Лекция 2 -15. 13. Ряды. 13. 1. Числовые ряды. 13. 1. 1. Определение ряда и его суммы. l Пусть дана бесконечная последовательность. l l l Определение. Выражение называется рядом, а числа ряда. Краткая запись . - членами - общий член ряда. Ряд считается заданным, если задана функция
Примеры l 1) . l 2) . l Иногда ряд задают рекуррентной формулой. Пример. l Тогда и т. д.
Пусть дан ряд Обозначим частичной суммой ряда. . l Образуем последовательность частичных сумм l Определение. Если существует предел последовательности то ряд сходящийся и - его сумма. Если последовательность не стремится к пределу, то ряд расходящийся. Последнее имеет место в двух случаях: 1) 2) не существует l l l
Примеры: l 1) l 2) l 3) не существует.
Свойства сходящихся рядов. l l 1) Если ряд Доказательство. сходится, то сходится. l 2) Если ряды сходятся, то сходится ряд и l Доказательство. l 3) Если ряд сходится, то сходится и ряд, в котором выброшено конечное число членов.
Следствие. l Если ряд сходится, то сходится и любой его остаток.
13. 1. 2. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд. l Необходимый признак. Если ряд сходится, то l Доказательство. l Если Пример. l l то ряд расходится. Вообще стремление сходимости ряда. Ряд расходится. не означает
Гармонический ряд. l Запишем ряд в виде l Новый ряд расходится. Пример. l .
13. 1. 3. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости ряда. 13. 1. Признаки сравнения. l l l Рассмотрим ряд такой, что Лемма. Если частичные суммы ряда с положительными членами ограничены сверху то ряд сходится. Доказательство. т. к. Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то по признаку сходимости Вейерштрасса она имеет предел Если ряд сходится, то Если ряд с положительными членами расходится, то
l l l Признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами Тогда: 1) если сходится ряд (2), то сходится ряд(1); 2) если расходится ряд (1), то расходится ряд(2). Доказательство. 1) В силу леммы ряд (1) сходится. 2) l Признак справедлив, если условие (*) выполняется с какого-либо номера в силу 3 -го свойства сходящихся рядов.
Пример l Сравним с расходящимся рядом . исходный ряд расходится.
Предельный признак сравнения. l l Если то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно. Доказательство. или Пусть ряд (2) сходится. Тогда по свойству 1 сходящихся рядов сходится ряд и т. к. следовательно ряд (1) сходится. Если ряд (2) расходится, то в силу ряд (1) расходится.
Пример. l Сравним с расходящимся рядом Исходный ряд расходится.
13. 1. 3. 2. Признак д’Аламбера. l Пусть дан ряд Если существует предел l l l при при то - ряд сходится, - ряд расходится, - ряд может сходится или расходиться.
Доказательство. l Пусть Следовательно т. е. . Тогда Т. к. последний ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, то исходный ряд сходится. l Пусть и т. е. ряд расходится.
Примеры. l 1) Применим признак д’Аламбера. Ряд сходится. l 2) Применим признак д’Аламбера. О сходимости ряда ничего сказать нельзя. Необходимо применить другой достаточный признак сходимости.
13. 1. 3. 3. Радикальный признак Коши. l Пусть дан ряд Если существует предел l l l при при то - ряд сходится, - ряд расходится, - ряд может сходится или расходиться.
Пример. l l Применим радикальный признак Коши. Ряд сходится.