Лекція 2 Динаміка матеріальної точки і твердого тіла

Лекція 2. Динаміка матеріальної точки і твердого тіла 1. Перший закон Ньютона. Інерціальні системи. 2. Другий закон Ньютона. 3. Третій закон Ньютона. 4. Принцип відносності Галілея. 5. Сили. Застосування законів Ньютона. 6. Кінематика абсолютно твердого тіла. Плоский рух. 7. Рух центра мас твердого тіла. 8. Обертання навколо нерухомої осі. 9. Момент інерції. Тензор інерції. 10. Кінетична енергія обертального руху тіла та при плоскому русі.

Перший закон Ньютона. Інерціальні системи. • І з-н Ньютона: Будь-яке тіло знаходиться в стані спокою чи рівномірного прямолінійного руху, поки дія з боку інших тіл не спричинить зміну цього стану. • Система відліку, в якій виконується І закон Ньютона, називається інерціальною. Система відліку, в якій не виконується І закон Ньютона, називається неінерціальною. • Будь-яка система, що рухається рівномірно ( =const) і прямолінійно відносно інерціальної системи, також буде інерціальною.

Маса та імпульс. • Інертність тіла – опір спробам змінити стан його руху. • Кількісною характеристикою, яка характеризує інертність, виступає маса тіла. • Фізична величина, яка є мірою інертності матеріальної точки, називається інертною масою mi. • Фізична величина, яка є мірою гравітаційної взаємодії між тілами, називається гравітаційною масою mg. • Експериментально встановлено, що mi = mg. • Маса – скалярна, адитивна величина: m=Σmi.

Маса та імпульс. • Якщо два тіла взаємодіють через зіткнення, то їхні швидкості будуть мати зміну Δ 1 і Δ 2, причому виконується співвідношення: • Отже m 1Δ 1 = -m 2Δ 2 або Δp 1 = -Δp 2 , де p = m називається імпульсом тіла. • Тіло розглядають як сукупність матеріальних точок, так що маса

Другий закон Ньютона Сила – це векторна величина, що є мірою механічної дії на тіло з боку інших тіл, внаслідок якої тіло отримує прискорення або змінює свою форму і розміри. Сила характеризується числовим значенням, напрямком у просторі і точкою прикладання. Ця формула використовується для знаходження маси тіла.

Одиниці розмірностей фізичних величин • Система СІ (Система Інтернаціональна): довжина – 1 м, маса – 1 кг, час – 1 с, струм – ампер, сила світла – кандела, одиниця температури – 1 К, кількість речовини – моль. • Формула F = mw дає одиницю сили 1 Н, дія якої на масу 1 кг дає прискорення 1 м/с2. • Довжина меридіана Землі 40 000 м. • Секунда – час, який дорівнює 9192631770 періодам випромінювання між двома надтонкими рівнями основного стану атома 133 Cs. В одному році 31556925, 9747 с.

Одиниці розмірностей фізичних величин • Дольні та кратні одиниці: деци – 10 -1, санти – 10 -2, мілі – 10 -3, • мікро – 10 -6, нано - 10 -9, піко – 10 -12, фемто – 10 -15; • дека -10, гекто – 102, кіло – 103, Мега – 106, Гіга – 109, • Тера – 1012. • Сукупність одиниць утворює певну систему. • Розмірність довільної фізичної величини визначається через основні одиниці (прискорення – м/с2). • Фізичні закони не залежать від вибору системи одиниць. В довільній формулі розмірності зліва і справа строго однакові.

Третій закон Ньютона • Дія двох тіл одне на інше називається взаємодією. Якщо перше тіло діє на друге з силою F 12, то і друге тіло діє на перше з силою F 21, причому ці сили рівні за величиною і протилежні за напрямком: • F 12 = - F 21 • Отже, сили виникають попарно. Це і є ІІІ закон Ньютона. • Третій закон Ньютона виконується як при контактній взаємодії, так і при взаємодії відділених тіл (через гравітаційне, електростатичне чи інше поле).

Третій закон Ньютона • Сукупність матеріальних точок, які розглядаються як єдине ціле, називається механічною системою. Механічна система, на яку не діють зовнішні сили, називається замкненою. - замкнена система.

Принцип відносності Галілея y y’ O z ot P O’ x x, x’ z’ x’ x=x’ + ot y=y’ z=z’

Принцип відносності Галілея Продиференціюємо за часом вираз Отримаємо Отже, прискорення однакове у всіх інерціальних системах відліку. Основне рівняння механіки F=ma містить лише прискорення, тому рівняння динаміки однакові у всіх інерціальних системах.

Сили • Є 4 види взаємодій: гравітаційна, електромагнітна, сильна, слабка. Наприклад: • Пружні сили та сили тертя не є фундаментальними, а відносяться до електромагнітних.

Пружні сили Деформація розтягу Fпр ~ x Fпр =-kx – Закон Гука

Пружні сили • Деформація зсуву a b

Сила тертя • Зовнішнє тертя – між поверхнями двох тіл, внутрішнє – між частинками одного і того ж тіла (рідина, газ). Fт = k. Fн Сила тертя ковзання не залежить від площі дотику поверхонь і пропорціональна силі нормального тиску.

Сила в’язкого тертя При малих швидкостях При великих швидкостях

Сила тяжіння і вага - Сила тяжіння Тіло діє на опору з силою - вага тіла Коли тіло рухається з прискоренням, тоді Тепер сила, що діє на опору і дорівнює вазі, - при - невагомість.

Застосування законів Ньютона • Тіло рухається по похилій площині. Fr = F T + F n Проекція на вісь x: x • Звідси Формула справедлива при w > 0

Кінематика абсолютно твердого тіла y B B A r. B B A A r. A x Поступальним називається рух твердого тіла з незмінним напрямком, при якому будь-яка пряма лінія, зв’язана з цим тілом, переміщається паралельно сама собі.

Кінематика абсолютно твердого тіла Обертальний рух 1 ≠ 2 a 1 ≠ a 2 S 1 ≠ S 2 Кутовий шлях φ однаковий для всіх точок

Зв’язок між лінійними і кутовими характеристиками

Плоский рух • Довільний рух тіла на площині може бути зображений як сума поступального і обертального рухів: • При цьому о однакове для всіх точок, а ’ різне. • Для циліндра, що котиться • Елементарне переміщення при плоскому русі можна зобразити, як поворот навколо миттєвої осі, положення якої змінюється з часом.

Центр мас твердого тіла

Рух центра мас твердого тіла • Уявимо тверде тіло як суму елементарних мас, на які діють як зовнішні, так і внутрішні сили: fi – внутрішні, Fi – зовнішні сили. -Рух центра мас під дією суми сил Радіус-вектор центра мас

Обертання навколо нерухомої осі - Момент імпульсу - момент сили Ri Li ri mi

Обертання навколо нерухомої осі • Для симетричних тіл Є 3 головні осі інерції. В загальному випадку I 1≠I 2≠I 3. Стійким є обертання навколо осей з Imin і Imax. обруч

Момент інерції Для диску (циліндра) навколо осі обертання

Момент інерції Теорема Штейнера: при обертанні тіла навколо осі О’О’ I = Ic + ma 2 Ri' O' a Δmi Ri C - вісь через центр мас Для диску (циліндра) при a = R

Момент інерції

Тензор інерції Для несиметричних тіл вектори L і не паралельні. Для симетричних тіл недіагональні елементи відсутні

Тензор інерції

Кінетична енергія обертального руху fi Ri ri Fi mi

Кінетична енергія при плоскому русі

Застосування законів динаміки твердого тіла • Сумарний момент сили тяжіння відносно деякої точки Ця величина дорівнює нулю відносно центра мас. Точка, відносно якої момент сил тяжіння дорівнює нулю, називається центром ваги. Тіло буде в спокої, якщо Fзовн = 0 і Mзовн = 0.

Застосування законів динаміки твердого тіла Циліндр з радіусом R і масою m скочується з гірки без ковзання Fn Fт h mg

Застосування законів динаміки твердого тіла • Другий метод розв’язування Повна енергія залишається сталою. На початку потенціальна енергія U = mgh Вкінці кінетична енергія