ЛЕКЦИЯ 2 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 2 1

ЛЕКЦИЯ 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 2. 1 Электрическое поле в веществе

Микрополе в веществе Предположим, что некоторое тело находится во внешнем электрическом поле. Микрополе – вектор напряженности Emicro электрического поля, которое существует в данной точке тела в данный момент времени и представляет собой сумму напряженностей внешнего поля и поля всех заряженных частиц (электронов, атомных ядер), из которых состоит тело. Свойства микрополя: 1. Микрополе быстро изменяется с течением времени вследствие хаотического движения заряженных частиц. 2. Величина микрополя достигает огромных значений близи мест локализации заряженных частиц, т. е. микрополе пространственно неоднородно на расстояниях порядка атомных размеров. 3. Измерение/вычисление микрополя не возможно на практике.

Макрополе в веществе Знание микрополя не является необходимым при решении задачи макроскопической электродинамики. Поэтому в дальнейшем, говоря о напряженности E электрического поля в веществе будем иметь в виду усредненное по времени и по бесконечно малому объему микрополе: Поле E, определяемое этим выражением, называют макрополем. Физически бесконечно малый объем тела – такая часть занятого телом пространства, линейные размеры которой много больше размеров атома, но много меньше характерных расстояний, на которых изменяется поле E

Электростатическая индукция При внесении любого вещества в электрическое поле в веществе происходит смещение положительных и отрицательных зарядов (ядер и электронов), т. е. частичное разделение зарядов. Электростатическая индукция – явление, при котором в разных частях вещества появляются нескомпенсированные заряды разных знаков при помещении этого вещества во внешнее электрическое поле. Заряды, появившиеся в результате электростатической индукции, называют индуцированными зарядами.

Результирующее поле в веществе Таким образом, результирующее поле в веществе определяется как суперпозиция внешнего поля индуцированных зарядов: E = E 0 + Eind. Однако во многих случаях возникают сложности с определением поля Eind индуцированных зарядов, поскольку их распределение в пространстве во многих случаях неизвестно. Как будет показано далее, распределение индуцированных зарядов зависит от свойств самого вещества – от его физической природы и формы.

Проводники и диэлектрики В проводниках имеются свободные заряженные частицы – носители электрического тока (например, электроны в металлах), которые в пределах тела могу перемещаться на любые расстояния. В диэлектриках свободных заряженных частиц нет; под действием внешнего электрического поля электроны, атомные ядра, ионы в диэлектрике могу смещаться на расстояния порядка размеров атома.

ЛЕКЦИЯ 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 2. 2 Поле внутри и снаружи проводника

Свойства проводников в электрическом поле 1. На поверхности проводника, помещенного в электрическое поле, возникают макроскопические положительные и отрицательные индукционные заряды. Их появление обусловлено пространственным разделением имеющихся в веществе свободных зарядов, которые в отсутствии поля компенсируют друга.

Свойства проводников в электрическом поле В металлах свободные электроны смещаются в направлении, противоположном вектору напряженности E 0 внешнего электрического поля. В результате атомы вещества теряют часть отрицательного заряда. Таким образом, на поверхности проводника появляются макроскопические отрицательные и положительные заряды.

Свойства проводников в электрическом поле 2. Напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю (E = 0); объемная плотность макроскопических зарядов внутри проводника также равна нулю ( = 0).

Свойства проводников во внешнем электрическом поле Доказательство. Проводники обладают большим запасом свободных зарядов – носителей электрического тока. Если бы напряженность электрического поля внутри проводника была отлична от нуля, то под действием этого поля свободные заряды начали бы упорядоченное движение – в проводнике бы потек электрический ток, что, на самом деле, не наблюдается. Из теоремы Гаусса для вектора E (div. E = / 0 следует, что при выполнении условия E = 0, объемная плотность заряда также равна нулю: = 0). Таком образом, макроскопические заряды внутри проводника отсутствуют.

Свойства проводников в электрическом поле 3. Потенциал электрического поля во всех точках проводника одинаков. Объем проводника является эквипотенциальным объемом, а его поверхность – эквипотенциальной поверхностью. Доказательство. Разность потенциалов в двух произвольно выбранных точках проводника численно равна работе сил поля, совершаемой при перемещении единичного положительного заряда из одной точки в другую: А поскольку напряженность электрического поля E в проводнике равна нулю, то 1 – 2 = 0, или 1 = 2. Таким образом, потенциал во всех точках проводника одинаков.

Потенциал электрического поля внутри проводника

Электрическое поле системы из двух проводников На рисунке показано поле для системы из двух проводящих шаров, один из которых (левый) заряжен. Вследствие электростатической индукции на поверхности правого шара возникают индукционные заряды, которые, в свою очередь вызывают перераспределение зарядов левого шара – искажают его поле.

