Лекция 2 12 09 2012 1 Точечная симметрия

Лекция 2 (12. 09. 2012) 1. Точечная симметрия кристаллов. 2. Кристаллографическая элементарная ячейка. Примеры. 3. Введение в теорию групп точечной симметрии. Литература: 1. Ландау и Лифшиц, том III "Квантовая механика", Глава XII 2. А. И. Ансельм, “Введение в теорию полупроводников” 3. Г. Л. Бир и Г. Е. Пикус, “Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках”

Полное описание симметрии кристалла: Включает определение набора пространственных операций симметрии, оставляющих кристаллическую структуру неизменной. Чем больше операций входит в набор - тем "выше" симметрия кристалла. Кроме трансляционных преобразований симметрии существуют 1) точечные преобразования (повороты и отражения) оставляют на месте хотя бы одну точку 2) Более сложные операции симметрии, представляющие собой комбинацию точечных и трансляционных преобразований. Для определения операций симметрии необходимо учитывать как тип решетки Браве, так и строение соединения, т. е. базис примитивной ячейки. Симметрия кристалла не может быть выше, чем симметрия решетки Бравэ (ниже – может). Множество операций симметрии кристалла является подмножеством множества операций симметрии его решетки Браве.

Замечания о симметрии примитивной ячейки 1. Примитивная ячейка может обладать, а может и не обладать точечной симметрией решетки 2. Специальное построение – ячейка Вигнера-Зейтца, обладающая точечной симметрией решетки и свойствами примитивной ячейки 1. проводим линии, соединяющие данную точку с соседями 2. через середины этих линий перпендикулярно им проводим новые линии (или плоскости) 3. Часть решетки Бравэ, содержащую несколько примитивных ячеек и отражающую точечную симметрию кристалла называют кристаллографической (или условной) элементарной ячейкой.

Условная (кристаллографическая) ячейка простая кубическая решетка

объемно-центрированная (ОЦК) кубическая решетка Условная ячейка Обладает точечной симметрией всей решетки, совпадающей с симметрией простой кубической решетки

ОЦК - простая решетка или сложная? Условная ячейка Примитивная ячейка ?

Гране-центрированная (ГЦК) кубическая решетка Условная ячейка Примитивная ячейка ?

Гексагональная плотная упаковка Плотные упаковки твердых шаров: (вид сверху) гексагональная вид сбоку: А В А В С ГЦК В А С В А кубическая

Точечная симметрия кристаллов Это симметрия относительно поворотов и отражений Точечное преобразование в теории симметрии оставляет неподвижной хотя бы одну точку фигуры. Если при точечном преобразовании фигура переходит сама в себя, то говорят, что она симметрична относительно этого преобразования, т. е. обладает соответствующим элементом симметрии. (В дальнейшем используем т. н. обозначения Шенфлиса) 1. Элемент: ось симметрии порядка n. Преобразование: поворот вокруг оси на угол Обозначение: Cn - поворот на угол Теорема: Кристаллическая решетка, т. е. фигура, обладающая трансляционной симметрией, может иметь только оси симметрии порядков 2 (180 о), 3 (120 о), 4 (90 о) и 6 (60 о). (разобрать самостоятельно, см. Ансельм, стр. 50)

2. Элемент: плоскость симметрии. Преобразование: отражение относительно плоскости Обозначение: σ Если у фигуры есть одновременно плоскость симметрии и ось симметрии, то возможны два варианта обозначения плоскости: σv - плоскость симметрии проходит через ось симметрии. σh - плоскость симметрии перпендикулярна оси симметрии. 3. Элемент: точка центра инверсии. Преобразование: отражение относительно точки центра Обозначение: i Любая простая решетка симметрична относительно инверсии.

4. Элемент: зеркально-поворотная ось порядка n. Преобразование: последовательный поворот вокруг оси на угол 2π/n и отражение в плоскости, перпендикулярной оси. Обозначение: Sn Введем операцию произведения – А*В – последовательное выполнение операций симметрии А и В. Сначала выполняется правый сомножитель, а потом - левый. Примеры: Для любой фигуры можно определить множество, включающее все преобразования (операции) симметрии. Две фигуры обладают одинаковой симметрией, если эти множества совпадают.

Группы Пусть имеется множество (конечное или бесконечное) элементов {A, B, C, D. . . } и это множество обладает следующими свойствами: 1. Свойство полноты. Для элементов множества определено понятие произведения, т. е. любым двум элементам A и B ставится в соответствие третий элемент из этого же множества: A· B = C. ''Умножение'', вообще говоря, зависит от порядка, т. е. не обладает коммутативностью. 2. Свойство единицы. Существует элемент множества E, который обладает следующим свойством: A· E =E · A= A для любого A. Другими словами, постулируется существование единицы (единичного элемента) в этом множестве. 3. Условие существования обратного элемента. Для любого элемента A найдется в этом же множестве элемент, который мы обозначим через A– 1 и для которого выполняется равенство: A· A– 1 = A– 1 · A =Е. 4. Ассоциативность ''умножения'': (A· B)· C = A·(B· C). Тогда такое множество называется группой Если есть коммутативность умножения, то группа - "абелева"

Примеры - Множество целых чисел относительно операции сложения – ? группа: E = 0, A– 1 = –A - множество целых чисел относительно операции умножения – ? целые числа - нет обратного элемента - множество действительных чисел относительно операции умножения – ? действительные числа - нет обратного элемента для нуля - Положительные рациональные числа относительно умножения -? группа: Е=1, A– 1 = 1/A - Множество натуральных чисел относительно сложения или умножения -? не группа - Множество всех операций трансляций кристаллической решетки (“произведение” – последовательное применение операций) – ? группа: E - нулевая трансляция, А-1 - обратная трансляция

Теорема: Множество всех преобразований симметрии определенной фигуры, т. е. множество преобразований, при которых фигура переходит сама в себя, образуют группу. “Произведением” двух элементов этой группы является последовательное применение соответствующих преобразований симметрии: произведение A · B означает, что сначала было выполнено преобразование B, а затем преобразование A. Свойство полноты следует из того, что множество содержит все преобразования симметрии фигуры. Единичный элемент, Е — отсутствие преобразования, т. е тождественное преобразование; Обратный элемент — обратное преобразование. Можно доказать ассоциативность. Подгруппа – это подмножество элементов группы, которое само образует группу. Порядок группы – это число ее элементов. Порядок подгруппы является делителем числа элементов в группе.

Группа симметрии плоского равностороннего треугольника B c A вращения - против часовой стрелки (ось направлена на нас) a b C или С 3 v: Элементы симметрии - ось третьего порядка (С 3) и три плоскости типа σv (σa, σb, σc). Преобразования симметрии: С 3, С 32, σa, σb, σc, Е=C 33 (порядок - 6)

Преобразования симметрии плоского равностороннего треугольника B E σb c a C 3 2 σc C 3 A σa b C

Таблица умножения группы симметрии равностороннего плоского треугольника (C 3 v) С 3 v E E E C 3 C 32 σ a σb B σc ? σa σb σc c E σb a σc σa A При умножении сначала выполняем "горизонтальную" операцию b C

Таблица умножения группы симметрии равностороннего плоского треугольника (C 3 v) С 3 v E E E C 3 C 32 σ a σb B σc C 32 c ? σa σb σc E σb a σc σa A При умножении сначала выполняем "горизонтальную" операцию b C

Таблица умножения группы симметрии равностороннего плоского треугольника (C 3 v) С 3 v E E E C 32 σa σb σc C 32 σ a σb B σc C 32 E c ? E σb a σc σa A При умножении сначала выполняем "горизонтальную" операцию b C

Таблица умножения группы симметрии равностороннего плоского треугольника (C 3 v) C 32 σ a σb B С 3 v E E E C 32 C 3 σc C 32 E c σa σb σc σc σc E σb σa ? A При умножении сначала выполняем "горизонтальную" операцию a b C

Таблица умножения группы симметрии равностороннего плоского треугольника (C 3 v) С 3 v E E E C 32 C 3 σa σb σc σc σa C 32 σ a σb B σc C 32 E c ? При умножении сначала выполняем "горизонтальную" операцию E σb a σc σa A b C

Таблица умножения группы симметрии равностороннего плоского треугольника (C 3 v) С 3 v E E E C 32 C 3 σa σb σc σc σa C 32 σ a σb B σc C 32 E c E E σb σc ? При умножении сначала выполняем "горизонтальную" операцию a σa A b C

Таблица умножения группы симметрии равностороннего плоского треугольника (C 3 v) С 3 v E E E C 32 C 3 σa σb σc σc σa C 32 σ a σb B σc C 32 E c E C 3 ? При умножении сначала выполняем "горизонтальную" операцию E σb a σc σa A b C

Таблица умножения группы симметрии равностороннего плоского треугольника (C 3 v) С 3 v E E E C 32 C 3 σa σb σc σc σa C 32 σ a σb B σc C 32 E c E C 32 При умножении сначала выполняем "горизонтальную" операцию E σb a σc σa A b C

Таблица умножения группы симметрии равностороннего плоского треугольника (C 3 v) С 3 v E C 32 E E C 32 C 3 C 32 E C 3 σa σa σb σc σb σb σc σa σc σc σa σb σc σc σa σb σb σc σa вращения - против часовой стрелки E C 32 C 3 E При умножении сначала выполняем "горизонтальную" операцию Подгруппы С 3 v: E, C 32 – (3); E, σa – (2); E, σb – (2); E, σc – (2); E – (1)

Полезные геометрические свойства 1. Последовательное отражение в двух пересекающихся плоскостях эквивалентно повороту вокруг оси, совпадающей с прямой пересечения плоскостей, на угол, в два раза больший угла между плоскостями. σv σv'=C(2φ) 2. проходящей через ось поворота, эквивалентно отражению в другой плоскости, проходящей через ту же ось и образующую с первой плоскостью угол, равный половине угла поворота. σv'= σv C(2φ)

4. Следующие операции коммутативны - Два поворота вокруг одной оси - Два поворота на угол π вокруг взаимноперпендикулярных осей - Два отражения во взаимно-перпендикулярных плоскостях - Поворот и отражение в плоскости, перпендикулярной к оси поворота - Любой поворот (отражение) и инверсия в точке, лежащей на оси вращения (плоскости отражения)

Группы точечной симметрии 1. Группы Сn: группа поворотов вокруг оси симметрии n-го порядка. С 1 С 3 С 2 порядок группы - n, группе С 1=Е соответствует отсутствие всякой симметрии элементы группы - повороты вида , ;

2. Группы Sn: группа поворотов вокруг зеркально-поворотной оси четного порядка n=2 p. S 2 Если n=2 p - четное: Если n=2 p+1 - нечетно, S 3=C 3 h S 4 , порядок группы - n , группа Sn сводится к группе Сnh, включающей ось симметрии С 2 p+1 и перпендикулярную к ней плоскость симметрии σh. Группа S 2=Ci (группа инверсии) содержит два элемента - E и i - инверсию

3. Группы Cnh: получаются присоединением к оси симметрии n -го порядка перпендикулярной к ней плоскости симметрии. C 2 h C 3 h Порядок группы - 2 n, имеются n поворотов группы и n зеркально-поворотных преобразований Cnkσh (k=1, 2, . . . , n) C 4 h

4. Группы Cnv: получаются присоединением к оси симметрии n -го порядка проходящей через нее плоскость симметрии, что приводит к появлению еще (n-1) плоскостей, пересекающихся друг с другом вдоль оси под углами π/n. C 1 v C 2 v C 3 v Порядок группы - 2 n, имеются n поворотов группы и n отражений σv

5. Группы Dn: получаются присоединением к вертикальной оси симметрии n-го порядка перпендикулярной ей оси С 2, что приводит к появлению еще (n-1) горизонтальных осей С 2, так что углы между ними равны π/n. D 1 D 2 =V Порядок группы - 2 n: n поворотов вокруг Cn и n вращений вокруг осей С 2

6. Группы Dnh: получаются добавлением к системе осей Dn горизонтальной плоскости отражений σh, что приводит к появлению n вертикальных плоскостей σv, проходящих через ось Cn и одну из осей C 2. D 1 h D 2 h Порядок группы - 4 n: Элементы группы - 2 n элементов группы Dn , n отражений σv и n зеркально-поворотных преобразований Cnk σh

7. Группы Dnd: получаются добавлением к системе осей Dn вертикальной плоскости отражения σv посередине между горизонтальными осями C 2. Это приводит к появлению еще n-1 плоскостей, проходящих через ось Cn. D 1 d D 2 d Порядок группы - 4 n: Элементы группы - 2 n поворотов группы Dn, n отражений в вертикальных плоскостях и n преобразований вида C 2σv=S 2 n 2 k+1, т. е. Сn оказывается зеркально-поворотной осью порядка 2 n.

