Лекция 2 Проекции прямой Проекции

Лекция 2 Проекции прямой

Проекции прямой Пространственная картина П 2 В 2 А 2 m A B x O А 1 B 1 П 1 Положение прямой m в пространстве определяют две произвольные точки А и В, лежащие на этой прямой. Это наиболее удобный способ задания прямой. Прямая линия m считается заданной, если на комплексном чертеже построить проекции двух ее точек А и В

Проекции прямой Пространственная картина Комплексный чертеж B 2 П 2 В 2 m А 2 m 2 А 2 m A B x x O А 1 m 1 А 1 B 1 m П 1 B 1 1 Проекции прямой m проходят через пары соответствующих проекций точек: горизонтальная проекция прямой m 1 – через А 1 и В 1 ; фронтальная проекция прямой m 2 – через А 2 и В 2

Безосный чертеж Безосным называется чертеж, на котором отсутствуют оси проекций B 2 B 3 А 2 z А 3 y 45 А 1 y k B 1 45 Для построения профильной проекции прямой на безосном чертеже проводят постоянную чертежа k под углом 45. С ее помощью по линиям связи получают профильную проекцию прямой А 3 В 3 , положение которой определяется разностями координат z и y

Положение прямой относительно плоскостей проекций z Метрические П 2 характеристики отрезка: В 2 н. в. – натуральная B В величина отрезка; А 2 3 в – угол наклона Н. П x 3 отрезка к плоcкости A B 1 А 3 П 1 ; – угол наклона А 1 отрезка к плоcкости П 1 П 2 ; y – угол наклона отрезка к плоcкости П 3

Прямая общего положения наклонена ко всем плоскостям проекций B 2 B 3 А 2 А 3 А 1 B 1 k На чертеже проекции отрезка прямой общего положения имеют искаженные метрические характеристики, ни одна из ее проекций не параллельна осям координат и не перпендикулярна к ним

Прямые частного положения Прямая частного положения параллельна или перпендикулярна одной из плоскостей проекций Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, называется прямой уровня: Горизонтальная прямая уровня (горизонталь) h П 1 Фронтальная прямая уровня (фронталь) f П 2 Профильная прямая p П Прямая, перпендикулярная одной из плоскостей 3 проекций, называется проецирующей прямой: Горизонтально проецирующая прямая П 1 Фронтально проецирующая прямая П 2 У прямой частного положения на комплексном чертеже определяются Профильно проецирующая прямая натуральные величины каких-либо ее характеристик. Прямая уровня про- П 3 ецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой она парал- лельна. Одна из проекций проецирующей прямой вырождается в точку

Прямые уровня: горизонталь (h П 1) Пространственная картина Комплексный чертеж П 2 А 2 h 2 В 2 z=const A B x x h 1 А 1 z=const h 1 B 1 н. в. B 1 П 1 Все точки прямой АВ равноудалены от горизонтальной плоскости про- екций П 1 и имеют одинаковую аппликату z= const. Фронтальная проекция горизонтали А 2 В 2 параллельна оси х. Горизонтальная проекция горизон-тали А 1 В 1 , углы и изображаются в натуральную

Прямые уровня: фронталь (f П 2) Пространственная картина Комплексный чертеж П 2 В 2 н. в. В 2 y=const f 2 А 2 f B А 2 x A x f 1 y=const А 1 B 1 f 1 П 1 А 1 B 1 Все точки прямой АВ равноудалены от фронтальной плоскости проекций П 2 и имеют одинаковую координату y (y= const). Горизонтальная проекция фронтали А 1 В 1 параллельна оси х. Фронтальная проекция фронтали А 2 В 2 , углы и изображаются в натуральную величину на П 2

Прямые уровня: профильная прямая (р П 3) Пространственная картина Комплексный чертеж z z П 2 В 2 В 3 н. в. В 2 р2 B В 3 р2 р3 р А 3 x А 2 x=const 3 П 3 А 2 р x O y 3 B 1 А 3 B 1 р1 A р1 П 1 А 1 x=cons y 1 y t Все точки прямой АВ равноудалены от профильной плоскости проекций П 3 и имеют одинаковую координату х (х= const). Горизонтальная А 1 В 1 и фронтальная А 2 В 2 проекции прямой перпендикулярны оси х. Профиль-ная проекция А 3 В 3 , углы и имеют натуральную величину

Горизонтально проецирующая прямая ( П 1) Пространственная картина Комплексный чертеж П 2 В 2 B н. в. А 2 x A x (А 1 ) B 1 П 1 Прямая перпендикулярна П 1 , поэтому ее горизонтальная проекция А 1 В 1 вырождается в точку. Относительно П 2 и П 3 прямая параллельна и изображается на этих плоскостях проекций в натуральную величину. Проекция А 2 В 2 перпендикулярна оси координат х

Фронтально проецирующая прямая ( П 2) Пространственная картина Комплексный чертеж П 2 (В 2 ) А 2 B x x н. в. B 1 A B 1 А 1 П 1 Прямая перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П 2 и парал- лельна П 1 и П 3. Фронтальная проекция А 2 В 2 вырождается в точку. На П 1 и П 3 прямая проецируется в натуральную величину. Проекция А 1 В 1 перпендикулярна оси координат х

Профильно проецирующая прямая ( П 3) Пространственная картина Комплексный чертеж z П 2 z B 2 А 2 (A 3) B 3 В 2 А 2 (А н. в. x 3 )В y 3 O x 3 B A н. в. B 1 А 1 П 3 B 1 А 1 y 1 П 1 y Прямая перпендикулярна П 3 , ее профильная проекция А 3 В 3 вырождается в точку. Относительно П 1 и П 2 прямая параллельна, на этих плоскостях ее проекции имеют натуральную величину. Горизонтальная и фронталь-ная проекции прямой перпендикулярны

Преобразование чертежа прямой общего положения.

Способ перемены плоскостей проекций П 2 П 4 П 2 В 4 П 4 П 1 В н. в. П 4 П 1=x 1 В 2 4 А 4 z П 4= z П 2 А 2 А z. А П А 2 Схема: z. А В 1 П 2 z. А x x П 1 x 1 А 1 x 1 П 1 П 4 А 1 z. А А 4 Заменим исходную фронтальную плоскость проекций П 2 на новую плоскость проекций П 4 , которой прямая АВ будет параллельна. При этом преобразовании расстояние точек от плоскости П 1 (координата z) остается неизменным

Способ перемены плоскостей проекций П 1 П 5 2 П 5 П 2 x 2 y. А А 5 н. в. П 5 П 2=x 2 П y П 5= В 5 5 y П 1 А 2 А Схема: y. А А 5 В 2 В П П 5 1 А 2 П 2 x 2 В 1 П 2 x x y. А А 1 П 1 y. А А 1 Заменим исходную горизонтальную плоскость проекций П 1 на новую плоскость проекций П 5 , которой прямая АВ будет параллельна. При этом преобразовании расстояние точек от плоскости П 2 (координата у) остается неизменным

Определение н. в. отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций (способ замены плоскостей проекций) Схема: А 2 П 2 z. А x B 2 П 1 x 1 П 1 П 4 А 1 z. А П 2 А 2 А 4 x П 1 B 1 А 1 П 1 А 4 x П 4 В 4 1 н. в. Ось х1 новой плоскости проекций П 4 проведем параллельно горизон-тальной проекции отрезка А 1 В 1. В этом преобразовании сохраняются z-координаты точек. На П 4 определяются натуральная величина отрезка и его угол наклона к плоскости проекций П 1

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций н. в. В 5 Схема: А 2 П 5 z. А x 2 П 2 А 5 П 2 x П 1 x 1 B 2 П 1 П 4 А 1 z. А П 2 А 2 А 4 x y. А А 5 П 1 B 1 П 5 А 1 А 2 П 2 x 2 П 2 П 1 x П 1 А 4 В 4 y. А x П 4 н. в. А 1 1 Ось х2 новой плоскости проекций П 5 проведем параллельно фронталь-ной проекции отрезка А 2 В 2. В этом преобразовании сохраняются y - координаты точек. На П 5 определяются натуральная величина отрезка и его угол наклона к плоскости проекций П 2

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Схема: i 2 В 2 А 2 А 2 н. в. П 2 x А 2 l 2 П 1 A 2 А 1 x А 1 i 1 А 1 B 1 l 1 A 1 Для упрощения горизонтально-проецирующую ось вращения l проводят через точку В, которая остается неподвижной. Точка А 1 описывает дугу окружности с центром в точке l 1 так, чтобы В 1 А 1 оси х. Тогда прямая АВ займет положение фронтали. На П 2 угол и отрезок АВ не искажаются

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Схема: i 2 В 2 А 2 А 2 н. в. П 2 x i 2 А 2 l 2 П 1 B 2 A 2 А 1 x А 1 i 1 А 2 н. в. А 1 А 2 B 1 l 1 x П 2 i 2 B 1 A 1 П 1 i 1 А 1 А 1 i 1 Для определения угла прямую АВ нужно вращать вокруг оси i П 2 до положения горизонтали. Ось проходит через точку А, которая неподвижна. Точка В 2 вращается по дуге окружности с центром в точке i 2 до положения В 2 А 2 оси х. На П 1 угол и отрезок АВ не искажаются

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Схема: В 2 А 2 А 2 Г 2 П 2 x А 2 П 1 А 1 x А 1 B 1 Данный отрезок АВ занимает общее положение, преобразуем его во фронтальную прямую уровня путем перемещения концов отрезка по горизонтальным плоскостям уровня согласно схемы

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Схема: В 2 B 2 Г 2 А 2 Г 2 н. в. П 2 Г x А 2 A 2 2 П 1 А 1 А 1 x А 1 B 1 В 1 A 1 Горизонтальную проекцию прямой (А 1 В 1 ) располагают параллель-но оси х. Фронтальную проекцию (определяющую н. в. отрезка и угла ) задают новые проекции точек А 2 и В 2 , расположенные на соответствую-щих следах горизонтальных плоскостей уровня Г(Г 2 ) и Г(Г 2 )