Свойства проводников в электрическом поле Вектор напряженности E электрического поля снаружи проводника в непосредственной близости от его поверхности перпендикулярен к этой поверхности. Модуль вектора напряженности равен Здесь - поверхностная плотность заряда. Доказательство. Ранее было сказано, что вектор E напряженности электрического поля перпендикулярен эквипотенциальной поверхности. А поскольку поверхность проводника таковой является, то E перпендикулярен ей.

Свойства проводников в электрическом поле Теперь найдем величину вектора E снаружи расположенного в вакууме проводника вблизи его поверхности. Поскольку линии вектора E перпендикулярны поверхности проводника, возьмем в качестве гауссовой поверхности небольшой цилиндр, основания которого параллельным поверхности проводника и расположены по разные стороны от нее. Найдем поток вектора E через поверхность цилиндра.

Свойства проводников в электрическом поле Поскольку электрическое поле внутри проводника отсутствует, то поток вектора E через поверхность цилиндра равен потоку через его наружное основание: Здесь En – проекция вектора E на внешнюю по отношению к проводнику нормаль n, S – площадь сечения цилиндра, – локальная поверхностная плотность заряда на проводнике.

Свойства проводников в электрическом поле Если > 0, то и En > 0, т. е. вектор E направлен от поверхности проводника – совпадает по направлению с вектором нормали n. Если же < 0, то En < 0 – вектор E направлен к поверхности проводника. Из данного равенства не следует, что E вблизи поверхности проводника зависит только от локальной плотности заряда. Это не так. Напряженность E определяется всеми зарядами рассматриваемой системы, как и само значение .

ЛЕКЦИЯ 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 2. 3 Сила, действующая на поверхность проводника

Постановка задачи Найдем силу, действующую на единицу площади поверхности проводника. Рассмотрим небольшой участок поверхности проводника площадью S. Поверхностная плотность заряда на этом участке, вследствие его малости, постоянна и приблизительно равна . Напряженность электрического поля вблизи этой площадки: E = ( / 0)n.

Сила, действующая на единицу поверхности заряженного проводника Представим вектор E как сумму: E = E 0 + E S. Здесь E S – напряженность поля, создаваемая заряженной площадкой S; E 0 – напряженность поля, создаваемая всей заряженной поверхностью, кроме площадки S. Вследствие малости площадки S, E S можно найти как напряженность поля бесконечной плоскости:

Сила, действующая на единицу поверхности заряженного проводника Поле E 0 можно рассматривать как внешнее по отношению к площадке S, на которой расположен заряд S. Сила, действующая на площадку S: Тогда на единицу площади поверхности проводника действует сила:

Выводы Из полученной формулы следует, что, независимо от того, является ли заряд поверхности проводника положительным или отрицательным (т. е. независимо от знака ), сила F, приложенная к поверхности проводника, направлена наружу – вдоль вектора нормали n Если поверхность проводника заряжена, то приложенные к ней силы стремятся растянуть проводник так, чтобы увеличить его объем.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 2. 4 Уравнения Пуассона и Лапласа

Вывод уравнения Пуассона Пусть распределение объемной плотности электрического заряда в пространстве описывается функцией (x, y, z). Поставим задачу – найти потенциал (x, y, z) электростатического поля в любой точке пространства, создаваемый этими зарядами. Воспользуемся теоремой Гаусса в дифференциальной форме и формулой связи между напряженностью E электрического поля и потенциалом:

Уравнение Пуассона Подставим компоненты Ex, Ey, Ez в первое уравнение, получим: Это уравнение называется уравнением Пуассона. В случае, когда = 0, оно переходит в уравнение Лапласа: Решение этих уравнение позволяет по заданному распределению (x, y, z) объемной плотности заряда в пространстве найти потенциал электростатического поля (x, y, z), а затем, при необходимости рассчитать поле E

Теорема единственности В теории доказывается, что такая задача имеет единственное решение. Это утверждение называют теоремой единственности. С физической точки зрения этот вывод очевиден: если решение не одно, то при заданном распределении зарядов в пространстве картина силовых линий и эквипотенциальных поверхностей будет неоднозначной – физический абсурд. Решение уравнение Пуассона и Лапласа – задача сложная и кропотливая. Аналитические решения этих уравнений получены лишь для немногих частных случаев. Однако, использование теоремы единственности весьма облегчает решение электростатических задач: если решение задачи удовлетворяет уравнению Лапласа/Пуассона и граничным условиям, то можно утверждать, что оно является правильным и единственным – независимо от способа его нахождения.

Оператор Лапласа С помощью оператора Лапласа , который представляет собой скалярное произведение оператора набла самого на себя уравнения Пуассона и Лапласа записываются в компактной форме:

ЛЕКЦИЯ 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 2. 5 Свойства замкнутой проводящей оболочки. Теорема Фарадея

Теорема Фарадея (1 часть) Пусть внутри проводника, помещенного во внешнее электрическое поле, имеется полость; проводник при этом может быть заряженным. Теорема Фарадея: электрическое поле внутри расположенной в проводнике полости отсутствует, т. е. напряженность E во всех точках полости равна нулю.

