Лекція 2 ЗВЕДЕННЯ СИСТЕМИ СИЛ ДО ТОЧКИ ТЕОРЕМА

Лекція 2 ЗВЕДЕННЯ СИСТЕМИ СИЛ ДО ТОЧКИ. ТЕОРЕМА ВАРІНЬЙОНА. УМОВИ РІВНОВАГИ ПЛОСКОГО ТІЛА n Система збіжних сил – лінії дії сил перетинаються в одній точці. План дослідження будь-якої системи сил відповідає послідовному вирішенню трьох питань : 1. Як спростити систему? 2. Який найпростіший вид системи? 3. Які умови рівноваги системи?

Система збіжних сил Складання двох сил Рівновага системи збіжних сил Додавання трьох сил, які не лежать в одній площині Складання системи збіжних сил Аналітичний спосіб додавання сил Розкладання сили за двома і трьома заданими напрямками

1. Складання двох сил Геометрична сума R двох сил F 1 и F 2 знаходится по правилу паралелограма. Модуль рівнодіючої визначається по теоремам sin та cos.

2. Складання трьох сил, що не лежать у одній площині

3. Складання системи збіжних сил Розглянемо систему збіжних сил, тобто лінії дії перетинаються в одній точці. Послідовно застосовуючи закон паралелограма сил, прийдемо до висновку, що система збіжних сил має рівнодіючу, що дорівнює геометричній сумі цих сил і прикладену в точці перетину їх ліній дії. Для знаходження рівнодійної користуються силовим багатокутником.

4. Розкладання сили за двома і трьома заданими напрямками Розкласти дану силу на складові - значить знайти таку систему кількох сил, для якої дана сила є рівнодіючою.

5. Аналітичний спосіб складання сил Цей метод ґрунтується на понятті проекції сили на вісь. Проекція сили на вісь є алгебраїчна величина, що дорівнює добутку модуля сили на cos кута між силою і додатним напрямком осі.

6. Рівновага системи збіжних сил Для рівноваги системи збіжних сил, прикладених до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб рівнодіюча (а отже і головний вектор) дорівнювала нулю. Отже, для рівноваги системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб силовий багатокутник, побудований з цих сил, був замкнутий або суми проекцій всіх сил на кожну вісь дорівнюють нулю.

1. СПРОЩЕННЯ СИСТЕМИ Перенесемо всі сили по лінії їх дії в точку перетину (кінематичний стан тіла при цьому не зміниться - наслідок аксіоми приєднання). Складемо перші дві сили F 1 и F 2 (аксіома паралелограма). Кількість сил зменшиться на одиницю. Складемо отримано рівнодіючу R 12 із наступною силою F 3. Кількіть сил знову зменшиться на одиницю. Повторимо цю операцію із наступною силою F 4. Залишилася лише одна сила, еквівалентна вихідній системі сил. Складання сил побудовою паралелограмів можливо замінити побудовою силового багатокутника – вибирається одна із сил або зображується параллельно самій собі з початком в будь-якій довільній точці, всі інші сили зображуються паралельними самим собі з початком, що збігається з кінцем попередньої сили. Результатом такого додавання є вектор, направлений з початку першої сили до кінця останньої з сил.

2. НАЙПРОСТІШИЙ ВИД СИСТЕМИ – сила, прикладена у точці перетину вихідних сил. Таким чином, збіжна система сил приводиться до однієї сили – рівнодіючої (силі, еквівалентній вихідній системі сил), що дорівнює геометричній сумі сил системи. 3. УМОВА РІВНОВАГИ СИСТЕМИ Якщо рівнодійна системи виявляється не рівна нулю, тіло під дією такої системи сили буде рухатися в напрямку рівнодіючої (система сил не врівноважена). Для того, щоб врівноважити систему досить прикласти силу, рівну отриманої рівнодіючої і спрямованої в протилежну сторону (аксіома про дві сили). Таким чином, умовою рівноваги системи збіжних сил є обернення рівнодіючої в нуль. Це умова еквівалентно замкнутості силового трикутника певним чином, а саме, напрямок усіх сил при обході по контуру не змінюється за напрямом:

Види рівноваги Байдужа рівновага Стійка рівновага Нестійка рівновага

Види рівноваги Рівновага називається стійкою, якщо сила, що виникла, прагне повернути тіло в стан рівноваги. Рівновага називається нестійкою, якщо при нескінченно малому відхилення тіла від положення рівноваги, виникає результуюча сила, яка віддаляє тіло від положення рівноваги. Рівновага називається байдужою, якщо вона зберігається при будь-якому переміщенні (або повороті) тіла.

Висновок про види рівноваги: 1. Стійке положення тіла це те, в якому його потенційна енергія має мінімальне значення. 2. Стійкість рівноваги тіл на плоскій поверхні тим більше, чим більше площа опори і нижчий центр ваги.

Момент сили відносно центру (точки) •

•

напрямком модулем момента, рівним добутку F*h положенням момента у просторі

Властивості момента сил: 1. Момент сили відносно центра не змінюється при перенесенні точки прикладання сили вздовж її лінії дії. 2. Момент сили відносно центра дорівнює нулю або коли сила дорівнює нулю, або коли лінія дії сили проходить через центр О (плече дорівнює нулю). Одиниці виміру моменту [M]=Hм.

Пара сил. Момент пари Теорію пар розробив французський вчениймеханік Л. Пуансо (1777 -1859 р. р. )

Парою сил називається система двох рівних за модулем, паралельних і спрямованих в протилежні сторони сил. Система сил, що утворюють пари, не знаходиться в рівновазі. Площиною дії пари називається площина, що проходить через лінії дії сил. Плечем пари називається відстань α між лініями дії сил пари.

Дія пари сил на тверде тіло зводиться до деякого обертальному ефекту, який характеризується величиною, що називається моментом пари.

Момент пари визначається: Модулем, рівним добутку F*d Напрямком повороту пари в цій площині Положенням у просторі площини дії пари

Момент пари може бути прикладений у будь-якій точці (такий вектор називається вільним). вільним Дві пари сил, що мають однакові моменти, еквівалентні, тобто створюють на тіло однакову еквівалентні механічну дію.

Теорема 1 - про складання пар: •

Властивості пари сил: 1. Пару, не змінюючи дії, що чинить вона на тверде тіло, можна переносити куди завгодно в площині її дії. 2. У цієї пари можна довільно змінювати модулі сил або довжину плеча, зберігаючи незмінним її момент. 3. Пару можна перенести з даної площини в іншу площину, паралельну даній.

Теорема 2: Силу, прикладену до абсолютно твердого тіла, можна переносити в будь-яку іншу точку тіла, додаючи при цьому пару з моментом, рівним моменту сили, що переноситься, відносно точки, куди сила переноситься. Дія сили при цьому не зміниться.

Доведення теореми 2: 1) Нехай є сила F, прикладена у точці А. Потрібно перенести її у точку В. 2) У точку В добавимо врівноважену систему сил F’=F’’, що чисельно рівна силі F: F’=F’’=F

Теорема 3: Будь-яка система сил, що діють на абсолютно тверде тіло, приведенні до довільно обраного центру замінюється однією силою, яка дорівнює головному вектору системи сил і прикладеної в центрі приведення, і однією парою з моментом, рівним головного моменту системи сил відносно центру

Теорема Варіньйона: Якщо дана система сил має рівнодіючу, то момент рівнодійної щодо будь-якого центру дорівнює сумі моментів всіх сил системи відносно того ж центра. Варіньйон (1654 -1722 р. р. ) франц. фізик, математик, механік

Центр ваги паралельних сил Mc(R)=Mc(F 1)+Mc(F 2); 0=F 1*h 1 -F 2*h 2; F 1*h 1=F 2*h 2; або h 1/h 2 = F 2/F 1. F 1*A 1 C = F 2*A 2 C - правило важеля. Точка С, яка задовільняє даній рівності, називається центром паралельних сил.

Умова рівноваги: 1 Для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб суми проекцій всіх сил на кожну з двох координатних осей і сума їх моментів щодо будь-якого центру, що лежить в площині дії сил, були рівні нулю:

Умова рівноваги: 2 Для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб суми моментів всіх цих сил відносно яких-небудь двох центрів (А і В) і сума їх проекцій на вісь ОХ, не перпендикулярну до прямої АВ, були рівні нулю:

Умова рівноваги: 3 Для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб суми моментів всіх цих сил відносно будь-яких трьох центрів А, В і С, що не лежать на одній прямій, були рівні нулю: (рівняння трьох моментів)

РЕАКЦІЇ В ОПОРАХ БАЛОК І ЇХ ВИЗНАЧЕННЯ ІЗ УМОВ РІВНОВАГИ Основні типи опор і балок. Стержні, що працюють головним чином на згин, називаються балками. Балки є найпростішими несучими конструкціями в мостах, промислових і цивільних спорудах. Балки спираються на інші конструкції або основи (стіни, колони, підвали та ін. ). Схематизація опорних пристроїв спрощує реальні конструкції опорних пристроїв зі збереженням функційобмеження переміщень. Схематизація більшості з опорних пристроїв розглянута на минулій лекції зводиться до декількох типів опор: Шарнірно-рухома (каткова) опора - обмежує переміщення об'єкта по нормалі до опорної площини (не перешкоджає повороту і переміщенню по дотичній до опорної площини). Реакція рухомого шарніра проходить через центр шарніра перпендикулярно осі шарніра і площини обпирання. Інші схематичні зображення шарнірнорухомої опори: Шарнірно-нерухома опора - обмежує переміщення об'єкта як по нормалі до опорної площини, так і по дотичній (не перешкоджає повороту). Реакція нерухомого шарніра проходить через центр шарніра перпендикулярно осі шарніра і має довільний напрямок. Реакцію нерухомого шарніра можна розкласти на дві складові, наприклад, Rx=HA і Ry=VA, паралельно координатним осям. Інші схематичні зображення шарнірнонерухомої опори:

Жорстке защемлення (жорстке закріплення) - обмежує як поступальні, так і обертальні переміщення (лінійні і кутові переміщення) об'єкта. У випадку плоскої системи сил (плоске закріплення) обмежуються переміщення по осях x, у і поворот в площині x, у. A У жорсткому плоскому закріпленні виникає три реакції зусиль: дві складові реакційні сили VА і HА, а також реакційний момент (пара сил) MА. В опорі матеріалів і далі в будівельній механіці горизонтальні і вертикальні реакції для скорочення найменування часто позначають як HA (horizontal) та VA (vertical). У разі просторової системи сил виникають три реакції у напрямку трьох координатних осей і три реактивних моменту (пар сил) щодо цих осей. Основні типи балок (відрізняються способом закріплення): Консоль - один кінець жорстко закріплений, другий вільний. Проста двохопорна - по обох кінцях шарнірні опори. Консольна двохопорна - проста балка з консольними частинами. Складна балка - складена з двох або більше простих, консольних балок і консолей. l D C B b b E l a

n Визначення опорних реакцій в балках . Рівняння рівноваги можуть бути складені у вигляді однієї з трьох форм (умов рівноваги): Перша умова рівноваги: Друга умова рівноваги: Третя умова рівноваги: (вісь ОХ не перпендикулярна (точки А, В і С не лежать прямій АВ) на одній пряиій) Оскільки знайдені опорні реакції будуть використовуватися у подальших розрахунках (побудова епюр внутрішніх зусиль, визначення напружень і переміщень) слід користуватися цими формами рівнянь так, щоб в кожне з рівнянь входила лише одна визначувана реакція, щоб виключити підстановку раніше знайдених і неперевірених реакцій. Після незалежного обчислення всіх реакцій обов'язково повинна бути виконана перевірка складанням такого рівняння рівноваги, в якому б були присутні всі або більшість із знайдених реакцій. Оскільки балки працюють переважно на вертикальне навантаження, то в загальному випадку рекомендується скористатись формою II і перевірити вертикальні реакції складанням рівняння у проекціях на вертикальну вісь. Пам'ятайте, що невірно знайдені опорні реакції завжди приведуть до невірних результатів при побудові епюр, визначенні напружень і переміщень!

Визначити опорні реакції для заданої розрахункової схеми балки n Нехай балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням q, зосередженою силою F = qa і згинаючим моментом M = qa 2: y HA A q B VA 1. Визначаємо опорні реакції : F M z VB 2 a VA = 1, 25 qa 2 a 2 a VB = 1, 75 qa Із другого та третього рівняння отримуємо: Виконуємо перевірку правильності знаходження опорних реакцій: Висновок: опорні реакції знайдено вірно.