ЛЕКЦИЯ № 2 МАТРИЦЫ
Определение 1. Матрицей размерности (m x n) называется таблица чисел из m строк и n столбцов Пример 1. Элементы матрицы
Определение 2. Если размер матрицы n x n, то матрица называется квадратной. Определение 3. В квадратной матрице элементы образуют главную диагональ.
Определение 4. Матрица, у которой все элементы, кроме диагональных равны нулю называются диагональной матрицей.
Определение 5. Диагональная матрица, у которой называется единичной матрицей Определение 6. Две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах стоят равные элементы.
Действия с матрицами • I. Сложение и вычитание матриц (если они одинаковой размерности)
• II. Умножение матрицы на число
Пример 2.
III. Умножение матриц А·В = (сij), где Замечание 1. Число столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В. Замечание 2. Умножение матриц не обладает переместительным свойством.
Пример 3.
Пример 4. Найти C·D из примера 2.
Элементарные преобразования строк матрицы • 1) Перестановка двух любых строк. • 2) Замена любой строки суммой этой строки и любой другой строки (вспомогательной), умноженной на какое-либо число. • 3) Умножение строки на ненулевое число.
Определение 7. Опорным элементом строки называется первый слева ненулевой элемент строки. Определение 8. Матрица называется ступенчатой, если: 1) за нулевой строкой следуют только нулевые строки 2) опорный элемент в каждой последующей строке расположен правее, чем в предыдущей.
Теорема. Любая матрица может быть приведена к ступенчатой с помощью элементарных преобразований. Пример 6.
Определение 9. Рангом матрицы r(A) называется число ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы. В примере 6 r(A)=2
• Определение 10. Ступенчатая матрица имеет вид Гаусса, если: 1) все ее опорные элементы равны 1 2) над опорными элементами стоят 0 Пример 7. Привести матрицу к виду Гаусса.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА • Вариант 1 • Вариант 2 Найти 2 А-В Найти 3 А+2 В.