Лекция 2 Зонная теория твёрдых тел Зонный энергетический

Лекция 2 Зонная теория твёрдых тел Зонный энергетический спектр электронов в кристалле Энергетический спектр металлов, п/п, диэлектриков Энергетические уровни примесей, типы примесей лектор: Колосько Анатолий Григорьевич ( agkolosko@mail. ru )

Энергетические уровни электронов в атоме В свободных атомах электроны располагаются на отдельных энергетических уровнях, которые в совокупности являются общим дискретным спектром. В кристалле же расстояния между атомами настолько малы, что их потенциальные кривые налагаются друг на друга, и орбитали электронов перекрываются. Часть электронов становятся общими (коллективизированными) для кристалла и образует общее электронное облако.

Образование энергетических зон При образовании кристаллической решётки атомы сближаются, взаимодействуют, и энергетические уровни электронов в них превращаются в энергетические зоны. В системе из N атомов, каждый уровень повторяется N раз, поэтому в зоне будет N состояний. У кристалла размером 1 см 3 N≈1022, расстояние м/у зонами ΔE≈10‑ 22 э. В. Зонная структура кристалла арсенида галлия (Ga. As) для разных направлений волнового вектора электрона атомарных плоскостей Минимум энергетической зоны – дно зоны, максимум – потолок зоны. Ширина зон внутренних оболочек меньше из-за меньшего перекрытия орбиталей. Разрешённые зоны разделяются запрещёнными зонами. Их энергетическая ширина: Eg = Emax - Emin

Спектры поглощения Механизм поглощения фотонов: Спектры поглощения света газом и жидкостью:

Вырожденный электронный газ Энергетический уровень вырожденный, если его энергией могут обладать сразу несколько электронов в различных состояниях. Количество таких состояний – – кратность вырождения уровня. Электронный газ с вырожденными уровнями называется вырожденным, если вырождение существенно влияет на его свойства. Обычно вырождение наступает, когда расстояния между электронами становятся соизмеримыми с длиной волны де Бройля (λD), отражающей их волновую природу. где h - постоянная Планка, m - масса, v - скорость электрона. Тепловую скорость электронов можно оценить из МКТ: mv 2 = 3 k. T Для электронов с энергией Е = 1 ÷ 10000 э. В λD = 1 ÷ 10− 2 нм , это в интервале длин волн рентгеновского излучения. В общем случае условия вырождения выполняются при достаточно низкой температуре и высокой концентрации частиц.

Уровень Ферми. Статистика Ферми-Дирака На каждом энергетическом уровне в вырожденном электронном газе могут разместиться только два электрона (с разными спинами), поэтому если наш газ содержит N электронов, то последним будет занят уровень с номером N/2. Этот уровень называется уровнем Ферми и обозначается через µ или EF. Функция распределения вырожденного электронного газа зависит от температуры и подчиняется статистике Ферми-Дирака: при T = 0 К

Химический потенциал. Статистика Максвелла-Больцмана При высоких температурах и низких концентрациях, газ перестаёт быть вырожденным и статистика Ферми-Дирака превращается в распределение Максвелла-Больцмана: где μ – уже не энергия Ферми, а химический потенциал, который представляет собой приращение внутренней энергии U системы при добавлении к ней одной частицы при постоянных объёме V и энтропии S и т. д. (т. е. без совершения работы). Полная функция распределения электронов по энергиям N получается умножением f(E) на плотность состояний в зонной структуре.

Статистика Бозе-Эйнштейна Статистика Ферми-Дирака применяется к фермионам (частицы с полуцелым спином, такие как электроны). К бозонам (частицы с целым спином, такие как фотоны) применяется статистика Бозе-Эйнштейна: где μ – энергия Ферми При высоких температурах и низких концентрациях, она также превращается в распределение Максвелла-Больцмана. Равновесное тепловое излучение с точки зрения квантовой теории рассматривается как газ, образованный квантами света – фотонами, обладающими энергией Е = hv. Кристаллическая решётка может колебаться с различными дискретными частотами. Квант энергии таких незатухающих тепловых колебаний называется фононом.

