Лекция 2 Ортогональные проекции прямой линии

Лекция 2. Ортогональные проекции прямой линии • • Способы задания прямой линии Прямые общего положения Прямые частного положения Нахождение натуральной величины прямой общего положения способом прямоугольного треугольника • Относительное положение прямых Лектор: Стриганова Л. Ю.

Прямая линия – кратчайшее расстояние между двумя точками Задание прямой линии: 1. Аналитическим способом 2. Графическими способами

Графические способы задания прямой линии 1 способ. Изображением проекций отрезков прямых линий: A 1 B 1, A 2 B 2 или проекциями прямых: (а 1, а 2) B 2 С 2 а 1 С 1 а 2 B 1

Координатами концов отрезка прямой А(x, y, z), В(x, y, z) 2 способ. Z В 2 А 2 X А 1 В 1 Y

3 способ. Натуральной величиной отрезка прямой IABI и углами наклона (f и y ) к плоскостям проекций П 1, П 2, П 3 Угол наклона прямой линии к фронтальной плоскости X проекций y называется пси IАВI А 2 А 1 Z В 2 Угол наклона прямой линии к горизонтальной плоскости проекций f называется фи f В 1 y

4 способ. Задание прямой ее следами • Следом прямой линии называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций У прямой линии может быть три следа, которые образуются при пересечении с горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостями

Построение следов F 2 Ξ F В 2 Z П 2 Z А 2 В 2 А 2 H 2 F 2ΞF F 1 B А X F 1 H 1ΞH H 2 X А 1 П 3 В 1 А 1 В 1 HΞ H 1 Y Y Точка F - фронтальный след прямой АВ. УF=0 Точка H - горизонтальный след прямой АВ. ZН =0

Правило построения следов прямой • Для построения фронтального следа (М) прямой (а) необходимо М 2 ≡ М продолжить горизонтальную проекцию а 2 прямой (а 1) до ее пересечения с осью ОХ и из этой точки (Мх) Мх восстановить а 1 перпендикуляр до его пересечения с фронтальной проекцией Фронтальная проекция М 2 следа прямой совпадает с самим следом прямой.

Правило построения следов прямой • Для построения горизонтального следа (N) прямой (а) необходимо а 2 продолжить фронтальную проекцию прямой (а 2) до Nх ее пересечения с осью ОХ и из этой точки (Nх) а 1 восстановить перпендикуляр до его пересечения с N 1≡ N горизонтальной проекцией прямой. Горизонтальная проекция N 1 следа прямой совпадает с самим следом

Прямые в пространстве могут занимать общее и частное положение • Прямые общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций • Прямые частного положения либо параллельны, либо перпендикулярны плоскостям проекций

Прямые линии общего положения а 2 а 1 в 2 в 1 с2 с1

Прямые линии частного положения • прямые перпендикулярные плоскостям проекций - проецирующие прямые • прямые параллельные плоскостям проекций – линии уровня

Прямые частного положения перпендикулярные плоскостям проекций 1. Проецирующие прямые Горизонтально-проецирующая прямая Z А 2 Z AB ┴ А B 2 X B IА 2 В 2 I = I АВ I B 2 О X О А 1 Ξ B 1 Y А 1 Ξ B 1 П 1 Y

Фронтально-проецирующая прямая Z Z C 2ΞD 2 C 2Ξ D 2 D CD ┴ П 2 C X О X D 1 I C 1 D 1 I = I CD I D 1 C 1 Y

Прямые частного положения параллельные плоскостям проекций 2. Прямые уровня горизонтальная прямая, горизонталь h А 2 В 2 Z AВ II П 1 ZА=ZB X y А 1 IА 1 В 1 I = IАВI АВ П 2=А 1 В 1 OX= y В 1 Y

фронтальная прямая, фронталь f D 2 C 2 Z f CD II П 2 УС = Y D IС 2 D 2 I = ICDI CD П 1= С 2 D 2 OX=f X C 1 D 1 Y

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ДЛИНА ОТРЕЗКА РАВНА ГИПОТЕНУЗЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ОДИН КАТЕТ КОТОРОГО РАВЕН ПРОЕКЦИИ ОТРЕЗКА, А ДРУГОЙ – РАЗНОСТИ КООРДИНАТ КОНЦОВ ОТРЕЗКА ОТ ЭТОЙ ЖЕ ПЛОСКОСТИ

Z Z = ZB – ZA П 2 В 2 В X А 2 ΔZ П 3 А 2 ΔZ f X В 1 АΞА 1 А 1 В 1 В* В 1 ΔZ IABI Z П 1 Y АΞА 1 f IABI ΔZ В* Y

IАВ I Z В 2 А* y А 2 I ΔY I X В 1 ΔY А 1 ΔY= YA- YB f IАВ I В* Y

• Построить проекции отрезка АВ (ввести отрезок в систему отсчета). А(15, 10, 20) • IАВI= 50 мм; п 1 = 30 °; п 2= 45°; X А

Относительное положение прямых Прямые в пространстве могут быть расположены: 1. Параллельно 2. Перпендикулярно 3. Пересекаться 4. Скрещиваться

Параллельные прямые Проекции параллельных прямых параллельны Z a II b => a 1 II b 1 а 2 X a II b => a 2 II b 2 a 1 b 1 Y

Перпендикулярные прямые Z a 2 b 2 a II П 1 O X a 1 b 1 Y a ┴ b => a 1 ┴ b 1

Пересекающиеся прямые Z a 2 К 2 b 2 X a b =>a 1 b 1 =K 1 a b =>a 2 b 2=K 2 b 1 К 1 Y

Скрещивающиеся прямые a Скрещивающиеся прямые лежат в разных плоскостях. Точки скрещивания прямых называются конкурирующими точками. • b Z a 2 b 2 А 2 В 2 X a 1 b 1 А 1≡В 1 Y Точка А выше точки В относительно горизонтальной плоскости проекций, поэтому ее горизонтальная проекция А 1 видима