Лекция 2. Система аксиом, требования, предъявляемые к аксиоматике. Понятие о математической структуре. Непротиворечивость, полнота и независимость системы аксиом. Литература [1] § 77 - 79, [2] § 9. . .
Декартово произведение множеств Пусть имеются произвольные множества: M 1, M 2, … Mn, тогда их декартовым (или прямым) произведением называют множество, состоящее из всех упорядоченных наборов элементов вида (x 1, x 2, … xn), где xi Мi, при i = 1, 2, …n.
Многоместные отношения Пусть имеется несколько произвольных множеств M 1, M 2, … Mn, тогда любое подмножество r декартова произведения будем называть nместным (n-арным) отношением, заданным на этих множествах.
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА Пусть даны n произвольных множеств M 1, M 2, … Mn и kмногомерных отношений между ними. Элементы множеств называются основными объектами, а отношения – основным отношениями. Пусть имеется также список утверждений , в которых говорится только о свойствах основных объектов и основных отношений. Тогда говорят, что на данных множествах определена или аксиоматическая теория Т. Понятия, сформулированные в терминах аксиоматической теории Т, утверждения, описывающие свойства понятий и являющиеся теоремами, т. е. логическими следствиями аксиом, вместе составляют математическую структуру рода Т.
МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ АКСИОМ Пусть имеется аксиоматическая теория с основными множествами , основными отношениями и системой аксиом . Будем говорить, что имеется модель (интерпретация) этой аксиоматической теории, если выбраны конкретные множества, на которых заданы конкретные отношения с тем же числом переменных и на тех же множествах, что и соответствующие им основные , удовлетворяющие всем аксиомам системы .
Требование непротиворечивости Аксиоматика, для которой в рамках определенной ею системы нельзя доказать двух логически противоречивых утверждения, называется непротиворечивой. Противоречивая аксиоматика бессодержательна, поскольку, как известно из курса математической логики, в ней можно доказать любое утверждение. Если имеется модель некоторой аксиоматической теории, и средства, с помощью которых она построена, не приводят к противоречию, то и данная аксиоматика непротиворечива. В этом случае говорят об относительной или содержательной непротиворечивости аксиоматики, т. е. ее непротиворечивости при условии непротиворечивости средств, использованных при построении модели. Из курса математической логики известно, что любая непротиворечивая система аксиом имеет модель. Противоречивая аксиоматика не может иметь моделей, построенных с использованием корректных средств.
Изоморфизм моделей аксиом Пусть M 1, M 2, … Mn - основные множества, а r 1, r 2, …, rk - основные отношения некоторой системы аксиом . И пусть имеются две модели этой системы аксиом, включающие множества M 11, M 21, … Mn 1, отношения r 11, r 21, …, rk 1, и множества M 12, M 22, … Mn 2 с заданными на них отношениями r 12, r 22, …, rk 2, соответственно. Будем говорить, что эти две модели изоморфны, если существуют взаимно однозначные отображения f 1: M 11 M 12, f 2 : M 21 M 22, … fn: Mn 1 Mn 2 такие, что (xj 1, xj 2, … xjmi) ri 1 тогда и только тогда, когда (f(xj 1), f(xj 2), … f(xjmi)) ri 2, при всех i=1, …n.
Категоричность и полнота системы аксиом Непротиворечивая система аксиом называется категоричной, если две любые ее модели изоморфны. Непротиворечивая система аксиом называется полной, если для любого утверждения, выраженного с помощью ее основных понятий, либо это утверждение, либо его отрицание является логическим следствием (иначе говоря, выводится из) этой системы аксиом. Категоричность аксиоматики влечет ее полноту
Эквивалентность аксиоматик Пусть даны две аксиоматики и. Если в терминах аксиоматической теории можно построить модель аксиоматики и, наоборот, в терминах аксиоматики можно построить модель системы аксиом , то такие системы аксиом называются эквивалентными. Математические структуры, построенные на этих аксиоматиках, одинаковы
Независимость аксиоматики Пусть имеется непротиворечивая система аксиом и некоторая аксиома A этой системы. Тогда аксиома A называется независимой, если она не является логическим следствием системы аксиом ’, полученной из системы , удалением из нее аксиомы A. Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если каждая из входящих в нее аксиом является независимой.
Способ доказательства независимости Независимость аксиомы A системы аксиом эквивалентна непротиворечивости системы аксиом , полученной из системы , заменой аксиомы A ее отрицанием. Поэтому для доказательства независимости аксиомы A достаточно построить модель системы аксиом .
Основные объекты и основные отношения аксиоматики Вейля Основные объекты: R – множество действительных чисел, Ev 3 – элементы этого множества будем называть векторами и E 3 его элементы в дальнейшем называются точками. Основные отношения: операции сложения векторов, умножения вектора на число, скалярного произведения пары векторов; операция , ставящая в соответствие упорядоченной паре точек X, Y из E 3, вектор (X, Y) из Еv 3
Аксиомы линейного векторного пространства BI 1. Для любых векторов V 3 справедливо равенство. BI 2. Для любых трех векторов выполнено: . BI 3. Существует вектор V 3 такой, что для любого имеет место: BI 4. Для любого вектора V 3 найдется вектор V 3 такой, что. BI 5. Для любых чисел , R и любого вектора V 3 справедливо равенство ( + ) = + . BI 6. Для любого числа R и любых векторов и из V 3 справедливо равенство =. BI 7. Для любых чисел , R и любого вектора V 3 справедливо равенство ( ) = ( ). BI 8. Для любого вектора V 3 справедливо равенство 1 =.
Аксиомы размерности трехмерного векторного пространства V 3. BII 1. Существует линейно независимая тройка векторов , т. е. такая тройка векторов, для которой из соотношения следует = = =0. BII 2. Любые четыре вектора линейно зависимы, т. е. для любых векторов существуют числа , , , R, не все равные нулю, для которых.
Аксиомы скалярного произведения . BIII 1. Для любых чисел , R, и любых векторов справедливо равенство. BIII 2. Для любых векторов справедливо равенство BIII 3. Для любого ненулевого вектора имеет место неравенство. BIII 4. На пространстве V 3 задано множество положительно определенных симметрических билинейных форм, которое включает в себя скалярное произведение векторов, такое, что если , то , где положительное действительной число.
Аксиомы соответствия пар точек и векторов BIV 1. (Аксиома откладывания вектора) Для любой точки A Ev 3 и любого вектора существует единственная точка B Ev 3 такая, что. BIV 2. (Аксиома треугольника) Для любых трех точек A, B, C Ev 3 , справедливо равенство.
Теорема Если аксиоматика Гильберта трехмерного евклидова пространства непротиворечива, то справедливы утверждения аксиомы BI 1 – BIV 2 аксиоматики Вейля.
Непротиворечивость аксиоматики Вейля Аксиоматика Вейля трехмерного евклидова пространства непротиворечива, если непротиворечива арифметика.
Независимость аксиоматики Вейля Аксиоматика Вейля трехмерного евклидова пространства является независимой.
Скачать презентацию Лекция 2 Система аксиом требования предъявляемые к аксиоматике
6_prezentatsia.ppt