Лекция 20 (26. 03. 2014) 1. Структура зон соединений со структурой цинковой обманки и алмаза (Г точка зоны Бриллюэна) 2. Динамические свойства электрона в периодическом потенциале. Теорема о скорости. 3. Электрон в кристалле во внешнем электрическом поле. Квазиклассическое рассмотрение 4. Введение в теорию. Литература: 1. Н. Ашкрофт и Н. Мермин, “Физика твердого тела”. 2. М. Кардона, “Основы физики полупроводников”. 3. Г. Л. Бир, Г. Е. Пикус, Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках. 4. Chuang, S. L. (2009). Physics of photonic devices. 2 nd edn. John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey.
Зонная структура арсенида галлия (структура цинковой обманки) Без учета спина Ga. As - прямозонный полупроводник. Это означает, что минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны находятся в одной точке зоны Бриллюэна (в ее центре - точке Γ). Запрещенная зона в точке Γ Eg~1. 5 э. В Забудем на время, что у электрона есть спин. . . Зона проводимости в точке Γ происходит из уровней sтипа, невырождена и сферична. Эффективная масса электрона в зоне проводимости вблизи Γ- точки:
Валентная зона в точке Γ происходит из уровней p-типа, в отсутствие спина была бы 3 -кратно вырождена, изоэнергетические поверхности гофрированы. Естественно использовать в качестве базовых волновых функций (Блоховских амплитуд) функции, имеющие симметрию атомных состояний. Тогда все состояния в кристалле можно классифицировать согласно орбитальному и магнитному квантовым числам: l и m Зона Проводимости обозначение l m s 0 составляющие функции степень вырождения 0 невырождена Валентная p 1 1, 0, -1 трижды вырождена
Включим спины. . . Спин-орбитальное взаимодействие - взаимодействие спина электрона с магнитным полем, создаваемым орбитальным движением электронов вокруг ядер. Забудем на время про спин-орбитальное взаимодействие. . . Зона проводимости в - точке: дважды вырождена по проекциям спина электрона блоховские амплитуды Валентная зона в - точке: шестикратно вырождена: 3 -кратное вырождение отражает симметрию 3 -кратно вырожденных исходных атомных функций p-типа (понижение симметрии до кубической не снимает этого вырождения). 2 -кратное вырождение - спиновое. блоховские амплитуды
Включим спинорбитальное взаимодействие. . . В результате взаимодействия орбитальный момент и спин перестают быть сохраняющимися величинами. Сохраняется только полный момент и проекция полного момента Зона проводимости в - точке: спин-орбитальное взаимодействие не снимает спиновое вырождение Валентная зона в - точке: вырождение частично снимается: 4 -кратное вырождение 2 -кратное вырождение
Зоны (прямозонного) кристалла типа цинковой обманки вблизи Г точки 2 -кратно вырожденная зона проводимости, спиновое вырождение сохраняется при удалении от центра зоны Бриллюэна (в приближении квадратичной дисперсии) 4 -кратное вырождение в центре зоны Бриллюэна частично снимается 2 -кратно вырожденная зона тяжелых дырок 2 -кратно вырожденная зона легких дырок - спин-орбитальное расщепление 2 -кратно вырожденная спин-обитально отщепленная зона, спиновое вырождение сохраняется при удалении от центра зоны Бриллюэна - энергия валентных зон в Г – точке в пренебрежении спин-орбитальным расщеплением
Структура электронных зон Ga. As с учетом спин-орбитального взаимодействия M. L. Cohen, J. Chelikowsky: Electronic Structure and Optical Properties of Semiconductors, 2 nd edn. , Springer Ser. Solid-State Sci. , Vol. 75 (Springer, Berlin, Heidelberg 1989) В пренебрежении гофрировкой можно ввести значения эффективных масс электронов (отрицательных) для двух верхних валентных зон в центре зоны Бриллюэна.
