Лекция 2 2 ч Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний

Лекция 2(2 ч). Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний

Вопросы: n Задание состояния микрочастицы. Волновая функция, ее статистическая интерпретация и физический смысл n Требования, предъявляемые к волновой функции n Принцип суперпозиции состояний n Общее уравнение Шрёдингера n Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний n Нахождение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме n Принцип соответствия Бора n Прохождение частицы через потенциальный барьер – туннельный эффект

Задание состояния микрочастицы. Волновая функция, ее статистическая интерпретация и физический смысл • Движение микрочастицы с позиций М. Борна Из-за соотношения неопределенностей Гейзенберга классическое задание (описание) состояния частицы (через точное определение координаты и импульса и построение траектории), вообще говоря, утрачивает смысл. В соответствии с корпускулярно-волновым дуализмом в квантовой механике состояние частицы задается (описывается) «пси» - функцией Ψ (r, t). Согласно Максу Борну (немецкий физик, 1926 г. ) движение любой микрочастицы в отдельности подчиняется вероятностным законам. Распределение вероятности, характеризующее это движение, проявляется в регистрации достаточно большого числа частиц. Это распределение оказывается таким же, как распределение интенсивности волны, а именно: там, где интенсивность больше, регистрируется и бóльшее число частиц. Он записывает: d. P = κ. A 2. d. V (1) т. е. квадрат амплитуды световой волны в данной точке является мерой вероятности попадания фотонов в эту точку (в объем d. V).

Задание состояния микрочастицы. Волновая функция, ее статистическая интерпретация и физический смысл • Статистическая интерпретация волновой функции В квантовой теории постановка вопроса состоит не в точном предсказании событий, а в определении вероятностей этих событий. А затем по значениям этих вероятностей (согласно определенным правилам) можно найти средние значения случайно изменяющихся физических величин, которые и доступны в эксперименте. В связи с этим волновая функция Ψ (r, t) должна интерпретироваться – статистически, т. е. она является величиной, которая позволяет находить все вероятности. Таким образом, вероятность нахождения частицы в момент времени t с координатами [x; x + dx], [y; y + dy], [z; z + dz] или, иначе, в объеме d. V =dx. dy. dz можно определить интенсивностью волновой функции, т. е. , как в формуле (1), через квадрат «пси» -функции: d. P = |Ψ|2. d. V = Ψ. Ψ*. d. V (2) где Ψ* - комплексно-сопряженная функция (с Ψ).

Задание состояния микрочастицы. Волновая функция, ее статистическая интерпретация и физический смысл • Физический смысл волновой функции Замечание. Так как Ψ – комплексная функция, а вероятность должна быть всегда действительной и положительной величиной, то за меру интенсивности волновой функции принимается квадрат ее модуля. Физический смысл Ψ-функции проявляется через плотность вероятности, т. е. вероятность нахождения частицы в единице объема: d. P/d. V = |Ψ|2 = Ψ. Ψ* (3) Замечание. Плотность вероятности является экспериментально наблюдаемой величиной, в то время как сама «пси» -функция, будучи комплексной, - не доступна наблюдению. По |Ψ|2 определяются средние значения физических величин. Вероятность нахождения частицы в момент времени t в некотором конечном объеме, согласно теореме сложения вероятностей, можно определить, как интеграл: P = ∫d. P = ∫|Ψ|2. d. V (4)

Требования, предъявляемые к волновой функции • Условие нормировки Волновая функция должна удовлетворять условию нормировки: (5) где Ψ = Ψ(x, y, z, t) – нормированная волновая функция, и предполагается, что Ψ ≠ 0. Таким образом, вероятность нахождения частицы в момент времени t во всем пространстве (или в той области, где Ψ ≠ 0) является вероятностью абсолютно достоверного события, т. е. равна 1. • Условие КОН Волновая функция должна быть: • конечной (К), потому что вероятность не может быть больше 1; • однозначной (О), так как вероятность не может быть неоднозначной величиной; • непрерывной (Н), потому что вероятность не может изменяться скачком.