Теорема Фарадея (1 часть) Доказательство. Докажем это утверждение с помощью теоремы Пуассона: = – / 0 (здесь – потенциал электростатического поля, – объемная плотность заряда. Поскольку электрических зарядов внутри полости нет, т. е. = 0, то уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа: = 0. Граничные условия, при которых решение уравнения Лапласа в данной задаче единственно, состоит в том, что потенциал постоянен на стенках полости: ст = const = C. Допустим, что во всех точках внутри полости ст = C. Поскольку это значение удовлетворяет уравнению Лапласа, а также граничным условиям к нему, то оно единственно. Итак, потенциал электрического поля во всех точках полости одинаков. Из равенства E = – grad = –grad. С следует, что E = 0 (напряженность электрического поля внутри полости равна нулю).

Теорема Фарадея (2 часть) Пусть в полости, расположенной внутри проводника, имеется точечный заряд q Суммарный заряд на стенках полости обозначим qст. Заряд стенок складывается из стороннего заряда, помещенного на проводник извне, и заряда, индуцированного на стенках полости полем заряда q. Будем считать q > 0.

Теорема Фарадея (2 часть) Теорема Фарадея: а) суммарная напряженность электрического поля зарядов q и qст во всем пространстве вне полости равна нулю; б) заряд на стенках полости равен по величине и противоположен по знаку заряду q, расположенному внутри полости: qст = – q.

Теорема Фарадея (2 часть) Докажем пункт а теоремы. Пусть сначала все пространство вне полости заполнено проводником. Макроскопических зарядов внутри проводника нет, поэтому поле в любой точке пространства порождается только зарядами q и qст. В проводнике E = 0. Это означает, что заряды q и qст, рассматриваемые совместно, создают такое поле, что его напряженность во всем пространстве вне полости равна нулю

Теорема Фарадея (2 часть) Частично удалим электрически нейтральный проводник из окружающего полость пространства так, чтобы получилась конфигурация, показанная на рисунке. Это удаление не должно вызвать никаких изменений в распределении зарядов на стенках полости и, следовательно, не должно привести к изменению порождаемого зарядами q и qст, поля. Таким образом, суммарное поле этих зарядов равно нулю.

Теорема Фарадея (2 часть) Утверждение б докажем с помощью теоремы Гаусса: найдем поток вектора E через расположенную внутри проводника замкнутую поверхность S, охватывающую полость с зарядом q: т. к. E = 0 внутри проводника. Поэтому qст = – q.

Замечание Утверждение теоремы Фарадея о том, что напряженность E электрического поля вне полости равна нулю, не означает, что внешнее поле Eвнеш проводника вообще отсутствует. Поле Eвнеш создается зарядами qвнеш, расположенными на внешней поверхности проводника. Заряд qвнеш складывается из стороннего заряда, помещенного на проводник извне, и индукционного заряда, возникающего под действием поля расположенного в полости заряда q.

Пример В случае, если проводник, в котором имеется полость с зарядом q, электрически нейтрален, т. е. qвнеш + qст = 0, то qвнеш = – qст = q. Это означает, что заряд на внешней поверхности проводника равен заряду q, расположенному внутри полости. Заряд qвнеш создает поле Eвнеш снаружи проводника.

Замечание В соответствии с теоремой Фарадея суммарное поле зарядов q и qст равно нулю везде, кроме объема полости с зарядом q. В частности, это поле равно нулю и на внешней поверхности проводника. Поэтому распределение заряда qвнеш на внешней поверхности проводника определяется только формой самого проводника и не зависит от места локализации заряда q внутри полости и от характера распределения заряда qст на стенках полости.

Замечание В рассматриваемом примере проводник имеет форму шара. Вследствие сферической симметрии заряд qвнеш распределен по поверхности шара равномерно. Поле Eвнеш снаружи шара в этом случае совпадает с полем однородного (без каких-либо полостей) проводящего заряженного шара, несущего заряд q. При любом изменении положения заряда q внутри полости и сопутствующем перераспределении заряда qст поле Eвнеш снаружи шара меняться не будет.

ЛЕКЦИЯ 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 2. 6 Электрическая емкость. Конденсаторы

Электрическая емкость уединенного проводника Рассмотрим какой-нибудь уединенный проводник, т. е. проводник, удаленный от других проводников или зарядов. Опыт показывает, что потенциал проводника прямо пропорционален его заряду q: ~ q. Следовательно, отношение q/ не зависит от заряда q проводника и для каждого уединенного проводника имеет свое значение. Емкость уединенного проводника C – физическая величина, численно равная отношению заряду, сообщенному проводнику и повышающему его потенциал на единицу.

Емкость уединенного проводника Электроемкость проводника зависит только от его формы и размеров. Электроемкость измеряется в фарадах (Ф). Емкостью в один фарад (1 Ф) обладает проводник, потенциал которого равен одному вольту (1 В) при сообщении ему заряда величиной в один кулон (1 Кл): 1 Ф = 1 Кл/1 В. Определим, например, емкость шара радиуса R: если на его поверхность поместить заряд q, то потенциал шара будет равен q/4 0 R. Тогда емкость шара C = q/ = 4 0 R.

Емкость системы проводников Покажем, что емкость проводника увеличивается приближении к нему других тел. Пусть уединенный проводник A, несущий на себе заряд q, имеет потенциал 0. Приблизим к нему другой незаряженный проводник B. Под действием электрического поля на проводнике B возникнут индукционные заряды. Для качественной оценки будем считать, что отрицательные индукционные заряды – qind находятся на расстоянии r 1, а положительные + qind – на расстоянии r 2 от проводника A.

Емкость системы проводников При приближении проводника B потенциал проводника A изменится: А так как r 1 < r 2, то < 0. Следовательно, в присутствии проводника B емкость проводника A будет больше:

Конденсатором называется систем из двух близко расположенных проводников (обкладок). Наличие двух близко расположенных проводников позволяет добиться следующего: Емкость C такой системы значительно выше емкости уединенного проводника. На величину емкости конденсатора практически не оказывают никакого влияния окружающие тела. Для этого обкладки располагают так близко друг к другу, чтобы электрическое поле было сосредоточено между ними (внутри объема конденсатора). Поскольку поле вне пределов конденсатора практически отсутствует, то на приближенном к нему проводнике не возникает индукционных зарядов, т. е. не изменяется потенциал обкладок самого конденсатора (а, следовательно, и его емкость).

Конденсаторы Устройство и форма конденсаторов могут быть различными. Плоский конденсатор представляет собой две близко расположенные тонкие металлические пластины, пространство между которыми заполнено диэлектриком. Обкладки цилиндрического конденсатора – коаксиальные цилиндрические Поверхности из проводящего материала и изолированные друг от друга диэлектриком. Сферический конденсатор – две проводящие изолированные друг от друга концентрические сферы близких по величине радиусов.

Электроемкость конденсатора Если обкладки конденсатора подключить к источнику постоянного напряжения U, на них возникают разные по величине и противоположные по знаку заряды +q и –q. Зарядом конденсатора называют величину q, равную модулю заряда одной из его обкладок. Электрическая емкость конденсатора – величина, равна отношению заряда конденсатора к разности потенциалов его обкладок:

Емкость плоского конденсатора Пусть расстояние между расположенными в вакууме или воздухе обкладками плоского конденсатора равно d, площадь одной обкладки S, заряд конденсатора q. Расстояние между обкладками много меньше их размеров, поэтому электрическое поле E внутри конденсатора однородно и вычисляется по формуле для напряженности поля двух параллельных бесконечных плоскостей

Емкость плоского конденсатора Разность потенциалов между обкладками равна Отсюда получим емкость плоского конденсатора:

Емкость сферического конденсатора Пусть R 1 и R 2 – радиусы внутренней и внешней обкладок сферического конденсатора. Обозначим q – заряд конденсатора. Найдем по теореме Гаусса напряженность электрического поля между обкладками: Разность потенциалов обкладок:

Емкость цилиндрического конденсатора Пусть конденсатор имеет форму прямого цилиндра высотой l и радиусами R 1 и R 2 внутренней и внешней цилиндрических обкладок. Найдем по теореме Гаусса напряженность электрического поля между обкладками: Поперечное сечение Разность потенциалов между обкладками:

ЛЕКЦИЯ 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 2. 7 Последовательное и параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение Два конденсатора емкостью C 1 и C 2 соединены последовательно (разноименными обкладками) и подключены к источнику напряжения U. Обозначим заряд первого и второго конденсаторов через q 1 и q 2 соответственно. Знаки зарядов обкладок указаны на рисунке. Электрически изолированный участок цепи (он содержит правую обкладку конденсатора C 1 с зарядом –q 1 и левую обкладку конденсатора C 2 с зарядом + q 2) в целом электрически нейтрален, поэтому алгебраическая сумма зарядов на нем равна нулю:

Последовательное соединение Таким образом, заряды последовательно соединенных конденсаторов одинаковы. Найдем заряд q = q 1 = q 2 каждого из конденсаторов при подаче на цепь напряжения U. Эта величина равна сумме напряжений на каждом из конденсаторов:

Последовательное соединение Два последовательно соединенных конденсатора можно заменить одним конденсатором эквивалентной емкости Cэкв, величину которой определим при условии, что на данный конденсатор подано напряжение U: Тогда емкость эквивалентного конденсатора равна