Зонная структура Зона Бриллюэна гранецентрированной кубической решетки Браве Zn. Se (решетка типа цинковой обманки) германий (решетка типа алмаза) M. L. Cohen, J. Chelikowsky
Динамические свойства электронов в периодическом потенциале (квазиклассическое рассмотрение) Динамика свободного электрона описывается уравнением Шредингера со временем: Решение - монохроматическая плоская волна: - связь частоты волны и энергии электрона - связь импульса с волновым вектором (соотношение де Бройля) - собственные значения энергии стационарного уравнения Шредингера оператор скорости:
Средняя квантовомеханическая скорость (считаем, что волновые функции нормированы) классический аналог - групповая скорость (скорость движения центра волнового пакета) волновой пакет: -мало - набор плоских волн вблизи k 0 (См. Блохинцев, Гл. 1, пар. 7)
Как эти выражения выглядят для электрона в кристалле? Динамика электрона в кристалле описывается уравнением Шредингера со временем: Решение - монохроматическая плоская блоховская волна: - квази - волновой вектор, определенный с точностью до вектора обратной решетки - определение квазиимпульса электрона - Для блоховского электрона энергия не является простой квадратичной функцией квазиимпульса Для изотропного закона дисперсии вблизи экстремальной точки k 0: где mn - эффективная масса, определенная для n-й зоны вблизи точки k 0.
Средняя “квантовомеханическая” скорость блоховского электрона в состоянии Подействуем оператором скорости на блоховскую функцию: (волновые функции нормированы)
? Напишем уравнение Шредингера для блоховских амплитуд:
Воспользуемся известным из квантовой механики соотношением (теорема Фейнмана): Пусть Тогда Среднее значение производной гамильтониана по параметру равно производной от энергии по этому параметру Перепишем уравнение Шредингера для блоховских амплитуд в виде Тогда и по теореме Фейнмана
Сравниваем Теорема о скорости: Выражение для квантовомеханической скорости блоховского электрона совпадает с выражением для групповой скорости свободного электрона Классический аналог - групповая скорость, т. е. скорость пакета, составленного из блоховских функций, определяется тем же выражением (Доказательство - см. Ансельм, Приложение 12) Групповая скорость электрона в кристалле равна нулю в экстремальных точках - минимумов и максимумов энергетических зон, где В этих точках выполняется условие брэгговского отражения и образуется стоячая волна, не сопровождаемая переносом энергии.
Электрон в кристалле во внешнем поле Пусть на электрон в кристалле действует внешняя сила F, например, электрической природы. Будем считать, что сила F достаточно мала: не вызывает переходов электрона между разными энергетическими зонами, а только меняет волновой вектор электрона в пределах одной зоны Закон сохранения энергии для средних квантовомеханических значений величин: где v - скорость распространения энергии (групповая скорость) т. е. работа силы F, приложенной к электрону, в 1 сек равна скорости изменения его энергии
уравнение движения электрона в кристалле Квазиимпульс играет в уравнении движения роль импульса свободного электрона Ускорение - скорость изменения средней квантовомеханической скорости
Распишем по координатам, учтя что энергия зависит от времени только в силу зависимости от волнового вектора обобщенный тензор обратной эффективной массы Тензор отличается от тензора обратной эффективной массы тем, что зависит от k. если энергия берется в квадратичном приближении вблизи экстремальной точки В этом случае, приведя тензор к главным осям, получаем: - классическое уравнение движения с "анизотропной" массой
В приближении скалярной эффективной массы: Уравнение движения имеет вид обычного уравнения классической механики Эффективная масса, как и обычная масса, связывает между собой силу и ускорение. Механическая аналогия понятия эффективной массы: (грубая, но наглядная) Шарик, движущийся по периодически гофрированной поверхности без трения Пусть внешняя сила. Движение шарика с массой и переменной скоростью можно описать, как движение шарика с некоторой эффективной массой и с постоянной средней скоростью. уравнение движения Ньютона - сила взаимодействия шарика с гофром, U - потенциал шарика
