Лекция 2 13. 09. 12 г. • МНОЖЕСТВА (продолжение) • 1. Однозначно определяется своими элементами. • 2. В множестве не может быть одинаковых неразличимых элементов. • 3. Порядок элементов в множестве не существенен.
• Любое М содержит, по крайней мере, два подмножества - и само М (из операции ), т. к. М, М М. • М и называются несобственными подмножествами множества М. • Все остальные подмножества, если они существуют, называются собственными. • Семейство (множество) всех подмножества М обозначается (М). • Символ читается как «капа» .
• • Из определения следует, что (М), М (М) М и, каково бы ни было А, если А М, то А (М). А Кроме того, мощность подмножества (М) определяется как 2 n, где n – количество элементов множества М: если М нет, то (М) = { }, (20=1) нет если М = {a}, то (М) = {M, }, (21=2) { если М = {a, b}, то (М) = {M, , {a}, {b}}, { { (22=4)
4 • Добавление одного элемента в множество М увеличивает мощность семейства (М) вдвое. • Если |M| = m, то | (М)|= 2 m.
векторы • ВЕКТОР – это упорядоченный набор элементов (кортеж). • Понятие ВЕКТОР как и понятие МНОЖЕСТВА строго математического определения не имеет. • Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами вектора. Число координат называется длиной или размерностью вектора. Координаты нумеруются слева направо. • Отличие вектора от множества – координаты вектора могут совпадать.
Вектор записывается в круглых скобках (0, 5, 4, 5). Иногда скобки и даже запятые могут опускаться. Векторы длиной 2 часто называют упорядоченной парой (парами), длиной 3 – тройками, и т. д.
1 • Для векторов, как и для множеств, определены ряд операций. • Прямое произведение двух векторов (как и множеств) Ax. B есть множество всех пар (а, b) таких, что a A, b B. • Теорема в теории множеств утверждает, что мощность множества • |S|=|A 1 x A 2 x A 3 x … x An|= • = m 1 x m 2 x m 3 x …x mn. • Следствие из теоремы - |An|= |A|n !!!
1 • Мощность множества (полученное как произведение других множеств) равна произведению мощностей тех множеств, которые своим произведением образовали новое множество!
примеры 1. Множество Rx. R=R 2 - это множество пар вида (a, b), где a, b R, образуют двумерное пространство (плоскость). Пары (a, b) могут являются координатами точек некоторой плоскости. • Координатное представление точек плоскости исторически впервые предложил французский математик и философ Декарт, это исторически первый пример использования прямого произведения. Поэтому оно называется декартовым!
2. Множество А, конечное множество – элементы которого символы (буквы, знаки препинания, служебные знаки …), такие множества обычно называют АЛФАВИТ! элементы множества Аn называются словами длины n в алфавите А. Множество всех слов в алфавите А – это Ai = A 1 A 2 A 3 A 4 … i N При написании слов (это векторы) не принято пользоваться ни запятыми, ни скобками… (что это? )