ЛЕКЦИЯ 3 1 ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ Пример 1. Пусть имеется три урны, содержащие белые и чёрные шары, одинаковые по форме. Состав шаров в 1 -ой урне: 2 белых и 3 чёрных; во 2 -ой : 2 белых и 2 чёрных; в 3 -ей: 3 белых и 1 чёрный. Из 1 -ой урны случайно выбирается один шар и перекладывается во 2 -ую урну. После этого из 2 -ой урны также случайно один шар перекладывается в 3 -ю урну. Наконец, из 3 -ей урны какой-то из шаров перекладывается в 1 -ую урну. Таким образом, мы имеем последовательность трёх испытаний. Построим математическую модель опыта. Обозначим событие, состоящее в том, что При k – ом перекладывании (k = 1, 2, 3) , был переложен белый шар ( переложен чёрный шар). Тогда пространство элементарных событий имеет вид Здесь каждое элементарное событие есть цепочка исходов, например, -элементарное событие, состоящее в том, что при каждом перекладывании последовательно был переложен белый шар.
Мы можем определить безусловные и условные вероятности перекладывания шаров. Например, Общее определение последовательности испытаний Пусть множеством элементарных событий является множество (1) Элементарное событие интерпретируется как цепочка исходов в n последовательных испытаниях, каждое из которых имеет N несовместных исходов 1, 2, …, N. Причём, (2) (3) Если , то (4) 2
3 ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ Если вероятности не зависят от событий , то последовательность испытаний называется последовательностью независимых испытаний. Она определяется равенствами (1), (4) и формулами (5) (6) Последовательность независимых испытаний является математической моделью серии опытов, повторяющихся в одинаковых условиях. Вероятностную схему, Определяемую равенствами (1), (4) – (6) называют также полиномиальной схемой испытаний. Частный случай полиномиальной схемы при N =2 называют схемой Бернулли испытаниями Бернулли. В испытаниях Бернулли существуют два исхода в каждо отдельном испытании. Один из этих исходов можно назвать «успехом» , другой – «неуспехом» и соответствующие вероятности обозначить буквами и. Для n испытаний Бернулли элементарные события удобно обозначать цепочками длины n , составленными из букв У и Н :
4 ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ Теорема 1. Если - число успехов в n испытаниях Бернулли, то (7) - вероятность успеха в отдельном испытании. Доказательство. Каждая цепочка исходов, по предположению, содержит ровно m успехов и n – m неуспехов. Тогда, из равенства (5) следует, что вероятность любой такой цепочки равна. Но таких цепочек несколько, они отличаются расположением m успехов на n местах цепочки. Поэтому число таких цепочек , а общая вероятность существования m успехов в n испытаниях равна. При больших n формула Бернулли (7) становится неудобной в использовании. Существуют несколько приближённых асимптотических выражений, следующих из (7).
5 ТЕОРЕМА ПУАССОНА Теорема 2. Если и так, что то (8) при любом постоянном m , m = 0, 1, 2, …. Доказательство. Положив в виде при текущем n, представим вероятность Устремляя теперь n к бесконечности, получим. .
6 ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Любое случайное событие вызывает изменение измеримых величин. Пусть Ù , P) - произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной назовём действительную функцию такую, что при любом действительном существует множество элементарных событий , входящих в алгебру событий Ù таких, что Коротко это можно записать так (9) Ù Так как операции над событиями не выводят за пределы алгебры событий Ù, то из (9) следует, что Ù, (10) Ù. Для вычисления вероятностей указанных событий достаточно знать вероятность Функция (11) , называется действительной переменной функцией распределения случайной величины .
7 x 1 x 2 Так как событие аксиоме конечной аддитивности Так как x то согласно т. е. то СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Теорема 3. Функция распределения 1. Если , то обладает следующими свойствами: . 2. 3. , (непрерывность слева).
8 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Закон распределения случайной величины называется дискретным, если существует конечное или счётное множество чисел таких, что Случайная величина, имеющая дискретный закон распределения, называется дискретной. Закон распределения случайной величины называется непрерывным, если существует неотрицательная функция такая, что при любом Случайная величина, имеющая непрерывный закон распределения, называется непрерывной. Функция Очевидно, что называется плотностью распределения вероятности.
9 Плотность распределения вероятности обладает свойствами: 1) 2) 3) , в точках непрерывности . Наиболее часто встречающиеся законы распределения Дискретные законы распределения 1. Гипергеометрическое распределение - натуральные числа, 2. Биномиальное распределение натуральное число
![3. Распределение Пуассона 10 Непрерывные законы распределения 1. Равномерное распределение на отрезке [a, b],](https://present5.com/presentation/1137976_24887869/image-10.jpg "3. Распределение Пуассона 10 Непрерывные законы распределения 1. Равномерное распределение на отрезке [a, b],")
3. Распределение Пуассона 10 Непрерывные законы распределения 1. Равномерное распределение на отрезке [a, b], a < b 2. Нормальное распределение с параметрами Если то нормальное распределение называется стандартным нормальным распределением. 3. Показательное распределение
ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 11 Случайная величина называется независимой от случайной величины , если закон распределения величины не зависит от того, какое значение приняла случайная величина. Зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны. Если не зависит от , то и не зависит от. Случайные величины называются независимыми , если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приобрела другая. Для независимых непрерывных случайных величин имеет место теорема умножения законов распределения в форме т. е. плотность распределения вероятности системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения вероятности отдельных случайных величин, входящих в систему.
Скачать презентацию ЛЕКЦИЯ 3 1 ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ Пример
Теор. вер. гл.3.ppt