Кооперативные игры Исход в кооперативной игре – это распределение общего выигрыша между игроками, т. е. дележ. Дележом в игре называется вектор , который удовлетворяет условиям: 1) 2) Система неравенств определяет множество всех дележей игры. Дележ из примера 8: Дележ из примера 9: О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 6

Лекция 3. Кооперативные игры Построить множество всех дележей игры «Джаз-оркестр» (пример 9) О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 7

Лекция 3. Кооперативные игры Доминирование дележей В игре рассмотрим 2 дележа и Пусть существует коалиция K, состоящая более, чем из одного игрока и не содержащая всех игроков, т. е. , для которой выполняются два условия: 1) 2) Тогда говорят, что дележ доминируется дележом по коалиции K: В примере 9 K={1, 2} О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 8

Лекция 3. Кооперативные игры С-ядро кооперативной игры - это множество всех недоминируемых дележей. Дележ принадлежит С-ядру тогда и только тогда, когда выполняется система линейных неравенств: С-ядро в примере 9: О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 9

Лекция 3. Кооперативные игры Ллойд Стауэлл Шепли (Lloyd Stowell Shapley) (02. 06. 1923) Лауреат Нобелевской премии по экономике, 2012 совместно с Элвином Ротом - за вклад в теорию устойчивого распределения и практику моделирования рынка. О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 10

Лекция 3. Кооперативные игры Вектор Шепли кооперативной игры - это справедливый дележ, который учитывает ценность каждого игрока в коалиции. Компоненты дележа Шепли вычисляются по формуле: суммирование производится по всем коалициям, содержащим игрока і - количество игроков в коалиции К - коалиция К без игрока і – факториал числа n – произведение всех чисел от 1 до n О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 11

Лекция 3. Кооперативные игры Построить вектор Шепли кооперативной игры «Джаз-оркестр» (пример 9) Первый игрок состоит в коалициях {1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 3} Аналогично вычисляются компоненты вектора Шепли для второго и третьего игрока: О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 12

Лекция 3. Кооперативные игры Пример 10. Распределения затрат между членами кооператива. N потребителей должны построить хранилища для жидкого топлива. Расходы на строительство - некоторая возрастающая функция от объема хранилищ, а в моменты времени t 1, t 2, …, tm потребности каждого потребителя в топливе заданны функцией . Принимать топливо в хранилища можно в промежутках между потреблением. Тогда объем хранилищ, удовлетворяющий всех потребителей, равен Каждый потребитель топлива может объединится с любым другим для построения общего хранилища. Если образуется коалиция, то объем хранилища составит , а затраты на его строительство составят . Нужно определить количество хранилищ и коалиции, которые их будут строить, а также распределить затраты на сооружение хранилищ между членами коалиции. О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 13

Лекция 3. Кооперативные игры Пусть потребителей – три. Характеристическая функция - затраты, которые понесет каждая коалиция при совместном строительстве хранилища. Компоненты вектора Шепли: Рассмотрим «подъигры» , в которых количество игроков два, и посчитаем компоненты вектора Шепли для этих игр. Каждый из игроков при участии в подъигре несет значительно большие затраты, чем при сотрудничестве втроем. О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 14

Лекция 3. Кооперативные игры Пример 11. Корпорация акционеров. Рассматривается корпорация из четырех акционеров, имеющих акции соответственно в следующих количествах: a 1 = 10, a 2 = 20, a 3 = 30, a 4 = 40. Любое решение утверждается акционерами, имеющих в сумме строгое большинство акций. Принятое решение - выигрыш, равным 1, если решение не принято, выигрыш 0. {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3 , 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4} – выигрышные коалиции, остальные объединения акционеров не являются решающими, т. е. их выигрыш равен нулю. О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 15

Лекция 3. Кооперативные игры Построим вектор Шепли для этой игры. Для первого игрока есть только одна коалиция K = {1, 2, 3}, которая выигрывает, а коалиция K {1} = {2, 3} не выиграет, поэтому Для второго игрока {2, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3 , 4}, {1, 2, 3, 4} – выигрышные, но {2, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4} без 2 игрока – невыигрышные: . Аналогично получаем О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 16

Лекция 3. Кооперативные игры Выводы: Кооперативная игра – моделирует выбор коалиции. Решение кооперативной игры указывает на множество наилучших способов раздела совместного выигрыша. Решение кооперативной игры в форме вектора Шепли позволяет рассчитать справедливый дележ. Простая кооперативная игра – модель деления власти. О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 17

Выводы: Матричные и биматричные игры – моделируют конфликт, в котором игроки не могут вступать в переговоры – т. е. это бескоалиционные игры. Матричные и биматричные игры – это стратегические игры, т. к. целью их решения является определение наилучших стратегий. Равновесие по Нэшу, которое обосновано для всех бескоалиционных игр, обладает противоречием: равновесная ситуация не всегда является выгодной. Кооперативные игры моделируют выбор коалиции и распределение выигрыша между игроками. О. Д. Кичмаренко Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций 18

Дополнительные сведения Н. Н. Воробьев Теория игр: Лекции для экономистов - кибернетиков. – Л. : ЛГУ, 1974. – 272 с. Оуен Г. Теорія игр. – М. , 2004. – 216 с. Крушевский А. В. Терия игр. – К. : Вища школа, 1977. – 216 с. Васин А. А. , Морозов В. В. Теорія игр и модели математической экономики. – М. , 2005 г. – 272 с. Дюбин Г. Н. , Суздаль В. Г. Введение в прикладную теорию игр - М. : Наука, 1981. - 336 с. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике М. : Мир, 1964. – 838 с. Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. - М. : Мир, 1974

Спасибо за внимание!