Параллельное соединение Два конденсатора емкостью C 1 и C 2 соединены параллельно (одноименными обкладками) и подключены к источнику напряжения U. Обкладки, соединенные проводником, имеют одинаковый потенциал, поэтому разности потенциалов обкладок конденсаторов (напряжения) при их параллельном соединении одинаковы: U 1 = U 2 = U. Вычислим заряды конденсаторов:

Параллельное соединение Два параллельно соединенных конденсатора можно заменить одним конденсатором эквивалентной емкости Cэкв, которую можно определить из условия равенства суммарного заряда q 1 + q 2 = (С 1 + С 2)U системы из двух конденсаторов заряду qэкв эквивалентного конденсатора при одинаковом напряжении U, поданном как на систему, так и на эквивалентный конденсатор: q 1 + q 2 = (С 1 + С 2)U = = qэкв

ЛЕКЦИЯ 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 2. 8 Поляризация диэлектриков

Диэлектрики (изоляторы) – это вещества, которые ввиду отсутствия в них свободных зарядов, которые могут быть носителями тока, не проводят электрический ток. В качестве простой модели, удобной для выяснения основных свойств диэлектриков, рассмотрим диэлектрики только двух типов – вещества, состоящие из полярных и неполярных молекул. В любой молекуле суммарный отрицательный заряд электронов по модулю равен заряду всех входящих в ее состав атомных ядер. Каждая молекула в целом электрически нейтральна.

Полярные и неполярные молекулы В неполярной молекуле пространственное распределение всех имеющихся зарядов таково, что дипольный момент молекулы pe = 0. Примером может служить молекула метана CH 4.

Полярные и неполярные молекулы В полярной молекуле положительный и отрицательный заряды пространственно разнесены друг относительно друга таим образом, что дипольный момент молекулы отличен от нуля: pe 0 (показан стрелкой на рисунке). В качестве примера полярной молекулы можно привести несимметричную молекулу воды H 2 O, в которой электроны атомов водорода смещены в направлении к атому кислорода. В результате положительный и отрицательный заряды молекулы оказываются частично разделенными в пространстве.

Диэлектрик в отсутствие внешнего электрического поля Диэлектрик состоит из большого количества заряженных микрочастиц – электронов, ионов, атомных ядер. В отсутствие внешнего электрического поля суммарный заряд всех частиц в любом физически бесконечно малом объеме вещества равен нулю. Дипольный момент любого физически малого объема диэлектрика также равен нулю: либо из-за того, что дипольный момент каждой молекулы равен нулю; либо вследствие неупорядоченной хаотический ориентации дипольных моментов, которыми обладает полярная молекула.

Диэлектрик во внешнем электрическом поле Если поместить диэлектрик во внешнее электрическое поле, то происходит пространственное разделение положительных и отрицательных зарядов, в результате чего на поверхности и, возможно, внутри диэлектрика появляются макроскопические заряды. При этом изменяются дипольные характеристики вещества. Это явление называется поляризацией диэлектрика. Поляризационными называются макроскопические заряды, возникающие внутри и на поверхности диэлектрика под действием внешнего электрического поля, т. е. в результате поляризации. Поскольку поляризационные заряды не могут покинуть пределов молекулы, в состав которой они входят, они также называются связанными зарядами.

Механизм поляризации диэлектриков, состоящих из неполярных молекул В отсутствие внешнего электрического поля суммарный заряд и суммарный дипольный момент каждой неполярной молекулы в целом равны нулю. На рисунке неполярные молекулы диэлектрика изображены белыми кружками. При включении внешнего электрического поля каждая молекула диэлектрика поляризуется: положительно заряженные частицы (атомные ядра) смещаются в направлении поля E, а отрицательно заряженные частицы (электроны) – в направлении против поля. Происходит пространственное разделение зарядов разного знака.

Механизм поляризации диэлектриков, состоящих из неполярных молекул В результате поляризации дипольный момент молекулы становится отличным от нуля. В этих условиях, как видно на рисунке, поверхность диэлектрика становится заряженной, возникает макроскопический заряд: та часть поверхности, в направлении которой под действием внешнего поля смещаются положительные заряды, заряжается положительно; на противоположной поверхности возникает отрицательный макроскопический заряд. Часть поверхности остается электрически нейтральной. Если диэлектрик неоднородный, то макроскопические заряды могут появиться и в его объеме.

Механизм поляризации диэлектриков, состоящих из полярных молекул Молекула диэлектрика в целом электрически нейтральна, однако ее положительный и отрицательный заряды распределены в пространстве таким образом, что дипольный момент молекулы отличен от нуля: pe 0. В отсутствие внешнего электрического поля вследствие хаотического теплового движения молекул не существует преимущественного направления, вдоль которого бы ориентировались бы их дипольный моменты. Дипольный момент любого физически малого объема диэлектрика и всего тела в целом равны нулю.

Механизм поляризации диэлектриков, состоящих из полярных молекул Пусть теперь диэлектрик помещен во внешнее электрическое поле напряженностью E. Обозначим pei – дипольный момент молекулы. Поскольку минимуму потенциальной энергии обладающей дипольным моментом системы электрических зарядов соответствует такое ее положение, в котором pei E, то под действием внешнего электрического поля молекулы преимущественно ориентируются так, чтобы все pei были направлены вдоль поля. В результате на поверхности диэлектрика образуются связанные заряды разного знака, а дипольный момент физически малого объема вещества оказывается отличным от нуля.

Механизм поляризации диэлектриков, имеющих кристаллическую структуру Если диэлектрик представляет собой кристалл, то его нельзя рассматривать как систему изолированных друг от друга молекул. В этом случае поляризация кристаллического диэлектрика объясняется пространственным разделением положительных и отрицательных микроскопических зарядов под действием внешнего поля. Условно кристалл можно рассматривать как одну большую молекулу, в которой в отсутствие внешнего поля положительные и отрицательные ионы распределены в пространстве равномерно, так что суммарный заряд и дипольный момент любого физически малого объема кристалла равен нулю.

Механизм поляризации диэлектриков, имеющих кристаллическую структуру При включении внешнего электрического поля положительные и отрицательные макроскопические заряды смещаются в пространстве друг относительно друга в противоположных направлениях. В результате возникает макроскопический поляризационный заряд, и становится отличным от нуля дипольный момент кристалла.

Напряженность поля в диэлектрике Если учесть, что под действием внешнего электрического поля E 0 в диэлектрике возникают связанные макроскопические поляризационные заряды, порождающие собственное электрическое поле, напряженность которого обозначим через E , то электрическое поле в диэлектрике E можно рассматривать как суперпозицию внешнего поля и поляризационных зарядов:

ЛЕКЦИЯ 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 2. 9 Вектор поляризованности и его свойства

Степень поляризации Для количественного описания поляризации диэлектрика естественно взять дипольный момент единицы объема. Если внешнее поле или диэлектрик (или и то, и другое) неоднородны, степень поляризации оказывается различной в разных точках диэлектрика. Чтобы охарактеризовать степень поляризации в данной точке, мысленно выделяют физически малый объем V, содержащий эту точку, а затем составляют векторную сумму дипольных моментов молекул в этом объеме.

Вектор поляризованности P – дипольный момент единицы объема вещества диэлектрика: Суммирование ведется по всем молекулам внутри объема V. Единица поляризованности – кулон, деленный на квадратный метр: [P] = Кл/м 2.

Вектор поляризованности Представим вектор поляризованности P другим образом. Пусть в объеме V содержится N диполей. Умножим и разделим правую часть выражения для P на N: Здесь n = N/ V - концентрация молекул; – средний дипольный момент молекулы.

Связь между P и E Как показывает опыт, для широкого класса диэлектриков и большого круга явлений поляризованность P линейно зависит от напряженности E поля в диэлектрике. Если диэлектрик изотропный и E не слишком велико, то Здесь – безразмерная положительная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью вещества. Эта величина не зависит от E, она характеризует свойства самого диэлектрика. В дальнейшем, если специально не оговорено, будем рассматривать только изотропные диэлектрики, для которых справедливо данное соотношение.

Связь между P и E Существуют, однако, диэлектрики, для которых формула неприменима. Это некоторые ионные кристаллы и электреты, а также сегнетоэлектрики. У сегнетоэлектриков связь между P и E нелинейная и зависит, кроме того, от предыстории диэлектрика, т. е. от предшествующих значений E (это явление называется гистерезисом).

Теорема Гаусса для вектора поляризованности Теорема Гаусса для вектора P: поток вектора поляризованности P сквозь произвольную замкнутую повехность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом этой поверхностью:

Теорема Гаусса для вектора поляризованности в дифференциальной форме В дифференциальной форме теорема Гаусса для вектора поляризованности имеет следующий вид: т. е. дивергенция вектора поляризованности P равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в той же точке.

Когда в диэлектрике = 0 Можно показать, что объемная плотность связанных зарядов внутри диэлектрика будет равна нулю при одновременном выполнении следующих условий: диэлектрик должен быть однородным; внутри него не должно быть сторонних зарядов ( = 0) Т. о. , если в произвольное электрическое поле поместить однородный изотропный диэлектрик какой угодно формы, можно быть уверенным, что при его поляризации появятся только поверхностные связанные заряды, объемные связанные же заряды во всех его точках будут равны нулю.

