Лекция 2: Позиционные задачи Учебные вопросы: Вопрос 1. Принадлежность точки и линии плоскости и поверхности. Вопрос 2. Параллельность на чертеже. Вопрос 3. Пересечение прямой с плоскостью и пересечение двух плоскостей. Вопрос 4. Пересечение поверхностей.
Вопрос 1: Принадлежность точки и линии плоскости и поверхности. В литературе задачи о принадлежности часто относят к позиционным задачам. Можно выделить три разновидности задач о принадлежности, из которых следует: 1. Определить, принадлежит ли данная точка линии, поверхности или плоскости. 2. По заданной проекции точки или линии определить вторую, а иногда и третью проекцию либо точки, принадлежащей линии, плоскости или поверхности, либо линии, принадлежащей плоскости или поверхности. 3. Задать произвольную точку, принадлежащую заданной ли нии, поверхности, плоскости, либо задать произвольную ли нию, принадлежащую заданной поверхности или плоскости. Любая из разновидностей задач о принадлежности решается, в принципе, исходя из одних и тех же соображений. Рассмотрим подробнее возможные виды принадлежности и способы решения связанных с ними задач.
Вопрос 1: Принадлежность точки и линии плоскости и поверхности. А. Принадлежность точки линии. Основное положение в этом случае таково: точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой (рис. 17). На рис. 17 точка С принадлежит прямой АВ, а точка D АВ не принадлежит.
Вопрос 1: Принадлежность точки и линии плоскости и поверхности. Б. Принадлежность точки поверхности. Основное положение при решении задач для этого варианта принадлежности следующее: точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности. В этом случае линии надо выбирать наиболее простыми, чтобы легче было построить проекции такой линии, затем использовать то обстоятельство, что проекции точки, лежащие на поверхности, должны принадлежать одноименным проекциям линии этой поверхности.
Вопрос 1: Принадлежность точки и линии плоскости и поверхности. Пример 1. Определить, принадлежит ли точка С поверхности конуса (рис. 18).
Вопрос 1: Принадлежность точки и линии плоскости и поверхности. Здесь есть два пути решения, поскольку можно провести две простейших линии, принадлежащих конической поверхности. В первом случае — проводится прямая линия образующая конической поверхности S 1 так, чтобы она проходила через какую либо заданную проекцию точки С. Тем самым предполагаем, что точка С принадлежит образующей S 1 конической поверхности, а следовательно самой конической поверхности. В этом случае одноименные проекции точки С должны лежать на соответствующих проекциях этой образующей. Другая простейшая линия окружность с диаметром 1 -2 (радиус этой окружности отсчитывается от оси конуса до очерковой образующей). Этот факт известен еще из школьного курса геометрии: при пересечении кругового конуса плоскостью, параллельной его основанию, или перпендикулярной к его оси, в сечении будет получаться окружность. Второй способ решения позволяет найти недостающую проекцию точки С, заданной своей фронтальной проекцией, принадлежащей поверхности конуса и совпадающей на чертеже с осью вращения конуса, без построения третьей проекции. Всегда следует иметь в виду, видима или не видима точка, лежащая на поверхности конуса (в случае, если она не видна, соответствующая проекция точки будет заключена в скобки). Очевидно, что в нашей задаче точка С принадлежит поверхности, поскольку проекции точки принадлежат одноимённым проекциям линий, использованных для решения как при первом, так и при втором способе решения.
Вопрос 1: Принадлежность точки и линии плоскости и поверхности. В. Принадлежность линии поверхности. Основное положение: линия принадлежит поверхности, если все тс линии принадлежат заданной поверхности. Это означает, что в данном случае принадлежности должна быть несколько раз решена задача о принадлежности точки поверхности. Г. Принадлежность прямой плоскости Что касается принадлежности прямой плоскости, то здесь справедливы высказанные выше соображения относительно принадлежности к поверхности, с тем лишь условием, что для плоскости простейшей линией всегда является прямая, а положение прямой в пространстве однозначно определяется положением двух принадлежащих ей точек.
Вопрос 1: Принадлежность точки и линии плоскости и поверхности. Пример 2. Задать произвольную точку К, принадлежащую плоскости, Пример 2 заданной двумя пересекающимися прямыми а и b (рис. 19). Решение. Можно взять какую либо точку К, провести через нее прямую m, про которую точно можно сказать, что она принадлежит заданной плоскости, а потом определить вторую проекцию первоначально заданной произвольной точки. Можно сразу провести произвольную прямую плоскости, а затем определить положение произвольной точки плоскости, задав соответствующие проекции этой точки, принадлежащие проведенной прямой.
Вопрос 2: Параллельность на чертеже Общий признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой либо прямой этой плоскости. Общий признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны между собой. Применение этих признаков рассмотрим на примерах решения двух задач.
Вопрос 2: Параллельность на чертеже Применение этих признаков рассмотрим на примерах решения двух задач. Задача 1. Через точку К провести плоскость, параллельную прямой m (рис. 20)
Вопрос 2: Параллельность на чертеже Задача 2. Через точку К провести плоскость Σ, параллельную плоскости Г(n Задача 2 m) (рис. 21).
Вопрос 2: Параллельность на чертеже
Вопрос 3: Пересечение прямой с плоскостью и пересечение двух плоскостей. Как в геометрической, так и в конструкторской практике большое число решений относится к задачам о пересечении геометрических образов или геометрических тел. Ввиду их особой важности, задачи о пересечениях называют главными позиционными задачами (ГПЗ). Из всего разнообразия возможных при этом вариантов можно выделить две разновидности ГПЗ: - 1 ГПЗ: пересечение линий и поверхностей; - 2 ГПЗ: пересечение поверхностей. Очевидно, что сказанное о двух ГПЗ характеризует самый общий вариант для каждой из задач и подразумевает, что понятие каждого из компонентов пересечения (линия, поверхность) включает в себя все возможные его варианты. Так, к 1 ГПЗ относятся пересечения: - прямой линии и плоскости; - прямой линии и поверхности; - кривой линии и плоскости; - кривой линии и поверхности (в общем случае). Ко 2 -й ГПЗ относятся пересечения: - плоскостей; - плоскости и поверхности; - поверхностей.
Вопрос 3: Пересечение прямой с плоскостью и пересечение двух плоскостей. Сущность всякой задачи на пересечение состоит в определении общего элемента, который будем называть искомым геометрическим образом. Очевидно, в 1 й ГПЗ это - точка или несколько (конечное число) точек (рис. 22). Во 2 -й ГПЗ искомым геометрическим образом является линия (рис. 23).
Вопрос 3: Пересечение прямой с плоскостью и пересечение двух плоскостей.
Вопрос 4: Пересечение поверхностей. Заметим, что в случае, когда обе пересекающиеся поверхности вращения, оси которых пересекаются в одной точке, а плоскость, образованная их осями вращения, параллельна какой либо плоскости проекций, в качестве посредников целесообразно использовать сферические поверхности с общим центром в точке пересечения осей заданных поверх ностей вращения.
Скачать презентацию Лекция 2 Позиционные задачи Учебные вопросы Вопрос 1
Л_2_Нач_геом.ppt