Лекция 25 Проекции с числовыми отметками

Лекция 25 Проекции с числовыми отметками • • • Принципы и аппарат проецирования Проекции точки, прямой, плоскости Градуирование прямой Понятия уклона и интервала прямой Взаимное расположение прямых Геометрическая модель плоскости и способы ее задания. Масштаб уклона плоскости • Взаимное расположение точек , прямых и плоскостей • Проекции поверхностей

Проектирование и строительство жилых, общественных и промышленных зданий не может осуществляться без инженерной подготовки и благоустройства городских территорий. Такие сооружения, как магистрали и транспортные развязки, путепроводы и мосты, набережные и подземные переходы являются неотъемлемыми элементами современного города. В процессе проектирования зданий и сооружений составляют чертежи, на которых изображается спланированная земная поверхность. Проектирование сооружений, чтение и выполнение чертежей требует знания специального способа изображения- метода проекций с числовыми отметками

Аппарат проецирования в проекциях с числовыми отметками Если размеры проецируемого объекта в вертикальном направлении малы по сравнению с размерами в горизонтальных направлениях, целесообразно применять метод с числовыми отметками. Данный метод требует построение только одной проекции- на горизонтальную плоскость П, которую называют «нулевой» (за «абсолютный нуль» в нашей стране принят уровень Балтийского моря у Кронштадта). С помощью метода с числовыми отметками изображается рельеф местности, нанесенные на нем дороги, а также решаются многие задачи по проектированию земляных сооружений, посадке объектов на рельеф, определению объема земляных работ и другие.

Аппарат проецирования в проекциях с числовыми отметками Положение проецируемых точек в пространстве по высоте определяется их расстоянием от нулевой плоскости в метрах и отмечается цифрами в виде индексов внизу у букв, обозначающих проекции данных точек на плоскость П. Отметка точки, находящейся ниже «нулевой» плоскости, считается отрицательной и проставляется со знаком «минус» .

Геометрическая модель прямой Прямая может быть задана: 1. проекциями с числовыми отметками двух ее точек 2. одной точкой с числовой отметкой, направлением горизонтальной проекции этой прямой и тангенсом угла её наклона к плоскости По.

Для нахождения натуральной величины отрезка АВ следует мысленно совместить вертикальную плоскость, в которой расположен отрезок АВ с горизонтальной плоскостью нулевого уровня.

Проекция отрезка на плоскость нулевого уровня L называется заложением отрезка. Разница между высотами точек А и В называется превышением этих точек над плоскостью нулевого уровня (ΔΗ) L

Уклон прямой определяется тангенсом угла наклона этой прямой к плоскости «нулевого уровня» . Уклоном прямой называется отношение превышения к заложению отрезка. i=tg φ= ΔH/L

Величина, обратная уклону прямой называется интервалом прямой. L =Ctg φ=1/i Интервал прямой- заложение единичного отрезка этой прямой (L). (Единичный отрезок- отрезок прямой, у которого разница между отметками концов =1 м)

Определение натуральной величины отрезка прямой и угла его наклона к плоскости нулевого уровня Задача 6. 1 стр. 48:

Решение: Натуральную величину отрезка прямой определяем по методу прямоугольного треугольника. Фактический размер натуральной величины измеряется с помощью масштабной линейки, угол α – с помощью транспортира. 6

Градуирование прямой Прямая может быть задана точками, имеющими дробные числовые отметки, а для решения целого ряда задач удобно иметь отметки точек прямой, выраженные целыми числами. Отыскание на проекции заданного отрезка точек, отметки которых равны целым числам и отличаются на единицу от отметок рассматриваемых соседних точек, называется градуированием прямой.

Градуирование прямой задача: градуировать отрезок прямой А(25) В(20, 3). 0 1 2 м

Решение: Используем теорему Фалеса 1. Через точку А 25 проведем произвольную вспомогательную прямую 2. На ней от точки А 25 отложим в любом масштабе отрезок, равный разности между отметками точек и разделенный на единичные отрезки 3. Соединим последнюю точку полученной пропорции, отложенной на вспомогательной прямой, с концом отрезка точкой В 20, 3. Т. о. получим линию пропорционального переноса. 4. С помощью прямых, параллельных линии переноса, определим на заданной проекции прямой точки с целыми числовыми отметками : 24, 23, 22, 21.