Определение натуральной величины отрезка и его углов наклона к плоскостям проекций Схема: В 2 B 2 Г 2 А 2 Г 2 н. в. А x П 2 B 2 А 2 A Г 2 П 1 2 А 1 x А 1 А 2 Ф 1 А 2 н. в. А 1 П 2 Ф 1 А 1 B 1 В 1 A 1 x П 1 Ф А 1 B 1 1 А 1 Для перевода прямой в положение горизонтали фронтальную проекцию прямой (А 2 2 А 2 В 2 ) располагают параллельно оси х. Новые проекции точек В А 1 и В 1 расположены на соответствующих следах фронтальных плоскостей уровня Ф(Ф 1 ) и Ф (Ф 1 ). На П 1 имеем н. в. отрезка и угла

Взаимное положение двух прямых Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку АВ СD = K(К 1 , К 2) П 2 А 1 В 1 С 1 D 1 = D 2 В 2 K 2 В 2 А 2 В 2 С 2 D 2 = K 2 K 1 B А 2 C 2 А 2 C 2 K x x C AC D 1 B 1 А 1 K B 1 А 1 K 1 D 1 П 1 D 1 Точка пересечения К прямых АВ и СD проецируется в точки пересече- ния соответствующих проекций прямых: на П 1 - это точка К 1 ; на П 2 - точка К 2. Точки пересечения К 1 и К 2 одноименных проекций прямых лежат на одной линии связи

Взаимное положение двух прямых Параллельные прямые не имеют общих точек П 2 m n m 2 n 2 m 1 n 2 n 1 m 2 n m n 2 x x n 1 m 1 П 1 Проекции параллельных прямых не пересекаются. Одноименные проекции прямых параллельны или совпадают, если параллельные прямые лежат в проецирующей плоскости

Взаимное положение двух прямых Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны между собой (12 ) 22 m П 2 m n m 2 (12 ) 22 2 n 2 m m 1 n 2 n 1 2 m 2 x n 2 x n m 1 11 m 11 n 1 21 1 21 П 1 Проекции скрещивающихся прямых могут быть параллельны, т. к. пря- мые m и n лежат в параллельных плоскостях. Проекции скрещивающихся прямых могут иметь пересечение, т. к. прямые m и n не параллельны меж-ду собой. 1 и 2 – конкурирующие точки,

Теорема о проецировании прямого угла Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения B Дано: A C =90 B 1 АВ П 1 ; BC А 1 C 1 y П 1 М Доказать: 1 x N 1 1 = =90 П 1 Для доказательства продолжим сторону угла АВ до пересечения с ее проекцией А 1 В 1 в точке М 1. Через точку М 1 проведем прямую М 1 N 1 В 1 C 1. Т. к. BC П 1 , то BC В 1 С 1. Значит, М 1 N 1 ВС и BM 1 N 1 =90 . По

Теорема о проецировании прямого угла Дано: b h = 90 b 2 Если на чертеже есть изображение прямого h 2 угла, то одна из его x сторон обязательно h 1 натуральная величина н. в. b 1

Теорема о проецировании прямого угла Задача: C 2 н. в. Построить проекции перпендикуляра, f 2 проведенного из D 2 точки С к прямой f x C 2 D 2 f 2 С 1 f 1 D 2 D 1 D 1 C 1 Прямая f является фронталью и проецируется на П 2 в натуральную величину. Следовательно, фронтальная проекция перпендикуляра С 2 D 2 перпендикулярна фронтальной проекции прямой f. Определяем основа- ние перпендикуляра – точку D. Строим горизонтальную проекцию С 1 D 1

Метрические задачи Задача 1. Определить расстояние от точки А до прямой l способом перемены плоскостей проекций l 2 1. П 4 П 1 А 2 П 4 l П 2 x П l 1 1 А 1 П А 4 l 4 x 1 П 4 н. в. 1 К 4 Искомое расстояние есть перпендикуляр. Введем новую плоскость проекций П 4 параллельно прямой l так, чтобы прямая заняла частное положение уровня. По теореме о проецировании прямого угла проекция искомого расстояния А 4 К 4 l 4 определяется на плоскости проекций П 4

Метрические задачи Задача 1. Определить расстояние от точки А до прямой l способом перемены плоскостей проекций К 2 l 2 А 5 1. П 4 П 1 А 2 П 4 l П 2 н. в. x П l 1 l 5 К 5 2. П 5 1 А 1 П 5 П 4 К 1 П 4 x АК- 5 l П П А 4 l 4 2 искомое x 1 П 4 н. в. расстоян 1 К 4 ие При втором преобразовании введем новую плоскость проекций П 5 перпендикулярно прямой l так, чтобы прямая заняла проецирующее положение. На П 5 определяем натуральную величину А 5 К 5 перпендикуляра АК