Лекция 2 Матрицы Основные понятия и определения Умножение

Лекция 2 Матрицы. Основные понятия и определения. Умножение матриц на число, сложение и вычитание матриц. Умножение матриц, свойства умножения. Матричный способ решения систем линейных уравнений.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n- столбцов. Обозначение А, В, С… Квадратной называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц. где i=1, …. m , j = 1, …. n.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором. Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы равны нулю.

Действия с матрицами 1) Сложение матриц Результатом сложения двух матриц является матрица, каждый элемент которой представляется собой сумму соответствующих элементов матриц. Складываются только матрицы одинаковой размерности. Не имеет смысла

а) А+В = В+А - переместительное свойство б) (А + В) + С = А + (В + С) – сочетательное свойство 2) Умножение матриц на число Результатом умножения матрицы на число является матрица, каждый элемент которой умножен на это число. λ • А = С, где cij=λ • aij

3) Умножение матриц например

В результате перемножения 2 -х матриц получаем матрицу, содержащую столько строк, сколько их имеет матрица множимое, и столько столбцов, сколько их имеет матрица – множитель. а) для доказательства свойства достаточно привести пример

б) в) Единичной матрицей называется такая квадратная матрица, диагональные элементы которой равны единицы, а остальные равны нулю.

Для единичной матрицы Е справедливо следующее свойство: Пример:

Обратная матрица Если А – квадратная матрица, то обратной для нее называется матрица А-1: Теорема: Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденная, т. е. ее определитель не равен нулю

Доказательство (необходимость). Предположим, что для матрицы А существует обратная. Покажем, что в этом случае А должна быть невырожденной, т. е. Действительно, если бы то Но это невозможно, т. к. из определения обратной матрицы следует

Доказательство (достаточность) Для простоты проведем доказательство для матрицы III-го порядка Пусть Составим матрицу В

Составим Покажем, что - транспонированную матрицу. - есть обратная матрица А

Рассмотрим произведение 1 -ой строки на 1 -й столбец Что и требовалось показать

Пример 1. Дана матрица Найти обратную матрицу. 1. Вычисляем определитель матрицы А:

2. Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

Следовательно, Обратная матрица.

Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными. Пусть дана система трех уравнений с тремя неизвестными.

Введем следующие обозначение Очевидно, что (*) - это матричное уравнение системы. Умножим обе части (*) на матрицу.

Пример 2 Решить систему уравнений представив ее в виде матричного уравнения.

Перепишем систему в виде АХ=В, где Решение матричного уравнения имеет вид. Найдем. Имеем

Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя: Таким образом,

Следовательно,

Ранг матрицы Рассмотрим матрицу Выделим в матрице А произвольные строк и столбцов. Минором -го порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы, получающейся из данной матрицы выделением произвольных строк и столбцов. Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров.