Лекция 2 1 Математическая постановка обратных задач 2

Лекция 2 1. Математическая постановка обратных задач 2. Интерпретационная модель 3. Параметризация моделей 4. Типы операторов прямых задач

F(m) Оператор решения прямой задачи Прямая задача Геофизическое поле y Модель m(r) Обратная задача F-1(m) Оператор решения обратной задачи

Дано: Геофизические данные дискретные непрерывные Информация об ошибке наблюдений закон распределения матожидание и дисперсия

Известно: Уравнения связи между параметрами поля и параметрами источника Оператор решения прямой задачи

Геофизические данные – данные измерений геофизических полей Дискретные N- мерный вектор yi i=1, 2, …. . N Непрерывные Непрерывная функция у(t) – вектор в Бесконечномерном пространстве

Характеристики источника m(r) Модель Земли Пространство моделей Дискретные M - мерный вектор m i=1, 2, …. . M, компоненты которого различные физические параметры среды Непрерывные Непрерывная функция координаты m(r) Непрерывные модели - дискретизируют

Дискретизация непрерывных моделей

Дополнительно известно: Априорная информация Класс моделей Пределы изменения некоторых параметров Значения функции m (r) в некоторой части исследуемой области

Требуется: По заданной выборке наблюдений найти параметры модели Найти оператор решения обратной задачи

F(m) Прямая задача Геофизическое поле y Модель m(r) Обратная задача F-1(m)

Замечания • Обратная задача всегда решается в рамках принятой модели • При решении обратной задачи необходимо решать прямую задачу • Существуют различное понимание термина «модель»

2. Интерпретационная модель и ее роль в решении обратной задачи

Главные принципы интерпретации (по Страхову В. Н. ) Принцип модельности Решение обратной задачи всегда осуществляется в рамках определенных модельных представлений Принцип оптимальности Решение обратной задачи должно осуществляться в учетом всей имеющейся априорной информации

Этапы решения обратной задачи • Создание интерпретационной модели • Построение алгоритмов извлечения информации • Применение алгоритма к экспериментальному материалу

Адекватные Эквивалентные Классификация интерпретационных моделей Детерминистические Статистические Смешанные

Оптимальные модели 1. Учтена вся априорная информация 2. Все модельные характеристики принципиально могут быть определены 3. Обеспечена полнота извлечения полезной информации об источниках • Состоятельные - нарушаются условия 1 и 3 • Несостоятельные – нарушаются условия 1 2 3

Принцип обратной связи в интерпретационном процессе Входные данные Результат интерпретации Корректировка модели в процессе решения

Классы ФГМ • Одномерные • Двумерные • Трехмерные

Параметризация геологической среды • Параметризация сложно построенной среды означает формирование такой модели в характеристику которой входит перечень параметров с выделенным диапазоном их изменения либо с заданным законом изменения параметров (по Кобрунову) • Неоднозначность решения обратной задачи приводит к необходимости определять не искомую модель m(r), а только некоторые ее осредненные характеристики. Степень осреднения зависит от исходных данных и их погрешности. Замена искомой модели m(r) упрощенной моделью путем осредения называется параметризацией модели (Яновская Т. Б. ) • Параметризация среды означает ее замену моделью, описываемую конечным числом параметров

Основные принципы параметризации • Определяется узкий класс функций внутри которого производится поиск моделей • Выбранные функции характеризуются некоторыми параметрами. Задача сводится к определению этих параметров.

Линейные операторы F(m 1+m 2) =F(m 1)+F(m 2) F(λm) = λF(m) • Линейность оператора означает выполнения алгебраических законов умножения и сложения: • Линейный функционал – линейный оператор, переводящий элемент какого-либо пространства (например Rn) в пространство рациональных чисел R

Типы операторов прямой задачи • Нелинейная дискретная y = f(m) m и y – векторы определенной длины Fфункция • Линейная дискретная y = Fm m - вектор неизвестных размерности M y - вектор данных размерности N F – матрица M x N

Типы операторов прямой задачи • Линейная и непрерывная G(x) f(s, x) - оператор - ядро оператора. • Нелинейная и непрерывная m(x) - нелинейная функция неизвестной функции f(s, x, m(x))

Типы обратных задач • Линеаризованная Δy =FΔm Приращение параметров модели линейным образом зависят от приращения поля.

Определите тип оператора прямой задачи • Построение отражающей границы по годографу отраженной волны • Определение распределения плотности по данным гравиметрии