Лекция 3 1 Предел числовой последовательности 2 Число

Лекция 3 1. Предел числовой последовательности 2. Число e. 3. Бесконечно малые величины и их свойства. 4. Основные теоремы о пределе функции. 5. Односторонние пределы. 1. Предел числовой последовательности Так как последовательность – это частный случай функции, то понятие предела сформулируем на основании понятия предела функции для случая Конечно. Вспомним определение предела функции для этого случая. Тогда определение предела числовой последовательности. Теорема. (условие существование предела). Всякая неубывающая, ограниченная сверху, последовательность имеет конечный предел. Всякая невозрастающая, ограниченная снизу, последовательность имеет конечный предел.

2. Число e. Рассмотрим последовательность с общим членом . При n→∞ будем иметь неопределенное выражение вида (1)∞. Можно доказать, что данная последовательность имеет конечный предел Французский ученый Эйлер обозначил этот предел через е и доказал, что е – иррациональное число, е=2, 71828182… 3. Бесконечно малые величины и их свойства. Определение. Бесконечно малой величиной называют функцию которой равен 0 при х→х0 предел Замечание: Понятие бесконечно малой величины является локальным. Пример. Рассмотрим функцию При х→ 5 При х→ 3, - Бесконечно большая величина. - б. м. величина

Теорема 1. Всякая бесконечно малая функция при х→х0 ограничена в некоторой проколотой окрестности О(х0). (доказательство следует из определения) Теорема 2. Сумма двух б. м. при х→х0 есть величина б. м. , т. е. если Теорема 3. Произведение б. м. величины при х→х0 на функцию, ограниченную в некоторой проколотой окрестности О(х0) есть величина б. м. , т. е. Решение: по теореме 3 предел =0, но Пример. Найти: - не существует. Теорема 4. Произведение двух б. м. при х→х0 есть величина б. м.

Замечание. Отношение двух б. м. величин образует неопределенное выражение Это означает, что зависит от порядка малости величин. Предел может оказаться равным 0, ∞, или константе 4. Основные теоремы о пределе функции. Теорема 1. Если f(x) при х→х0 имеет конечный предел, то этот предел единственный. Доказательство: Предположим противное, т. е. функция f(x) имеет два различных предела А и В при х→х0 (А≠ В). По определению предела Общую часть пересечения окрестностей обозначим за тогда:

Поскольку А≠В то можно взять такими, чтобы они не пересекались. Тогда для тех х, что попали в должны выполнятся условия: если Но этого не может быть т. к. Не пересекаются. Значит предположение А≠В – неверно. Теорема 2. Если окрестности , причем А<В тогда в некоторой. Аналогично при А>В. Теорема 3. Если то сумма, произведение и частное этих функций будут иметь конечные пределы. Если В≠ 0.

Теорема 4. Если f(x) имеет при х→х0 конечный предел, тогда в некоторой окрестности величину. она будет отличаться от своего предела на б. м. Если где тогда в которой , - б. м. при х→х0. Имеет место обратная теорема Доказательство: Теорема 5. (о двух милиционерах) Если в некоторой окрестности выполняется неравенство и f(x) будет иметь конечный предел, причем тогда

5. Односторонние пределы. В определении предела способ стремления аргумента x к x 0 подразумевается любым. Иногда возникает необходимость в изучении функции только в левосторонней (xx 0) полуокрестности. В связи с этим возникает необходимость в понятии одностороннего предела функции. Опр. Пусть функция f(x) определена в некоторой односторонней полуокрестности точки x 0. Число А называют левосторонним пределом функции f(x) в точке x 0 (или пределом слева) если, такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству значения f(x) удовлетворяют неравенству Левосторонний предел обозначают правосторонний В символике : 0