Задача: Определить отметку точки В, лежащей на прямой АВ. Прямая задана точкой А 25, направлением и уклоном i=2/3

Решение: 1. Определяем величину интервала прямой

2. С помощью найденного интервала прямой градуируем проекцию отрезка АВ- находим точки 24, 23, 22 3. Определяем отметку точки В, разделив отрезок между точками 22 -23 с помощью теоремы Фалеса на 10 частей. Получим отметку 22, 2 L L

Взаимное положение прямых Прямые параллельны, если: • Их проекции параллельны • Интервалы равны • Числовые отметки возрастают в одном направлении

Взаимное положение прямых Прямые пересекаются, если: • Их проекции пересекаются • Точка пересечения имеет одну и ту же числовую отметку Скрещивающиеся прямые: не выполняются условия параллельности или пересечения 0 1 2 м

Рассмотрим пример: Через точку С провести прямую, параллельную данной АВ 0 1 2 м

Решение: 1. Через точку С 12 проведем прямую, параллельную заданной проекции А 6 В 10 0 1 2 м

2. С помощью теоремы Фалеса градуируем искомую прямую. Для этого проведем вспомогательную прямую под произвольным углом, отложим на ней разницу числовых отметок (10 -6=4) и соединим конец пропорции в концом искомого отрезка 0 1 2 м

Получим линию пропорционального переноса и параллельно ей перенесем указанную пропорцию на проекцию отрезка АВ. 0 1 2 м

Определим интервал прямой АВ. На проекции прямой, проходящей через (. ) С 12, отложим полученные интервалы. Т. к. у параллельных прямых интервалы равны 0 1 2 м

3. Числовые отметки возрастают в одном направлениипроставим отметки на прямой, проходящей через (. ) С 12 : 13, 14, 15 0 1 2 м

Рассмотрим пример скрещивающихся прямых. Задача: определить, на какой глубине пройдет теплотрасса АВ под кабельной линией СД

Проградуируем прямую СД. 1. определим разницу отметок концов отрезка 11 -3=8. 2. через конец отрезка (. )С 3 проведем произвольную вспомогательную прямую, на которой отложим 8 любых равных между собой отрезков, последнюю точку пропорции соединим с концом отрезка (. )Д 11 - получим линию пропорционального переноса 3. Перенесем полученную пропорцию с помощью параллельных прямых на проекцию отрезка СД и проградуируем прямую СД °

Определим отметку точки, лежащей на «видимом» пересечении прямых, разделив расстояние между точками 6 и 7 на десять частей (6, 5) °

Проградуируем проекцию отрезка АВ. Разница числовых отметок составит 8 -2=6. Определим отметку «видимой» точки пересечения для АВ= 4, 8 м Т. о. разница по высоте между теплотрассой и кабельной линией составит 6, 5 -4, 8=1, 7 м

Проекции плоскостей Плоскость в проекциях с числовыми отметками может быть задана: • Тремя точками с числовыми отметками • Точкой и прямой • Двумя параллельными прямыми • Двумя пересекающимися прямыми • Отсеком (фрагмент плоскости) • Масштабом уклона плоскости

Масштаб уклона плоскости -градуированная проекция линии наибольшего наклона плоскости Линия наибольшего наклона плоскости- прямая, лежащая в плоскости, составляющая с плоскостью проекций максимальный угол и перпендикулярная соответствующей линии уровня этой плоскости

Горизонтали плоскости располагаются перпендикулярно линии наибольшего наклона плоскости

Проекции горизонталей перпендикулярны проекции линии наибольшего наклона, называемой масштабом уклона плоскости (на основании теоремы о проецировании прямого угла без искажения)

На чертеже масштаб уклона плоскости показывается толстой и тонкой параллельными линиями и градуируется. Проекции горизонталей плоскости изображаются в виде прямых, перпендикулярных масштабу уклона плоскости

Рассмотрим пример. Задача 6. 2 стр. 48: Решение: 1. проградуируем прямые АВ и ВС плоскости

2. Проведем в плоскости треугольника горизонтали на высоте 12 и 13 метров

3. Зададим в плоскости линию наибольшего наклона перпендикулярно к горизонталям плоскости

4. С помощью интервала плоскости определим угол наклона плоскости треугольника, для чего найдем натуральную величину единичного отрезка (например в точке В 14 восстановим перпендикуляр к масштабу уклона плоскости и отложим на нём 1 м (превышение). Гипотенуза построенного треугольника является натуральной величиной единичного отрезка, а угол между н. в. и проекцией единичного отрезка (α) является углом наклона плоскости треугольника к плоскости нулевого уровня

Взаимное расположение точки , прямой и плоскости Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если она: • проходит через две точки плоскости • проходит через точку плоскости, параллельно прямой, лежащей в этой плоскости

Задача: Определить отметку точки А, лежащей в плоскости Рi

Решение: 1. Проведем через точку А произвольную прямую , принадлежащую плоскости, и определим отметки точек пересечения данной прямой с горизонталями плоскости

2. Определим отметку точки А, разделив отрезок 5 -6 на 10 частей

Задача: в плоскости провести прямую с заданным уклоном i=1/3 Решение: 1. Зададим в плоскости произвольную точку (например 5) 2. Определим интервал прямой L=1/i=3 3. R=3 м проведем окружность с центром в произвольной точке плоскости 5

Найдем точки пересечения окружности с горизонталями плоскости и определим положение прямой, проходящей в данной плоскости с заданным уклоном. В данной задаче 2 решения Варианты:

Проведение через прямую плоскости заданного уклона Задача: через прямую АВ провести плоскость с уклоном i=4/3

Проведение через прямую плоскости заданного уклона Решение: 1. Определим интервал плоскости L=1/i=3/4. Для нахождения графической величины интервала зададим сетку с шагом 1 м. Построим прямую с уклоном 4: 3 и определим заложение единичного отрезка (превышение которого составляет 1 м)

Проведение через прямую плоскости заданного уклона 2. В любой точке прямой проведем окружность R=Lпл.

