Лекция 18 29 02 2012 Электроны в металлах

Лекция 18 (29. 02. 2012) Электроны в металлах. Введение в квантовую теорию 1. Теория Зоммерфельда. Квантовый электронный газ (T=0) 2. Граничные условия Борна-Кармана. 3. Плотность состояний 4. Квантовый электронный газ (T≠ 0) 5. Теплоемкость металлов Литература: 1. Ландау и Лифшиц, «Статистическая физика. Часть 1", том V, Глава 5. 2. Н. Ашкрофт и Н. Мермин, “Физика твердого тела”.

Газ свободных электронов: квантовая теория Зоммерфельда Теория Друде споткнулась на вопросе о теплоемкости металла. Согласно классической статистике вклад каждого электрона в теплоемкость должен равняться. Экспериментально измеренная теплоемкость при комнатной температуре оказалась на два порядка меньше предсказанной - электронный вклад фактически отсутствует! Предположения теории Зоммерфельда в большинстве приложений совпадают со всеми предположениями модели Друде, кроме одного: Распределение электронов по скоростям описывается не классической статистикой Максвелла-Больцмана, а квантовой статистикой Ферми. Дирака Классическая статистика: Число электронов в единице объема, скорости которых лежат в интервале равно , где n -плотность электронов

Квантовая статистика Ферми-Дирака A&M: T 0 - температура, определяемая из условия нормировки: Распределения Максвелла. Больцмана и Ферми. Дирака при комнатной температуре и типичной металлической плотности. Масштаб одинаков для обоих распределений.

"Квантовый" электронный газ в основном состоянии (Т=0) Используем приближение свободных электронов - электроны не взаимодействуют с ионами решетки. Поэтому общая энергия электрона определяется только его кинетической энергией. Используем приближение независимых электронов - электроны не взаимодействуют друг с другом. Поэтому можно решать одноэлектронную задачу: вычислим уровни энергии отдельного электрона в объеме V и заполним эти уровни снизу вверх в соответствии с принципом Паули, который запрещает двум электронам одновременно занимать один электронный уровень Для описания отдельного электрона необходимо знать его волновую функцию и направление спина (одно из двух возможных: +1/2 или -1/2) Одноэлектронное стационарное уравнение Шредингера свободного электрона:

Будем искать решение уравнения Шредингера в виде плоской волны Нормировочный множитель выбран так, чтобы вероятность найти электрон где-либо внутри объема V была равна единице: При этом энергия Замечание оператор импульса Волновая функция импульса является собственной функцией оператора Действительно, уравнение для определения собственных значений и собственных функций оператора импульса Имеет решения вида Соответствующие собственному значению

Постулат квантовой механики Если состояние частицы описывается волновой функцией, являющейся собственной функцией какого-либо оператора, то соответствующая оператору физическая величина имеет в этом состоянии определенное значение, равное собственному значению оператора Таким образом, электрон с волновой функцией обладает определенным импульсом, который пропорционален - волновому вектору: и скоростью: Энергия электрона: де-бройлевская длина волны электрона

Циклические условия Борна-Кармана Вопрос: Что делать, если мы хотим описать свойства макроскопического образца с большим, но конечным числом атомов? Как выбрать граничные условия на поверхности да еще и сохранить при этом трансляционную и точечную симметрию гипотетического бесконечного образца? Ответ: Использовать циклические граничные условия, предложенные Борном и Карманом Макс Борн (1882 -1970) - немецкий физик, Нобелевская премия 1954 г. за фундаментальные исследования по квантовой механике Теодор фон Карман (1881 -1963) - физик, математик, механик венгерского происхождения. Работал в Германии и США. Теоретические основы самолетостроения

Периодические граничные условия Борна-Кармана: Искусственно вводим в прямом пространстве простую кубическую решетку с периодом L некоторым произвольным большим числом. Считаем, что в каждом кубе все свойства кристалла одинаковы Такой куб называют нормировочным кубом Граничные условия Борна-Кармана разрешают существование только определенных дискретных значений k, допускающих решение в виде плоской волны - целые числа Мы построили простую кубическую обратную решетку с периодом

Разрешенные волновые вектора k образуют в k-пространстве простую кубическую решетку n 1 , n 2 , n 3 целые числа Каждое разрешенное значение волнового вектора соответствует примитивной ячейке в k-пространстве с объемом , где - объем нормировочного куба - Плотность разрешенных волновых векторов в обратном пространстве

Связь “искусственной” периодичности Борна. Кармана и “естественной” периодичности кристалла - объем примитивной ячейки “прямой” решетки кристалла - объем первой зоны Бриллюэна, равный объему примитивной ячейки “обратной” решетки кристалла - плотность разрешенных волновых векторов в обратном пространстве Количество разрешенных волновых векторов в зоне Бриллюэна равно - числу примитивных ячеек в нормировочном объеме

Количество разрешенных значений волновых векторов, попадающих в "макроскопический" объем k-пространства : - число состояний соответствующей квазичастицы Если нормировочный куб достаточно велик, то число состояний в элементе объема обратного пространства Δ 3 k определяется только объемом куба Возможны и другие граничные условия, например, нулевые граничные условия на границах нормировочного куба соответствуют кубическому резонатору Между стенками резонатора укладывается целое число полуволн, поэтому в нем могут существовать только волны с разрешенными волновыми числами:

Определение Плотностью состояний квазичастицы называется число состояний на единицу объема, приходящихся на единичный интервал энергии: - число разрешенных состояний квазичастицы для единичного нормировочного объема (V=1), энергия которых находится в интервале от E до E+ΔE. Частный случай - энергия квазичастицы зависит только от модуля волнового вектора ky Поверхности постоянной энергии в обратном пространстве - сферы. Объем шарового слоя с малой толщиной Δk равен Δk kx

Плотность состояний квазичастицы в пространстве: Примеры: 1. Линейный закон дисперсии (фотоны или длинноволновые акустические фононы) 2. Квадратичный закон дисперсии (свободные электроны)

Вернемся к задаче о свободных электронах, волновая функция которых описывается как плоская волна: Область объемом Ω в k-пространстве содержит разрешенных значений k число разрешенных значений k в единице объема обратного пространства равно Будем размещать электроны на разрешенных дискретных уровнях согласно принципу запрета Паули: на каждый одноэлектронный уровень, задаваемый его волновым вектором k и проекцией спина , можно поместить не более одного электрона. Начнем с размещения двух электронов на уровнях с k=0 c наиболее низкой одноэлектронной энергией Е=0. Затем будем последовательно заполнять незанятые уровни с наиболее низкой энергией.

Число электронов N велико Область, занимаемая электронами в kпространстве аппроксимирует сферу - радиус этой сферы (фермиевский радиус) Число разрешенных значений k внутри сферы равно где V - нормировочный объем Если в объеме V имеется N электронов, то -электронная плотность

"Фермиевская" терминология - волновой вектор Ферми Сфера с радиусом k. F - сфера Ферми Поверхность в k-пространстве, отделяющая заполненные уровни от незаполненных - поверхность Ферми (для свободных электронов - поверхность сферы) - импульс Ферми - энергия Ферми - скорость Ферми Для газа свободных электронов все эти величины определяются только плотностью электронов проводимости

Для численных оценок полезно ввести параметр rs - радиус сферы, объем которой равен объему, приходящемуся на один электрон проводимости Боровский радиус, т. е. радиус атома водорода в основном состоянии Å-1 для большинства металлов находится между 2 -мя и 6 -ю волновой вектор Ферми имеет порядок одного обратного ангстрема, а соответствующая волна де Бройля - одного ангстрема

Итак, де-бройлевская длина волны электрона в металле с волновым вектором порядка фермиевского волнового вектора оказывается порядка постоянной решетки Существенны эффекты дифракции электронов на периодическом потенциале кристаллической решетки Скорость Ферми: Это при Т=0, когда в классическом газе скорости всех частиц равны нулю! Энергия Ферми: - Ридберг (энергия связи основного состояния атома водорода, удобная единица для измерения атомных энергий) при комнатной температуре

Найдем энергию основного состояния N электронов в объеме V: Суммируем энергию по всем одноэлектронным уровням внутри сферы Ферми Математическое отступление об интегрировании в k-пространстве Устремим нормировочный объем V из граничных условий Борна-Кармана к бесконечности. При этом число разрешенных волновых векторов в зоне Бриллюэна тоже будет стремиться к бесконечности. Это значит, что во всех формулах от суммирования по дискретным состояниям можно перейти к интегрированию по k-пространству. Как это сделать? Пусть есть сумма по разрешенным значениям k некоторой функции φ(k): Мы домножили и разделили сумму на примитивной ячейки в обратном пространстве - объем Будем считать что функция φ(k) почти не меняется на интервале δk и перейдем к пределу

Правило преобразования суммы в интеграл Тогда плотность энергии электронного газа ky Δk kx Объем шарового слоя с малой толщиной Δk равен

