Лекция 2 Теоремы о равносильности уравнений Теорема

Лекция 2 Теоремы о равносильности уравнений

Теорема 1. Если к обеим частям уравнения (1): f(x)=g(x) прибавить выражение к(х), имеющее смысл на ОДЗ уравнения (1), то получится уравнение, равносильное данному. Дано: Доказать: f(x) = g(x) (1), сущ. к(х) для любого х из ОДЗ(1). f(x)=g(x) ↔ f(x)+к(х)=g(x)+к(х)

Следствие 1: ? ? ? (какие преобразования уравнений позволяет делать эта теорема) Пример. х +1= 7 ↔ х = 7 - 1 Пример. -неверно - верно Как объяснить?

Теорема 2. Если любое выражение, входящее в уравнение (1) заменить тождественно равным ему на ОДЗ(1), то получим уравнение (2), равносильное данному на ОДЗ уравнения (1) Дано. f(x)=g(x) (1), f(x)≡k(x) на ОДЗ(1) Доказать. f(x)=g(x) ↔ k(x)=g(x) на ОДЗ(1)

Теорема 3. Если обе части уравнения f(x)=g(x) (1) умножить на выражение к(х), существующее на ОДЗ(1) и принимающее на ОДЗ(1) отличное от 0 значение, то получится уравнение(2) f(x)k(x)=g(x)k(x), равносильное заданному на ОДЗ(1)

ТЕСТ № 3

Пример. Пример Вывод. При умножении уравнений на выражение, содержащее переменную, могут возникнуть сложности, связанные с искажением множества корней ( а в каких случаях – это утверждают теоремы о неравносильности)

Теорема 4. (о разложении на множители) f(x)g(x)=0 (1) или f(x)g(x)=0 (1)

Пример. o Вывод: если ОДЗ сомножителей не совпадают, то есть опасность неравносильного перехода к совокупности уравнений

Теорема 5 (о взятие функции от обеих частей уравнения) Если от обеих частей уравнения (1) взять функцию F(t), существующую на объединении их областей значений Ef U Eg и принимающую на нём каждое своё значение только 1 раз(инъективную, монотонную), то получится уравнение, равносильное уравнению (1) на ОДЗ(1).

Пример1. f(x)= , g(x)= x F(t) = t 2 – монотонна на [0; ∞) t 1 = f(x) ≥ 0 при любом х t 2 = g(x) = f(x) ≥ 0, т. е. g(x) = x ≥ 0 при хЄ[0; ∞) Школьная форма записи: ОДЗ: хЄ[- 1; ∞); Д. у. : хЄ[0; ∞)

Теорема о взятие функции возведения в квадрат от обеих неотрицательных частей уравнений Если обе части уравнения (1) неотрицательны, то при возведении их в квадрат получается уравнение, равносильное уравнению (1)

Пример2. o Пример 3.

Пример 1. o Замечание 1. Появились лишние корни, т. к. выполнено преобразование, тождественное не на ОДЗ(1)=R, а на множестве корней - {1} → проверка необходима Пример 2. o Замечание 2. Появление лишних корней не обязательно. o

Теорема 6(о замене переменных) o где t 1, …, tn – корни f(t)=0