Граничные условия для вектора поляризованности на поверхности раздела диэлектриков Рассмотрим поведение вектора P на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Только что было установлено, что в объеме таких диэлектриков связанных зарядов нет и в результате поляризации появляются только поверхностные связанные заряды. Найдем связь между поляризованностью P и поверхностной плотностью связанного заряда на границе раздела диэлектриков

Граничные условия для вектора поляризованности на поверхности раздела диэлектриков Воспользуемся теоремой Гаусса для вектора P: найдем поток вектора поляризованности сквозь поверхность небольшого плоского цилиндра ничтожно малой высоты, торцы которого расположим по разные стороны границы раздела. Считаем площадь S каждого торца настолько малой, что во всех точках каждого торца P = const (это же касается и поверхностной плотности связанного заряда). Пусть n – общая нормаль к поверхности раздела в данном месте (от диэлектрика 1 к диэлектрику 2)

Граничные условия для вектора поляризованности на поверхности раздела диэлектриков Пренебрегая потоком через боковую поверхность, имеем: Таким образом, На границе раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора P испытывает разрыв, величина которого зависит от .

Граничные условия для вектора поляризованности В частности, если среда 2 – вакуум, то P 2 n = 0 и последнее условие приобретает вид Здесь Pn – проекция вектора P на внешнюю нормаль к поверхности данного диэлектрика, знак которой определяет знак связанного заряда в данном месте. С учетом формы связи между P и E последнее выражение можно переписать в виде Здесь En – проекция вектора E (внутри диэлектрика вблизи его поверхности) на внешнюю нормаль

ЛЕКЦИЯ 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 2. 10 Вектор электрического смещения и его свойства

Вектор электрического смещения Как известно, источниками электрического поля E, в том числе, и внутри диэлектрика, являются все электрические заряды – и сторонние, и связанные. Поэтому теорему Гаусса можно переписать так: Здесь q и q - соответственно сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхностью S. Появление связанных зарядов (их распределение часто неизвестно) усложняет дело и эта формула оказывается непригодной для расчета поля E в диэлектрике даже при достаточно хорошей симметрии.

Вектор электрического смещения Это затруднение, однако, можно обойти, если выразить заряд q через поток вектора P. Преобразуем последнее выражение: Обозначим величину, стоящую под интегралом в скобках, буквой D (вспомогательный вектор – вектор электрического смещения, или электрическая индукция):

Теорема Гаусса для вектора электрического смещения Таким образом, поток вектора D сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью: Данное утверждение и есть теорема Гаусса для вектора D. Этот вектор представляет собой сумму двух совершенно разных величин: P и 0 E, поэтому он действительно вспомогательный вектор, не имеющий какого-либо глубокого физического смысла. Однако, во многих случаях он значительно упрощает изучение поля в диэлектриках.

Теорема Гаусса для вектора электрического смещения в дифференциальной форме Соотношение D = P + 0 E, а также теорема Гаусса для вектора D справедливы для любого диэлектрика, как изотропного, так и анизотропного. Размерность вектора D та же, что и вектора P. Единицей величины D служит кулон на квадратный метр (Кл/м 2).

Теорема Гаусса для вектора D в дифференциальной форме Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора электрического смещения: Т. о. , дивергенция вектора электрического смещения в данной точке равна объемной плотности стороннего заряда в этой же точке. В тех точках, где div. D > 0, мы имеем источники поля D ( > 0); в тех точках, где div. D < 0, – стоки поля D ( < 0).

Связь между D и E В случае изотропного диэлектрика поляризованность P Подставим это выражение в формулу для вектора D: или Здесь = 1 + – диэлектрическая проницаемость вещества. Для всех веществ > 1, для вакуума = 1. Значения зависят от природы диэлектрика и колеблются в диапазоне от ~ 1 (газы) до 105 (некоторые керамики). Для воды = 81.

Связь между D и E Из формулы D = 0 E видно, что для изотропных диэлектриков векторы D и E коллинеарны. В анизотропных диэлектриках эти вектора, вообще говоря, не коллинеарны. Поле вектора D можно представить графически в виде силовых линий: эти линии начинаются только на положительных сторонних зарядах и заканчиваются только на отрицательных сторонних зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят, не прерываясь.

Пример Точечный сторонний заряд q находится в центре шара радиусом R из однородного изотропного диэлектрика. Найдем напряженность E поля как функцию расстояния r от центра шара. Поскольку нам не известен связанный заряд на поверхности шара, воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D:

2. 11 Условия на границе Лекция 2. Электрическое поле в веществе

Условия на границе Рассмотрим поведение векторов D и E сначала на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Пусть на границе раздела находится поверхностный сторонний заряд. Искомые условия можно получить с помощью двух основных теорем электростатики: теоремы Гаусса и теоремы о циркуляции:

Граничные условия для вектора напряженности электрического поля Пусть поле вблизи границы раздела в диэлектрике 1 равно E 1, а в диэлектрике 2 – E 2. Возьмем небольшой вытянутый прямоугольный контур, ориентировав его так, как показано на рисунке. Пусть стороны контура имеют такую длину, что в ее пределах E 1, 2 = const, а высота контура пренебрежимо мала. Тогда по теореме о циркуляции т. е. тангенциальная составляющая E одинакова по обе стороны границы раздела

Граничные условия для вектора электрического смещения Возьмем цилиндр очень малой высоты, расположив его по обе стороны границы раздела двух диэлектриков. Сечение цилиндра должно быть таким, чтобы в пределах каждого торца площадью S вектор D 1, 2 = const. Тогда по теореме Гаусса: Здесь – поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Тогда Если же сторонних зарядов на границе раздела нет, то D 1 n = D 2 n. Т. о. нормальная составляющая вектора D, вообще говоря, испытывает скачок при переходе границы раздела.