Проводники, диэлектрики и полупроводники При Т = 0 К электроны заполняют уровни в зонной структуре до уровня Ферми. Нижняя заполненная зона – валентная, верхняя "пустая" – зона проводимости. Все твёрдые тела можно разделить на две большие группы: Вещества с частично заполненной зоной проводимости называются металлами (электропроводность 107— 108 Ом‑ 1·cм‑ 1). Тела второй группы условно делятся по величине запрещенной зоны Eg на диэлектрики (с широкой зоной Eg > 3 э. В, электропроводность < 10‑ 14 Ом‑ 1·cм‑ 1): алмаз - 5, 2 э. В, нитрид бора - 4, 6 э. В, Аl 2 О 3 - 7 э. В и на полупроводники (с узкой зоной Eg ≤ 3 э. В): германий - 0, 65 э. В, кремний - 1, 08 э. В, Ga. As - 1, 4 э. В, антимонид индия - 0, 17 э. В.

Собственные полупроводники Химически чистые полупроводники называются собственными полупроводниками (содержание посторонних примесей не превышает 10− 8 %). Концентрация дырок в них всегда равна концентрации свободных электронов, поднятых в зону проводимости температурными колебаниями и т. д. Еc – энергия дна зоны проводимости Ev – энергия потолка валентной зоны При приложении к кристаллу внешнего поля Е в нём возникает направленное движение электронов (ток) как в зоне проводимости, так и в валентной зоне. Носители заряда в валентной зоне называются дырками. Чем меньше Eg и выше Т, тем больше электронов переходит в зону проводимости и тем выше электропроводность кристалла.

Примесные полупроводники n-типа Кристалл германия (Ge) имеет решетку типа алмаза. Если часть атомов замещена атомами пятивалентного мышьяка (As), то пятый электрон связей не образует, находясь на донорном энергетическом уровне, который размещается возле дна зоны проводимости (Ед ≈ 0, 01 э. В). При Т >0 К ионизация атома As приводит к образованию электрона проводимости, который свободно перемещается по кристаллу. Такие вещества называются полупроводниками n-типа. В общем случае примесные уровни могут располагаться и в запрещенной зоне.

Примесные полупроводники p-типа Если часть атомов Ge замещена атомами трёхвалентного индия (In), то в кристалле присутствуют "неукомплектованные" связи, по сути дырки. Электрон, попадающий в такую связь, оказывается на акцепторном энергетическом уровне, который размещается возле потолка валентной зоны (Еа ≈ 0, 01 э. В). При Т >0 К перемещение электронов в акцепторные состояния приводит к образованию в валентной зоне дырки проводимости, которая свободно перемещается по кристаллу. Такие вещества называются полупроводниками p-типа.

Глубокие примесные уровни образуются при замещении атомов основного вещества атомами с отличием по валентности > 1. Атомы Cu в кристалле Ge создают три примесных уровня: Cu 1 -, Cu 2 -, Cu 3 -. В случае примесей внедрения характер примесного уровня определяется электроотрицательностью (χ): если χ примесных атомов больше, чем χ атомов матрицы, то уровень - акцепторный, в обратном случае - донорный. Одна и та же примесь может быть донором при замещении и акцептором при внедрении (например, О в Si) либо наоборот.

Эффективная масса электрона Электрон (или дырка) с массой m в периодическом поле атомов кристалла под воздействием внешнего электрического поля движется так, как двигался бы свободный электрон с массой m* : E = p 2/2 m*. Эта m* – эффективная масса. m* зависит от энергетической зоны: чем она шире, тем электроны в ней легче. В широкой валентной зоне 3 s m* ≈ mo (масса покоя) В узкой внутренней зоне Is m* >> mo Переход части потенциальной энергии в кинетическую при разгоне электрона в кристалле приводит к его "облегчению": m* < mo. Если наоборот, то m* > mo. Быстродействие интегральных микросхем зависит от скорости электронов, поэтому в приложениях, где требуется широкая полоса пропускания, вместо кремния