Лекция 17. Аффинно - эквивалентные фигуры. Перспективно-аффинные преобразования, сжатие, родство. Аффинные преобразования пространства. Применение аффинных преобразований к решению задач. Литература. [1] § 49.
Аффинное преобразование называется перспективно-аффинным или родством, если оно отлично от тождественного и имеет, по крайней мере, две инвариантные точки. Теорема. Если f перспективно-аффинное преобразование, A и В - его инвариантные точки, то точка M в том и только в том случае является неподвижной точкой этого преобразования, когда она принадлежит прямой АВ.
Аналитическое представление родства
Лемма. Пусть f - перспективно-аффинное преобразование, M - произвольная точка плоскости, M’ = f(M). Тогда вектор коллинеарен некоторому постоянному вектору. Соответствующие другу точки при перспективно-аффинном преобразовании лежат на параллельных прямых. Если f перспективно-аффинное преобразование, M произвольная точка плоскости, не принадлежащая его оси, M' - её образ при этом преобразовании, то прямая ММ’ инвариантна при преобразовании f. Если прямая пересекает ось перспективно-аффинного пре-образования в некоторой точке M, то её образ при этом преобразовании также проходит через M. Если прямая параллельна оси, то её образ также параллелен оси этого преобразования.
Дана ось l перспективно-аффинного преобразования f и пара соответствующих точек M и M' = f(M). Построить образ произвольной точки N при этом преобразовании
Если прямые, соединяющие соответствующие точки перспективно-аффинного преобразования, не параллельны его оси, то оно называется косым сжатием плоскости, а направление таких прямых направлением сжатия. Если эти прямые параллельны оси перспективно-аффинного преобразования, то оно носит название сдвига плоскости.
Доказать, что образом окружности при сжатии к оси, проходящей через её центр, является эллипс.
Определение Две фигуры F и F' называются аффинноэквивалентными, если существует аффинное преобразование f, при котором f(F)= F’.
Даны два четырехугольника АВСD и A’B’C’D’, О и O' - соответственно точки пересечения их диагоналей AC и BD, А’С’ и В’D’. Тогда эти четырехугольники аффинно-эквивалентны в том и только в том случае, когда (АС, О) = (A’C’, O’), (BD, O) = (B’D’, O’). Следствие. Любые два параллелограмма аффинно-эквивалентны.
При аффинном преобразовании диаметры кривой второго порядка преобразуются в диаметры, a сопряженные диаметры - в сопряженные диаметры её образа. Взаимно перпендикулярные диаметры окружности при аффинном преобразовании переходят в сопряженные диаметры эллипса.
Пример Доказать, что при аффинном преобразовании сохраняется отношение площадей треугольников.
Дан параллелограмм АВСD, точка M принадлежит диагонали АС. Через M проведена прямая, параллельная АD, которая пересекает сторону DC в точке P. Доказать, что площади треугольников АВМ и АРD равны между собой.
Скачать презентацию Лекция 17 Аффинно — эквивалентные фигуры Перспективно-аффинные преобразования
Презентация лекции 17.pptx