Найдем энергию основного состояния в расчете на один электрон. Для этого поделим плотность энергии на плотность электронов - Температура Ферми В классическом газе энергия, приходящаяся на один электрон:

"Квантовый" электронный газ Функция распределения Ферми-Дирака Вероятность того, что в состоянии теплового равновесия идеального электронного газа при температуре Т состояние с энергией Е занято электроном - химический потенциал: свободная энергия в расчете на один электрон - уровень Ферми

Теплоемкость металлов Теплоемкость при постоянном объеме: U - внутренняя энергия Для диэлектрика важен только решеточный вклад в теплоемкость В металле возможен также электронный вклад Внутренняя энергия электронного газа - сумма по всем одноэлектронным уровням произведений энергии электронов Е(k) на их среднее число на данном уровне: Плотность энергии (переходим от суммирования к интегрированию):

Вычислим плотность электронов Для дискретных задач значение f(E(k)) можно трактовать как среднее число электронов на одноэлектронном уровне с импульсом k. Поэтому полное число электронов , а плотность электронов выражается как Выражения для плотности электронов n и плотности энергии u имеют вид учтем, что подинтегральное выражение зависит от k только через энергию: Перейдем к сферическим координатам через Е: и выразим k где

- плотность уровней (состояний) g(E) часто выражают через энергию Ферми Вблизи поверхности Ферми Используем введенные обозначения Эти уравнения справедливы для любой функции плотности состояний, вычисленной для совокупности невзаимодействующих фермичастиц

Аналитически такие интегралы не берутся. Можно считать их численно, сводить к табулированным интегралам (интегралы Ферми) или использовать приближения, специфичные для конкретных задач. Приближение для металлов: комнатная температура для типичного металла Распределение Ферми отличается от распределения при T=0 только в малой области шириной порядка вблизи

Контрольные вопросы 1. В чем основное отличие теорий Друде и Зоммерфельда? 2. Волновая функция свободного электрона? 3. В каком случае для квантовомеханической системы некоторая физическая величина имеет определенное значение? Чему равно это значение? 4. Собственные значения и собственные функции оператора импульса для свободного электрона? 5. Что такое длина волны Де Бройля электрона? 6. Сформулировать граничные условия Борна-Кармана 7. Чему равно число разрешенных состояний в первой зоне Бриллюэна? 8. Определение плотности состояний квазичастицы 9. Общий вид зависимости плотности состояний от энергии для 3 -мерного квадратичного закона дисперсии 10. Сформулировать принцип Паули 11. Что такое поверхность Ферми?

12. Как радиус Фермиевской сферы зависит от плотности электронов? 13. От каких параметров зависит величина энергии Ферми для свободного электронного газа? 14. Распределение Ферми-Дирака? 15. Что такое уровень Ферми? 16. Как, зная спектр плотности состояний и функцию распределения вычислить электронную плотность? 17. Как, зная спектр плотности состояний и функцию распределения вычислить плотность энергии электронов?

Задачи новые Время жизни задач 1 -2 оканчивается 7 -го марта 1. Найти выражение для плотности состояний для свободных электронов (квадратичный закон дисперсии) для 1 а) "двумерных" электронов (квантовая яма) 1 б) "одномерных" электронов (квантовая проволока) 2. Определить для газа свободных и независимых электронов в случае двух измерений соотношение между n и k. F Время жизни задачи 3 не оканчивается 7 -го марта 3. Для газа свободных и независимых электронов в случае двух измерений определить величину химического потенциала μ

Задачи старые Время жизни задач оканчивается 7 -го марта 1. Рассчитать коэффициент отражения Al при нормальном падении на длине волны 500 нм. Статическая проводимость Al: Плотность носителей: 2. В модели Друде-Лоренца найти спектр коэффициента поглощения в приближении в виде зависимости. 3. Рассчитать глубину проникновения электромагнитной волны в глубину медного образца (статическая проводимость для двух частот: 50 Hz и 100 MHz. ) 4. Вычислить как функцию диэлектрических проницаемостей двух сред, разделенных интерфейсом металл-диэлектрик следующих величин: Значки || и соответствуют параллельной и перпендикулярной к интерфейсу компонентам полей в ППП. Остальные обозначения – из лекции 16.

5. Найти общее выражение для коэффициентов Френеля для 3 слойной среды (две среды полубесконечная, а третья – слой толщиной d между ними) как функцию коэффициентов Френеля rij, tij для интерфейсов между i-й и j-й средами.