8. Группа осей тетраэдра T: получается добавлением к системе осей группы V (D 2) четырех наклонных осей третьего порядка, повороты вокруг которых переводят три оси второго порядка друг в друга. Удобно изображать, вписывая в куб: С 3 С 2

три оси C 2 и четыре С 3 симметричная проекция, взгляд с вершины Порядок группы - 12, элементы - E, 3*C 2, 4*C 32

9. Группа тетраэдра Td: содержит все преобразования симметрии тетраэдра. Получается добавлением к осям группы Т шести плоскостей отражения, каждая из которых проходит через одну ось второго и две оси третьего порядка. Оси C 2 превращаются в зеркально-поворотные оси S 4. Симметрию тетраэдра имеют кристаллы Ga. As, In. Sb Порядок группы - 24, элементы - E, 8(C 3, C 32), 6σ, 6(S 4, S 43), 3 C 2

10. Группа Th: получается из Т добавлением центра симметрии. В результате появляются 3 взаимно-перпендикулярные плоскости симметрии, проходящие через каждые две оси 2 -го порядка, а 4 оси третьего порядка становятся зеркально-поворотными осями 6 -го порядка. порядок - 24, элементы - T: E, 3*C 2, 4*C 32 +i, 8(S 6, S 65), 3σh

11. Группа O (октаэдра) – группа осей куба. Оси симметрии куба - три оси четвертого порядка, четыре оси третьего порядка и шесть осей второго порядка. Оси симметрии куба Плоскости симметрии Группа O содержит 24 элемента и состоит из преобразований поворота вокруг различных осей симметрии куба: E; 3 C 42; 3 C 43; 4 C 32; 6 C 2

12. Группа Oh: группа всех преобразований симметрии куба. Получается добавлением к группе О центра симметрии. С 3 -> S 6 (диагонали куба), появляются шесть плоскостей симметрии, проходящих через каждую пару противоположных ребер и три плоскости, параллельные граням куба. Порядок: 48, элементы - группа симметрии осей куба: E, 8* (C 3, C 32), 6* (C 4, C 43), 3*C 42, 6*C 2 + i, 8(S 6, S 65), 6(C 4σh, C 43σh), 3 σh, 6 σv

Оси и плоскости куба три оси четвертого порядка, четыре оси третьего порядка и шесть осей второго порядка. шесть плоскостей симметрии, проходящих через каждую пару противоположных ребер и три плоскости, параллельные граням куба.

Контрольные вопросы 1. Чем отличаются операции трансляционной и точечной симметрии? 2. Может ли симметрия кристалла быть выше (ниже), чем симметрия решетки Браве? 3. Какие преобразования симметрии должны учитываться при полном описании симметрии кристалла? 4. Что такое кристаллографическая элементарная ячейка? 5. Оси симметрии каких порядков совместимы с трансляционной симметрией? 6. Какая операция точечной симметрии входит в группу симметрии любой простой решетки 7. Формальное определение группы 8. Определение подгруппы 9. Что такое порядок группы? 10. Какому повороту эквивалентно последовательное отражение в двух пересекающихся плоскостях?

11. Перечислить элементы группы Сn 12. Какой группе эквивалентна группа Sn при нечетном n? 13. Порядок группы Сnh? 14. Перечислить элементы группы С 3 v 15. Перечислить элементы группы D 2

ЗАДАЧИ 1*. Являются ли однотипными атомы в ГЦК (гране-центрированной кубической) решетке, т. е. можно ли выбрать примитивный базис? Если можно, то как? 2*. Тот же вопрос для плотной гексагональной упаковки. 3*. Сколько атомов приходятся на одну "кристаллографическую" элементарную ячейку простой кубической, ОЦК и ГЦК решеток. 4. Вычислить относительную долю пространства, заполненного сферами, в следующих структурах: а) простая кубическая структура; б) ОЦК структура; в) ГЦК структура: 5. Проанализировать наличие эквивалентных плоскостей и осей в группах Сnv, Dn (два элемента симметрии эквивалентны, если в группе существует преобразование, переводящее их друг в друга)