Лекция 2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА 1

Лекция 2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА 1

Определение. Случайная величина, которая может принимать лишь конечное или бесконечное, но счётное число значений , с определенными вероятностями называется дискретной (ДСВ). Определение. Случайная величина называется непрерывной, если множество её значений заполняет полностью некоторый промежуток числовой оси. (НСВ)

Случайная величина дискретная непрерывная

Закон распределения дискретной случайной величины Определение. Закон распределения дискретной случайной величины – это соответствие между возможными значениями и вероятностями эти значения принимает случайная величина. Способы задания: • Таблично x Р • … … Аналитически Графически c которыми

Таблица 1 Причем здесь всегда сумма чисел из второй строки равна 1, т. е: Таблицу называют также рядом распределения (или вероятностным рядом) дискретной случайной величины Х. 6

• Закон распределения может быть задан графически в виде многоугольника распределения вероятностей, когда в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами у р4 р2 р1 рк р3 О x 1 x 2 x 3 р5 x 4 x 5 xк x 7

Закон распределения может быть задан аналитически в виде формулы: Определение. Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p. Тогда вероятность числа k появлений события в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли: 8

Если число испытаний очень велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то для вычисления используют формулу Пуассона: и при этом говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона. 9

Обзор стандартных распределений Дискретные случайные величины Биномиальное распределение Распределение Пуассона Геометрическое распределение

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью функции распределения вероятностей случайной величины X обозначаемой и определяющей для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее то есть 11

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ • 1. 2. 3. 4. Функция распределения обладает свойствами: Определена при. неубывающая функция на непрерывна слева в точках и непрерывна во всех остальных точках; Для дискретной случайной величины Х заданной таблицей, функция определяется формулой: 12

Функция Таблица 2 Ее график: 13

у 1 p 1+p 2+…+pn-1 p 1+p 2+p 3 p 1+p 2 p 1 о x 1 x 2 x 3 xn-1 xn x 14

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Определение 5. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х заданной таблицей 1, называется число вычисляемое по формуле: Если случайная величина задана таблицей 2, то для нее: 15

З а м е ч а н и е 1. При большом числе испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины Х близко к ее математическому ожиданию стремится к (точнее, при неограниченном возрастании числа испытаний). Математическое ожидание обладает следующими свойствами: где С - постоянная величина . . 16

Математические ожидания случайных величин Х и Y заданных, соответственно, табл. 1 и 3, где некоторое постоянное число, связаны равенством: Таблица 3 Математические ожидания случайных величин X и Z заданных, соответственно, табл. 1 и 4, где b – некоторое постоянное число, связаны равенством: 17

Таблица 4 Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании 18

Определение 6. Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания: Определение 7. Средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из дисперсии: Замечание 2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются числовыми характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины Х вокруг ее математического ожидания. 19

Дисперсия обладает следующими свойствами: где С - постоянная величина; . Для дискретной случайной величины Х заданной табл. 1, справедливо равенство: 20

Для дискретной случайной величины Х заданной табл. 2, справедливо равенство: 6. Дисперсии случайных величин Х и Y заданных, соответственно, табл. 1 и 3, связаны равенством: 7. Дисперсии случайных величин X и Y заданных, соответственно, табл. 1 и 4, связаны равенством: 21

• 8. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в одном испытании: 22

Примеры • Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0, 9. а) Найти закон распределения случайной величины Хчисла испытанных приборов. б) Найти функцию распределения этой случайной величины. в) Вычислить и 23

Примеры Р е ш е н и е. а) Возможными значениями числа испытанных приборов будут: , так как событие означает, что испытан только один прибор, оказавшийся ненадежным. , так как событие означает, что испытано два прибора, причем первый оказался надежным, а второй ненадежным. Рассматривается совмещение (произведение) этих двух независимых событий. , так как событие означает совмещение трех событий: первый прибор надежный, второй надежный, а третий любой (их всего три). Контролем правильности данного закона является проверка равенства суммы всех вероятностей: 0, 1+0, 09+0, 81=1. 24

Примеры Найдем используя тот факт, что вероятность попадания дискретной случайной величины в некоторый интервал определяется как сумма вероятностей тех значений, которые находятся в этом интервале. 25

Примеры • Вычислим 26