уравнение "эффективных масс" "Внутренняя" сила системы "шарик-поверхность" упрятана в "эффективную массу" Пусть внешняя сила : замечания об эффективной массе 1. Величина эффективной массы зависит от ширины запрещенной зоны. Например, в приближении почти свободных электронов для дна зоны проводимости мы получали выражение: Чем шире запрещенная зона, тем больше эффективная масса Это правило выполняется для большинства полупроводников например:
2. Величина эффективной массы зависит от ширины разрешенной зоны. Например, в приближении сильной связи для минимума разрешенной зоны простой квадратной решетки мы получали выражение: Чем шире разрешенная зона , тем меньше эффективная масса
Введение в теорию Полагаем, что электронные состояния в кристалле описываются уравнением Шредингера где С Гамильтонианом - периодический потенциал Предположим, что мы знаем решение для зон с индексом n в некоторой точке высокой симметрии зоны Бриллюэна (точке экстремума) с волновым вектором. Собственные функции: Собственные значения: Цель теории : восстановление по этим данным закона дисперсии электронных зон хотя бы вблизи точки При этом Блоховские амплитуды полной системе функций : раскладываются вблизи по
метод для невырожденных зон Подставим решения в виде Блоховских функций в исходное уравнение Шредингера и продифференцируем экспоненты. Получим уравнение для Блоховских амплитуд: Ограничимся далее рассмотрением центра зоны Бриллюэна Г, где перепишем уравнение в следующем виде: , и где Тогда вблизи члены и можно рассматривать как малое возмущение и решать задачу во втором порядке по к стационарной теории возмущения. (см. Ландау и Лифшиц, том 3, глава VI)
Считаем, что собственные функции невозмущенного Гамильтаниана образуют полную систему ортонормированных функций и искомые функции ищем в виде разложения по этой системе функций. Ответ: где матричный элемент оператора импульса на блоховских амплитудах, соответствующих точке Г Поправка к энергии первого порядка отсутствует, т. к. соответствует точке экстремума
Обозначим: и перепишем выражение для энергии в виде где Результат метода для тензора обратной эффективной массы для невырожденной зоны вблизи точки Г В главных осях симметричный тензор диагонален и закон дисперсии (в квадратичном по к приближении для невырожденной зоны) имеет вид Видно, что отклонение эффективной массы от m 0 определяется действием члена в гамильтониане, который “связывает” электронные состояния в разных зонах
Эффект n’–й зоны на эффективную массу в n-й зоне определяется двумя факторами: * Величиной междузонного матричного элемента оператора импульса * Расстоянием между зонами - чем ближе зоны, тем больше эффект. Влиянием удаленных зон можно пренебречь. Используя теорию неприводимых представлений групп можно только из соображений симметрии сказать для каких пар зон и только эти зоны принимать во внимание при расчете эффективной массы. Простейший случай – учитывается взаимное влияние только 2 -х зон: зоны валентной и зоны проводимости
метод для двух зон Рассмотрим модель двух сильно связанных зон с энергиями в Г-точке: - валентная зона - зона проводимости, - ширина запрещенной зоны - междузонный матричный элемент при k=0 - уравнение: для двух зон можно решить точно. Для этого раскладываем Блоховские амплитуды по Блоховским амплитудам в Г-точке (всего два члена): подставляем в уравнение, домножаем слева-справа на комплексносопряженное и интегрируем, используя условие ортогональности Имеем систему из двух линейных уравнений. Для ее решения приравниваем нулю детерминант
Решение: где - ширина запрещенной зоны Сделаем тот же расчет по формуле теории возмущений: где знак “+” соответствует зоне проводимости, а знак “–” - зоне валентной Если разложить точное решение в k 0 с точностью до k 2, то получим тот же результат Тензор обратных эффективных масс: Для изотропного случая эффективная масса – скаляр:
Можно экспериментально измерить и и определить величину междузонного матричного элемента. Оказалось, что для полупроводников со структурой типа цинковой обманки и алмаза с хорошей точностью Ширина запрещенной зоны в таких полупроводниках меняется в пределах от 0. 24 э. В (In. Sb) до 6 э. В (Al. N). Эффективная масса электрона в зоне проводимости, соответственно, меняется от 0. 012 m 0 до 0. 23 m 0. Эффективная масса электрона в валентной зоне всегда оказывается отрицательной. Вопрос – что же это за матричный элемент в “реальной” структуре типа цинковой обманки, где 6 -кратное вырождение валентных зон частично снимается из-за спин-орбитального взаимодействия?
