Лекция 2 Предел функции в точке по Коши

Лекция 2. Предел функции в точке по Коши Предел функции в точке по Гейне Односторонние пределы Предел функции при х стремящемся к бесконечности Основные теоремы о пределах Вычисление пределов Раскрытие неопределенности вида 0/0 Раскрытие неопределенности вида ∞/∞ 1

Предел функции в точке по Коши Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, кроме, быть может самой точки x 0. Число А называют пределом функции в точке x 0 (или при ), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x 0 справедливо неравенство: 2

ε окрестность точки А y А 0 х0 х δ окрестность точки x 0 Геометрический смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки x 0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2ε, ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε. 3

Предел функции в точке по Гейне Число A ℝ называется пределом функции f(x) при x стремящемся к x 0, если для любой последовательности {xn} значений аргумента, стремящейся к x 0, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к A . 4

Односторонние пределы В определении предела функции предполагается, что x стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньше, чем x 0 (слева от x 0), большим, чем x 0 (справа от x 0), или колеблясь около точки x 0. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x 0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов. Число А 1 называют пределом функции слева в точке x 0, если для любого ε > 0 найдется такое δ >0, что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так: 5

Число А 2 называют пределом функции справа в точке x 0, если Предел справа записывают так: Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами. y А 2 А 1=А 2=А А 1 0 Очевидно, если существует х0 х то существуют и оба односторонних предела, причем А = А 1 = А 2 6

Предел функции при x стремящемся к бесконечности Пусть функция y = f(x) определена в промежутке Число А называют пределом функции при Геометрический смысл этого определения таков: существует такое число М, что при х > M или при x < - M точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми: у=А+ε, у=А-ε. . , если y А 0 х М 7

Основные теоремы о пределах Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций. Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением: . Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов: Предел произведения двух функций равен произведению пределов: Постоянный множитель можно выносить за знак предела: 8

Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: Предел показательно – степенной функции: 9

Если между соответствующими значениями трех функций выполняются неравенства: при этом: тогда: Если функция f(x) монотонна и ограничена при x < x 0 или при x > x 0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правый предел: 10

Вычисление пределов Вычисление предела: начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x). Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу. Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения вида: то предел будет равен: 11

Часто при подстановке предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов: Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности. 12

Раскрытие неопределенности вида Пример 1. Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби 13

Пример 2. Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю. 14

Раскрытие неопределенности вида Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени 15