Проведение через прямую плоскости заданного уклона 3. Проведем касательные к полученной окружности - горизонтали проектной плоскости. Возможны варианты: • Интервал плоскости меньше интервала прямой = 2 решения • Интервал плоскости равен интервалу прямой = 1 решение • Интервал плоскости больше интервала прямой = нет решений

Прямая, параллельная плоскости Задача: Через точку А 20 провести прямую, параллельную плоскости Рi

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости. Решение: 1. Зададим в плоскости Р произвольную прямую

2. Определяем интервал L прямой, лежащей в плоскости. 3. Через точку А проведем проекцию прямой, параллельно прямой, лежащей в плоскости 4. Градуируем прямую, проходящую через точку А. Интервалы двух прямых равны. 5. Определяем направление роста отметок на прямой, параллельной плоскости - в одном направлении

Пересечение прямой с плоскостью Задача 6. 5 стр. 49:

Решение: Чтобы найти пересечение прямой с плоскостью, необходимо выполнить 3 шага: • Заключить прямую в плоскость –посредник. • Найти линию пересечения плоскости-посредника и искомой плоскости. • Найти точку пересечения полученной линии пересечения плоскостей и прямой. Определить видимость. Сначала градуируем прямую

Произвольная прямая. 9 -6=3 Линия пропорционального переноса 1. Для градуирования прямой применяем теорему Фалеса. Определяем точки с целыми числовыми значениями 7 и 8. 2. Заключаем прямую АВ в произвольнорасположенную плоскость-посредник, которую задаем горизонталями, проходящими на высоте 7 и 8 метров через точки 7 и 8 прямой

Пересечение прямой с плоскостью 3. Находим пересечение одноименных горизонталей (проходящих на одной высоте) обеих плоскостей (Например, на высоте 8 и 7 метров). Получаем линию пересечения двух плоскостей. 4. Определяем точку пересечения прямой А 9 В 6 с линией пересечения двух плоскостей и фиксируем числовую отметку этой точки М 7, 7 (значение отметки определяется путем деления отрезка 8 -7 на 10 частей

Взаимное расположение плоскостей Две плоскости в пространстве могут быть взаимно параллельными или пересекающимися. Параллельные между собой плоскости имеют взаимно параллельные масштабы уклона, с равными интервалами и возрастанием (или убыванием) отметок в одном направлении. Если масштабы уклона заданных плоскостей не удовлетворяют хотя бы одному условию взаимной параллельности , то такие плоскости пересекаются

Взаимно параллельные плоскости - масштабы уклонов параллельны, интервалы равны и числовые отметки возрастают в одном направлении

Задача 6. 3 стр. 48:

Пересекающиеся плоскости. Для нахождения линии пересечения 2 -х плоскостей надо найти точки пересечения одноименных горизонталей Задача 6. 3 стр. 48:

Поверхности В проекциях с числовыми отметками поверхности задаются своими горизонталями, получаемыми от мысленного пересечения их горизонтальными плоскостями, проводимыми на расстоянии единицы масштаба (обычно 1 м) друг от друга. Если поверхность закономерная, ее горизонтали имеют известную форму и расположены в определенном порядке.

Закономерные поверхности 1. Конус прямой круговой 2. Полусфера 3. пирамида

Графические поверхности Незакономерные поверхности называют графическими. Земная поверхность является графической и называется топографическая поверхность. По горизонталям такой поверхности можно судить о рельефе местности. Расстояния между горизонталями определяют уклон топографической поверхности в том или ином направлении. Если расстояние между горизонталями уменьшается, значит уклон данной поверхности становится круче(больше) и наоборот. Например: а) холм, б) овраг

Пересечение рельефа земной поверхности плоскостью Задача 6. 4 стр. 49:

Решение: 1. Зададим проектные горизонтали плоскости. Они проходят перпендикулярно к масштабу уклона плоскости

2. Определим точки пересечения горизонталей плоскости и горизонталей рельефа, проходящих на одной высоте. Соединив полученные точки, получим линию пересечения рельефа с плоскостью Рi

Т. к. горизонтали на высоте 16 м не пересеклись, задаем промежуточные проектные и рельефные горизонтали через 0, 5 м (0, 25 м) и определяем пиковую точку на пересечении горизонталей , расположенных на высоте 15, 5 м 15. 5

Пересечение рельефа земной поверхности плоскостью 15. 5