Ответ на этот вопрос дается в более сложных моделях, где Гамильтониан включает член, отвечающий за спин-орбитальное взаимодействие, используется вариант теории возмущения, полученный для вырожденных состояний, и учитывается взаимодействие между большим числом зон. 8 -зонная модель Кейна для полупроводников типа цинковой обманки (и алмаза): (Kane, E. O. (1957). Band structure of indium antimonide. Phys. Chem. Solids 1, 249 -261) Простейшая модель такого типа, учитывающая взаимодействие 8 - ми зон, т. е. двух зон проводимости и шести валентных зон. Определение дисперсии зон вблизи Г – точки сводится к нахождению нулей определителя матрицы размером 8 x 8. Оказывается, что эту матрицу можно разбить на две эквивалентные матрицы 4 х4, т. к. спиновое вырождение зон в этой модели сохраняется и при. 4 решения – это дважды вырожденные зоны проводимости (c), тяжелых дырок (hh), легких дырок (lh) и спин-орбитально отщепленной (so) зоны
Оказывается, что в силу симметрии блоховских амплитуд, зона тяжелых дырок не взаимодействует ни с одной из 3 -х других зон. Примем энергию зоны тяжелых дырок при k=0 за ноль энергии. Тогда дисперсия остальных трех зон определяется исходя из решения кубического уравнения где В это выражения входят два феноменологических параметра: - константа спин-орбитального взаимодействия - параметр Кейна в единицах энергии.
Зонные параметры некоторых прямозонных полупроводников группы A 3 B 5 со структурой цинковой обманки (S. L. Chuang, “Physics of Photonic devices”) In. As In. P Ga. As a 0 (Å) 6. 0584 5. 8688 5. 6533 0 K 0. 42 1. 424 1. 519 300 K 0. 354 1. 344 1. 424 0. 38 0. 11 0. 34 22. 2 20. 7 25. 7 0. 4 0. 6 0. 5 0. 026 0. 12 0. 087 0. 023 0. 077 0. 0186 0. 064 в сферич. приближении 0. 067 0. 056 I. Vurgaftman et al. , Band parameters for III-V compound semiconductors and their alloys, J. Appl. Phys. 89, 5816 (2001) – критический разбор параметров всех полупроводников группы A 3 B 5
8 -зонная модель Кейна хорошо описывает непараболичность зоны проводимости, которая особенно велика в узкозонных полупроводниках (с малой шириной запрещенной зоны) из-за взаимодействия с близко расположенными валентными зонами. Но можно ограничиться разложением до степени k 2 и получить аналитические выражения для дисперсии и эффективных масс: зона проводимости зона тяжелых дырок зона легких дырок спин-орбитально отщепленная зона
8 -зонной модели Кейна, как правило, достаточно, чтобы описать дисперсию зоны проводимости, но недостаточно для аккуратного описания дисперсии валентных зон. Для описания дисперсии валентных зон часто используют модель Латтинжера-Кона (Luttinger, J. M. (1956). Quantum theory of cyclotron resonance in semiconductors: General theory. Phys. Rev. B 102, 1030 -1041; Luttinger, J. M. and Kohn, W. (1955). Motion of electrons and holes in perturbed periodic fields. Phys. Rev. 97, 869 -883) В этой модели взаимодействие между 6 -ю валентными зонами учитывается точно, а их взаимодействие со всеми зонами проводимости учитывается в рамках своеобразной теории возмущения (т. н. метода Лёвдина) Гамильтониан Латтинжера-Кона описывается матрицей 6 х6. Нули определителя этой матрицы находят численно, или вводят дальнейшие упрощения. Параметры этого гамильтониана: и три параметра Латтинжера (приводятся в справочниках и обзорах) Часто можно пренебречь взаимодействием зон тяжелых и легких дырок и спин-орбитально отщепленной зоны. Тогда дисперсия зон тяжелых и легких дырок находится аналитически
где Дисперсия валентных зон в произвольном направлении непараболична. Но параболичность сохраняется вдоль направлений высокой симметрии [100], [110] и [111]. Для этих направлений можно определить эффективные массы. Например:
Если не хватает точности ни 8 -зонной модели Кейна, ни модели Латтинжера. Кона (а такое бывает при описании спин-зависимых явлений), используют т. н. расширенную или 14 -зонную модель Кейна (см. например Winkler, R. (2003). Spin-Orbit Coupling Effects in Two-Dimensional Electron and Hole Systems. Springer Tracts in Modern Physics, vol. 191. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg)
Если не хватает точности ни 8 -зонной модели Кейна, ни модели Латтинжера. Кона (а такое бывает при описании спин-зависимых явлений), используют т. н. расширенную или 14 -зонную модель Кейна (см. например Winkler, R. (2003). Spin-Orbit Coupling Effects in Two-Dimensional Electron and Hole Systems. Springer Tracts in Modern Physics, vol. 191. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg) В этой модели точно учитывается взаимодействие между 14 -ю зонами: - 6 валентных зон (Г 7 v и Г 8 v) - 2 зоны проводимости (Г 6 с) - еще 6 зон проводимости (Г 7 с и Г 8 с) А все остальные “удаленные” зоны учитываются по теории возмущения Лёвдина. Эта модель включает больше 10 параметров (часто плохо известных) и требует численной диагонализации матрицы 14 х14
Контрольные вопросы 1. Структура валентной зоны Ga. As в центре зоны Бриллюэна 2. Формулировка "теоремы о скорости" для блоховских функций? 3. Квази-классическое уравнение движения блоховского электрона? 4. Как величина эффективной массы зависит от ширины разрешенной зоны? 5. Как величина эффективной массы зависит от ширины запрещенной зоны? 6. Вид волновых функций в kp методе 7. Основные параметры kp метода для невырожденных состояний в пренебрежении спином 8. Взаимодействие каких зон необходимо учитывать в kp методе 9. Характерный диапазон значений эффективной массы электрона в зоне проводимости полупроводников типа цинковой обманки 10. Взаимодействие каких зон учитывается в 8 -зонной моделе Кейна? 11. Параметры 8 -зонной модели Кейна?
12. От каких параметров и как зависит эффективная масса электрона в двухзонной kp модели? 13. Почему в 8 -зонной модели Кейна для зоны тяжелых дырок получается неправильный знак эффективной массы 14. Предпосылки и параметры модели Латтинжера-Кона
Список возможных тем для студенческих семинаров 0. Все что наболело (из области физики) 1. Полупроводниковые наноструктуры (технология изготовления, свойства, . . ): - квантовые точки - квантовые проволоки - квантовые ямы 2. Графен (структура и электронные свойства) 3. Фуллерены и нанотрубки 4. Широкозонные полупроводники и их применения - Ga. N - Zn. O - Алмаз - Zn. Se 5. Аморфные твердые тела, стекла, жидкие кристаллы 6. Сильно-легированные полупроводники. Идеи теории протекания.
7. Лево-сторонние среды. Супер-линза Веселаго 8. Фотонные кристаллы 9. Микрорезонаторы. Поляритонный лазер. Бозе-Эйнштейновская конденсация экситон-поляритонов 10. Плазмонные эффекты в металлах и полупроводниках - плазмонное усиление света - оптика металлических наноструктур 11. Спинтроника - ферромагнитные полупроводники - спиновая инжекция - спиновый транзистор 12. Магнитооптические и магнитотранспортные явления в твердых телах - циклотронный резонанс - эффект де Гааза - ван Альфена - эффект Шубникова де Гааза - ядерный магнитный резонанс 13. Электрооптические явления в полупроводниках и наноструктурах (эффект Франка-Келдыша, квантоворазмерный эффект Штарка)
Семинар проводится с использованием компьютера и проектора. Время доклада с обсуждением ~25 -40 мин. Не позднее чем за 2 недели до проведения (чтобы все могли ознакомиться) необходимо представить 1 -страничные тезисы доклада Требования к тезисам докладов 1. Должны быть набраны на компьютере в формате Word или pdf на 1 стр. A 4 шрифтом 11 или 12 через 1 или 1. 5 интерв. 2. В заголовке – тема, фамилия и место работы (учебы) докладчика. 3. Должны содержать четкую постановку задачи, максимальное количество конкретной информации, графики и формулы (при необходимости, в пределах допустимого объема), небольшое число ссылок на использованную литературу (если уместно) и краткие выводы.