Преломление линий вектора напряженности электрического поля Полученные условия для составляющих векторов D и E на границе раздела двух диэлектриков, означают, что линии этих векторов испытывают на этой границе излом, т. е. преломляются. Найдем соотношение между углами преломления 1 и 2. Если сторонних зарядов на границе нет, то Тогда Это означает, что в диэлектрике с большим значением линии E и D будут составлять больший угол с нормалью к границе раздела.

Условие на границе проводник - диэлектрик Если 1 – проводник, а среда 2 – диэлектрик, то из формулы, определяющей соотношение между нормальными составляющими D следует, что Здесь n – внешняя по отношению к проводнику нормаль. Эту формулу можно легко получить, если учесть, что поле внутри проводника отсутствует.

Связанный заряд у поверхности проводника Если к заряженному участку поверхности проводника прилегает однородный диэлектрик, то на границе этого диэлектрика с проводником выступают связанные заряды некоторой плотности (при этом объемная плотность связанного заряда в диэлектрика равна нулю). Применим теорему Гаусса для вектора E: Видно, что поверхностная плотность связанного заряда в диэлектрике однозначно связана с поверхностной плотностью стороннего заряда на проводнике, причем знаки этих зарядов противоположны.

2. 12 Энергия электрического поля Лекция 2. Электрическое поле в веществе

Электрическая энергия системы зарядов Найдем выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарядов. Ранее было показано, что Преобразуем сумму следующим образом: Каждая сумма в скобках – это энергия взаимодействия i-го заряда с остальными зарядами. Поэтому последнее выражение можно переписать в виде

Электрическая энергия системы зарядов Имея в виду, что i = qi i, где qi – i-й заряд системы; i – потенциал, создаваемый в месте нахождения i-го заряда всеми остальными зарядами системы, получим окончательное выражение для энергии взаимодействия

Пример Четыре одинаковых точечных заряда q находятся в вершинах тетраэдра с ребром b. Найдем энергию взаимодействия зарядов этой системы. Энергия взаимодействия каждой пары зарядов здесь одинакова и равна 1 = q 2/4 0 b. Всего таких взаимодействующих пар шесть, поэтому энергия взаимодействия всех точечных зарядов данной системы

Пример Иной подход к решению этого вопроса основан на использовании только что выведенной нами формулы. Потенциал в месте нахождения одного из зарядов, обусловленный полем всех остальных (трех) зарядов, равен Поэтому

Полная энергия взаимодействия Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов dq = d. V и переходя от суммирования к интегрированию, получаем Здесь – потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объема d. V. Аналогичное выражение можно записать и для случая распределения зарядов по поверхности или линии.

Энергия уединенного проводника Пусть проводник имеет заряд q и потенциал . Поскольку по всех точках проводника потенциал одинаков, то С учетом формулы для емкости C уединенного проводника, последнее выражение можно переписать в виде

Энергия заряженного конденсатора Пусть q и + - соответственно заряд и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора с емкостью C. Тогда выражение для энергии можно представить в виде Здесь q = q+ - заряд конденсатора, U разность потенциалов на его обкладках. Приняв во внимание, что С = q/U, получим выражение для энергии конденсатора:

Энергия заряженного конденсатора Необходимо отметить, что приведенные формулы справедливы и для случая, если между обкладками конденсатора есть диэлектрик В этом случае (где C 0, E 0 и U 0 – соответственно емкость, напряженность электрического поля и напряжение на воздушном конденсаторе)

Энергия электрического поля Оказывается, энергию взаимодействия любой системы можно представить также и через величину, характеризующую само поле – через напряженность E. Рассмотрим в качестве примера плоский заряженный конденсатор. При этом пренебрежем искажением поля у краев пластин: Здесь V = Sd – объем между обкладками конденсатора.

Энергия электрического поля Полученная формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем V. В общей теории доказывается, что в случае неоднородного поля энергия для изотропных диэлектриков определяется формулой

Энергия электрического поля Подынтегральное выражение в этом уравнение имеет смысл энергии, заключенной в объеме d. V. Таким образом, энергия локализована в самом поле. Электрическая энергия распределена в пространстве с объемной плотностью Эта формула справедлива лишь для изотропного диэлектрика, для которого выполняется выражение D = 0 E.