Лекция 2 -19. 13. 4. 4. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена. l l Разложение функций проводится в два этапа: 1) Вычисляются производные. Составляется ряд Тейлора. 2) Находится интервал, где ряд Тейлора сходится, т. е. Теорема. Если в некотором интервале, окружающем точку абсолютные величины всех производных функции ограничены одним и тем же числом, то функция в этом интервале разлагается в ряд Тейлора.
Доказательство. l По условию (не зависит от интервалу, где ). Тогда для всякого , принадлежащего Но Следовательно принадлежащего интервалу. для всякого ,
l Особенно часто используют разложение при l Этот ряд называется рядом Маклорена.
13. 4. 4. 1. Разложение функции в ряд Маклорена. l l По формуле Тейлора Рассмотрим интервал фиксированное число. По теореме Следовательно l В частности для , где любое
13. 4. 4. 2. Разложение функции в ряд Маклорена.
13. 4. 4. 3. Разложение функции в ряд Маклорена. l Аналогично l Нечетные функции раскладываются по нечетным степеням. Четные функции раскладываются по четным степеням.
l l l Если исследование остаточного члена представляет затруднения (когда нельзя пользоваться доказанной теоремой), то: 1) Разлагаем функцию в ряд Тейлора. 2) Находим интервал сходимости. 3) Доказываем, что для всякого , принадлежащего интервалу сходимости. Обычно ряд Тейлора сходится к
Обратный пример. l Функция бесконечное число раз дифференцируема т. к. и т. д. Тогда все коэффициенты ряда Тейлора равны нулю. Ряд Тейлора состоит из членов равных нулю и сходится не к функции а к функции
13. 4. 4. 4. Биномиальный ряд. l где - любое число.
l Найдем интервал сходимости. Применим признак д’Аламбера. l Ряд сходится при Ряд расходится при l
Оценим остаточный член для Поэтому Здесь нельзя воспользоваться теоремой для оценки т. к. ограничение для производной зависит от. Применим неравенство, доказанное на прошлой лекции Правая часть неравенства есть -й член ряда, сходящегося при Следовательно • Для доказательство не приводим.
Итак • • Если - целое и больше нуля, то получим формулу бинома Ньютона. • Для разных могут входить в область сходимости одна или обе границы.
13. 4. 4. 5. Разложение функции в ряд Маклорена. l Воспользуемся формулой l При ряд сходится условно. Поэтому окончательно
Пример. l Ряд сходится, но очень плохо. Из теоремы Лейбница видно, что для точности необходимо членов ряда. Позже покажем как улучшить сходимость.
13. 4. 4. 6. Разложение функции в ряд Маклорена. l l Воспользуемся формулой т. к. знакочередующийся ряд сходится условно при
13. 4. 4. 7. Примеры. l 1) l 2)
13. 4. 5. Приближенное вычисление значений функций. l Пусть функция представима рядом Тейлора в окрестности точки Тогда точное значение функции можно вычислить по ряду Тейлора, а приближенное значение по частичной сумме. Ошибку можно оценить по остатку ряда Рассмотрим на примерах.
Пример 1. l В интервале По теореме об оценке остаточного члена ряда l При l Если l , то
Пример 2.
Пример 3. l