ЛЕКЦИЯ 2 Определители и их свойства М. М.

ЛЕКЦИЯ 2 Определители и их свойства М. М. Воронина

Определитель квадратной матрицы

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МАТРИЦ 1 -го и 2 -го ПОРЯДКОВ 3

Пример , . , По определению

Определитель матрицы III порядка

Схема для запоминания

Пример

Предварительные определения + Дополнительной матрицей элемента aij матрицы Аn называется матрица порядка n-1 (Аn-1), полученная из исходной вычеркиванием строки и столбца, содержащих элемент aij. 1. Минором ij элемента aij матрицы Аn называется - определитель дополнительной матрицы этого элемента. 2. Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы Аn называется число ij =(-1)i+j ij

Пример Дана матрица 12= . , 12=(-1)1+2 12 = -21 Найти 12 .

Основное определение

Пример

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕУГОЛЬНОЙ МАТРИЦЫ РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ 12

Свойства определителей 1. При транспонировании определитель матрицы не изменяется det. AT=det. A

2. Если поменять местами любые две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы изменит свой знак.

3. Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю

4. Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя

5. Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

6. Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю

7. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме определителей.

8. При добавлении к элементам любой строки (столбца) соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на постоянное число, определитель не изменится.

9. Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

10. Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю

замечание Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей

Вычисление определителя. При n 3 используем свойства 8 и 9. Свойство 9 позволяет вычислять определитель любого порядка, путем разложения его по элементам строки (столбца), которая содержит наибольшее число нулей. Если нулей нет, то свойство 8 позволяет их получить.

Пример: найти определитель матрицы 4 порядка

Раскладываем полученный определитель по элементам его первого столбца.

Умножим элементы 3 -го столбца полученного определителя на (-1) и сложим их с элементами 2 -го столбца Раскладываем по элементам первой строки