ЛЕКЦИЯ 2 Центры и касательные кривых второго порядка

ЛЕКЦИЯ 2 Центры и касательные кривых второго порядка. Оптическое свойство параболы. Литература. [1] §§ 33, 34.

Лемма о середине отрезка • Дано параметрическое уравнение прямой на плоскости: Точкам М 1 и М 2 соответствуют параметры t 1 и t 2. Тогда начальная точка M 0(x 0; y 0) в том и только в том случае совпадает с серединой отрезка M 1 M 2 , когда t 1 + t 2 =0.

Необходимые формулы

Центры кривых второго порядка • Теорема. Пусть кривая второго порядка задана общим уравнением. Тогда точка в том и только в том случае служит центром симметрии , когда ее координаты удовлетворяют системе уравнений: . Следствие Если центр кривой совпадает с началом координат, то , и ее общее уравнение имеет вид:

Центральные и нецентральные кривые • Определитель системы совпадает с первым инвариантом кривой. Поэтому кривые эллиптического и гиперболического типов имеют единственный центр симметрии. Они носят название центральных кривых второго порядка. • Для кривых параболического типа = 0. Эти кривые либо не имеют центров симметрии, либо имеют их бесконечно много. Такие кривые называются нецентральными.

Касательные кривых второго порядка • Точка кривой второго порядка называется обыкновенной, если она не совпадает с ее центром симметрии. В противном случае она носит название особой. • Теорема 3. Если - обыкновенная точка кривой второго порядка, заданной своим общим уравнением, то уравнение касательной в этой точке имеет вид: • Уравнения эллипса, гиперболы и параболы, заданной своими каноническими уравнениями. • Эллипс гипербола парабола

Оптическое свойство параболы Пусть M 0 - точка параболы, F - ее фокус. Доказать, что касательная к параболе в этой точке образует равные углы как с прямой M 0 F , так и с прямой, проходящей через M 0 и параллельной оси параболы.