Требования, предъявляемые к волновой функции • Дополнительные условия • гладкость Ψ-функции, т. е. отсутствие изломов; • непрерывность производных типа и т. п. Замечание. В теории дифуравнений условия КОН и дополнительные условия образуют в совокупности естественные (или стандартные) условия, накладываемые на функции, которые определяются в ходе соответствующих дифференциальных уравнений. решения

Принцип суперпозиции состояний В квантовой механике для волновых функций выполняется принцип суперпозиции состояний. Определение. Если какая-либо квантовомеханическая система (частица или совокупность частиц) может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ 1, Ψ 2, … Ψi, то она может также находиться в состоянии Ψ, описываемом линейной комбинацией этих функций, т. е. (6) где Ci – некоторые постоянные коэффициенты в виде произвольных (в общем случае комплексных) чисел, квадрат модуля которых |Сi|2 определяет вероятность того, что система, представленная состоянием Ψ, может оказаться в состоянии Ψi. Иначе говоря, функция Ψi имеет некоторый «вес» Сi в линейной комбинации Ψ. Замечание. В волновой теории, если вспомнить, также принимается принцип суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей. Именно так вводятся в теорию явления интерференции и дифракции. Принцип суперпозиции (6) носит постулативный характер.

Общее уравнение Шрёдингера В квантовой механике с начала была получена волновая функция для свободно движущейся частицы (Л. де Бройль, 1924 г. ) Ψ(r, t) = A. e- i/ħ(E. t – p. r), а уже затем, после длительных поисков, в 1926 г. австрийский физик Эрвин Шрёдингер записал (а по сути постулировал) фундаментальное уравнение для нерелятивистской частицы во внешнем силовом поле относительно волновой функции. Это уравнение впоследствии получило название «нерелятивистское временное (или общее) уравнение Шрёдингера» : (7) где m – масса частицы, U = U(x, y, z, t) – потенциальная функция частицы в силовом поле, i = √-1 – мнимая единица, - оператор Лапласа в декартовой системе координат, ħ = h/2π – постоянная Планка.

Общее уравнение Шрёдингера Замечания. Уравнение Шрёдингера (7) является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики; оно играет в квантовой теории такую же роль, как основное уравнение динамики (2 -ой закон Ньютона) в классической механике. Уравнение (7) не может быть выведено из других соотношений (законов), его следует рассматривать как исходное, постулирующее положение, справедливость которого доказывается тем, что все его следствия полностью согласуются с экспериментом. Э. Шрёдингер вывел своё уравнение, исходя из оптико -механической аналогии. Эта аналогия заключается в сходстве уравнений, описывающих ход световых лучей (что подчиняется принципу Ферма: свет распространяется по такому оптическому пути, чтобы минимизировать время своего движения), с уравнениями, определяющими траектории частиц в теоретической механике (где вид траектории удовлетворяет принципу наименьшего действия).

Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний Особую роль в квантовой механике играют стационарные состояния – состояния, в которых наблюдаемые физические величины не изменяются во времени. Так, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т. е. потенциальная функция U = U(x, y, z) и не зависит от времени (при этом функция U имеет смысл потенциальной энергии), то решение уравнения (7) можно представить в виде произведения двух функций: Ψ(x, y, z ; t) = ψ(x, y, z). φ(t) (8) Подставив функцию (8) в уравнение (7) и разделив левую и правую части полученного уравнения на выражение (8), получим уравнение:

Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний Так как левая часть уравнения (9) зависит только от времени t, а правая – только от координат (x, y, z), то их можно приравнять одной константе разделения Е (полная энергия частицы). В итоге получим два дифференциальных уравнения: • временное уравнение • координатное уравнение с учетом, что ψ(x, y, z) ≠ 0. Последнее уравнение, записанное в виде однородного уравнения, принято называть уравнением Шрёдингера для стационарных состояний (или кратко стационарным уравнением Шрёдингера):

Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний Подставив решение временного уравнения для φ(t) в выражение (8), получаем, что в случае стационарного силового поля состояние частицы будет описываться полной волновой функцией: Ψ(x, y, z ; t) = ψ(x, y, z). e–i/ħ(E t) (11) Замечание. Вид функции (11) подчеркивает, что стационарность состояния не исключает зависимость псифункции от времени, а лишь ограничивает ее гармоническим законом, так как e–i/ħ(E t)=e–iωt cos ωt (согласно формуле преобразования). Легко показать, что в стационарном состоянии плотность вероятности выражается только через координатную часть волновой функции и не зависит от t:

Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний В стационарное уравнение Шрёдингера (10) в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. Такие уравнения, вообще говоря, имеют бесчисленное множество решений. Но из них путем наложения граничных условий отбирают только решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шрёдингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции вместе со своими первыми производными должны быть конечны, однозначны, непрерывны (условия КОН) а также гладкими (не иметь изломов) даже там, где потенциальная энергия U терпит разрыв. Таким образом, реальный физический смысл имеют только решения уравнения (10), выражаемые регулярными пси-функциями. Регулярные решения (ψ) возможны лишь при некотором определенном наборе значений энергии Е, характерном для данной задачи. Эти значения энергии Е 1, Е 2, …, Еn называют собственными значениями энергии, а сами решения ψ1, ψ2, …, ψn при этом называют собственными функциями.

Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний • Собственные значения энергии Еn и собственные функции ψn В существовании собственных значений Еn и собственных функций ψn заключается естественный и общий принцип квантования. Собственные значения Еn и принимаются за возможные значения энергии частицы в соответствующих стационарных состояниях. Эти значения (набор) Еn могут образовывать: • либо сплошной энергетический спектр в случае движения полностью свободной частицы в пространстве; • либо дискретный энергетический спектр в случае ограниченного силовым внешним полем (U) движения частицы в пространстве. Замечание. В общем случае зависимости функции U(x, y, z) – решение уравнения Шрёдингера (10) становится сложным. Но, если оно ψ(r) – найдено, то в принципе можно найти не только распределение вероятности местонахождения частицы, но и вероятности собственных значений различных физических величин (энергии, импульса, момента импульса и др. ).

Нахождение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме • Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками Замечание. Эта стационарная задача имеет принципиальное значение, поскольку такая потенциальная яма есть первое приближение силового поля, связывающего электроны в атоме, а также атомы в кристаллической решетке. Рассматриваемая «яма» описывается следующей потенциальной функцией: где l – ширина ямы. U―>∞ Предполагается, что изначально U―>∞ U(x) микрочастица находится внутри ямы, а так как на потенциальных барьерах действуют огромные силы, то стенки ψ=0 ямы являются идеально отражающими, и частица не может покинуть яму, т. е. она никогда не будет за преде. U=0 лами ямы (х<0; x>l), где всегда ψ=0. 0 l x

Нахождение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме • Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками В пределах ямы (0 ≤ х ≤ l) волновая функция частицы удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера: где k 2=2 m. E/ħ 2 (12*). С учетом характеристического уравнения λ 2+k 2. λ =0 c мнимыми корнями λ 1, 2=√-k 2 имеем общее решение уравнения (12): ψ(х) = А. sinkx + B. coskx. Граничные условия на волновую функцию ψ(0)=ψ(l)=0 диктуют выбор коэффициента В=0, и, следовательно, получаем частное решение уравнения (12): Ψ(х) = A. sin kx (13)

Нахождение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме • Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками Так как пси-функция должна удовлетворять условиям регуляризации, в частности должна быть непрерывной внутри и вне ямы (где нет частицы и ψ=0), то на границах (стенках) ямы должны выполняться условия: причем последнее условие выполняется, когда kl = ± πn (n = 1, 2, 3, …). Определяя k =± πn/l и подставляя в выражение (12*) для k 2, получаем собственные значения полной энергии частицы: где n = 1, 2, 3, …

Нахождение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме • Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками Согласно (14) энергия частицы квантуется, а энергетический спектр у нее – дискретный. Определение. Квантованные (собственные) значения энергии En называют энергетическими уровнями состояний частицы, а n – главным квантовым числом (оно определяет значение En). Из (14) следует, что существует минимальный возможный уровень энергии частицы, не равный « 0» : U―>∞ U(x) Е 3 ψ=0 0 Е 2 Е 1 U=0 U―>∞ ψ=0 l x При этой энергии частица находится в основном (невозбужденном) состоянии; все остальные состояния, начиная с Е 2, - возбужденные. Замечание. Е 2=4. Е 1 (n = 2), E 3=9. E 1 (n= 3) и т. д.

Нахождение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме • Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками Собственные функции для задачи с прямоугольной ямой получаются подстановкой k =± πn/l в решение (13): Ψ(х) =A. sin (πnх/l), где n =1, 2, … (15) Коэффициент А определяется из условия нормировки: Тогда выражение для нормированных собственных функций принимает вид: В частности, для основного состояния n = 1:

Нахождение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме ψn(x) En Ψ 3(x) Е 3 Е 2 Ψ 2(x) Ψ 1(x) Е 1 0 n ∞ l/2 l x En n ∞ Е 3 Е 2 Е 1 0 l/2 l x

Нахождение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме

Нахождение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме

Принцип соответствия Бора

Прохождение частицы через потенциальный барьер – туннельный эффект • Случай «высокого» потенциального барьера (E l); запишем уравнения Шредингера для этих областей в каноническом виде: [m; E] U 0 U(x) IIобл U=0 x l 0