Лекція 15 Тема Зростання і спадання функції Екстремум

Лекція 15 Тема. Зростання і спадання функції. Екстремум функції. 1. Зростання і спадання функції. Означення 1. Функція називається зростаючою, (спадною) в точці , якщо існує окіл точки такий, що для всіх виконується нерівність і для всіх Якщо функція є зростаючою (спадною) в кожній внутрішній точці проміжку , то її називають зростаючою (спадною) на цьому проміжку.

Необхідна ознака зростання (спадання) функції Якщо диференційовна на деякому проміжку функція зростає (спадає) на цьому проміжку, то Достатня ознака зростання (спадання) функції. Якщо для всіх , то функція зростає (спадає) на проміжку Означення 2. Проміжки, в яких функція зростає або спадає, називаються проміжками монотонності функції. Приклад 1. Знайти проміжки зростання і спадання функції

Розв’язання. Функція визначена для всіх Знайдемо похідну Розв’яжемо рівняння , тобто , звідки - корені рівняння Числа розбивають інтервал на три інтервали. Визначимо знаки на цих інтервалах. Для цього розв’яжемо нерівність методом інтервалів. Одержимо такий розподіл знаків (рис. 1): f ( x) – + -1 f ( x) + 1 х

при - інтервали зростання функції. при – інтервал спадання функції.

2. Екстремуми функції. Означення 3. Функція має в точці х0 максимум (мінімум), якщо існує окіл цієї точки, в якому для всіх виконується нерівність Означення 4. Значення називається максимумом (мінімумом) або локальним максимумом (локальним мінімумом) функції в точці х0 і позначається так:

y 0 а х1 х2 х3 х4 b х На рис. точки х1 і х3 – точки локального максимуму, а точки х2 і х4 – точки локального мінімуму функції Означення 5. Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму (локального екстремуму) функції на проміжку , а максимум і мінімум функції називаються екстремумами функції.

Означення 6. Точки, в яких , називаються стаціонарними, а точки, в яких або не існує, називаються критичними або “підозрілими” на екстремум. Кожна стаціонарна точка характеризується тим, що дотична до кривої проведена в точці , паралельна осі Ох, оскільки кутовий коефіцієнт дотичної На рис. стаціонарними точками є точки х2, х3 і х4. Точка х1, в якій похідна не існує, є критичною точкою функції.

Необхідна умова існування екстремуму. Для того, щоб точка х0, була точкою екстремуму функції, визначеної в околі цієї точки, необхідно, щоб похідна функції в цій точці була рівна нулю або не існувала в точці х0. Достатня умова існування екстремуму. Нехай диференційовна в околі критичної точки х0, за винятком, можливо, самої точки х0, в якій функція є неперервною. Тоді: 1) якщо при переході через точку х0 похідна змінює знак з плюса на мінус, то в точці х0 функція має максимум;

2) якщо при переході через точку х0 похідна змінює знак з мінуса на плюс, то в точці х0 функція має мінімум; 3) якщо при переході через точку х0 похідна не змінює знак, то точка х0 не є точкою екстремума функції. Алгоритм дослідження функції на екстремум за першою похідною. 1. Знайти область визначення функції. 2. Знайти критичні точки функції, тобто точки, в яких або не існує. 3. Визначити знак в околі кожної критичної точки.

4. Зробити висновок про характер критичної точки. 5. Обчислити екстремум функції в точці х0. Теорема 1. Якщо функція диференційована в околі стаціонарної точки , а в самій стаціонарній точці має похідну другого порядку, то: 1) якщо , то функція має в точці мінімум; 2) якщо , то функція має в точці максимум; 3) якщо , то в точці може бути екстремум, а може і не бути. Для розв’язання цього питання потрібно застосувати апарат дослідження на екстремум за першою похідною.

Алгоритм дослідження на екстремум за другою похідною 1. Знайти область визначення функції. 2. Знайти стаціонарні точки функції, тобто корені рівняння 3. Знайти 4. Перевірити знак в стаціонарних точках: а) якщо , то стаціонарна точка є точкою мінімуму функції; б) якщо , то стаціонарна точка є точкою максимуму функції; в) якщо , то користуємося алгоритмом дослідження на екстремум за першою похідною; 5. Обчислити в точках екстремуму.

Лекція 16 Тема. Опуклість, вгнутість. Точки перегину. 1. Опуклість, вгнутість, точки перегину. Означення 1. Крива називається опуклою (вгнутою) на проміжку, якщо всі точки кривої лежать нижче (вище) будь-якої її дотичної на цьому проміжку. З графіка функції (рис. ) бачимо, що крива на проміжку (а; с) є опуклою, а на проміжку (с; b) є вгнутою.

у y = f (x) М 0 a c b x

Означення 2. Точка, яка відокремлює опуклу частину кривої від вгнутої, називається точкою перегину. Якщо провести дотичну до кривої в точці перегину М, то одна частина кривої лежить нижче, а друга частина – вище цієї дотичної. Наведемо без доведення необхідні й достатні умови опуклості, вгнутості та існування точок перегину кривої

Необхідні умови опуклості (вгнутості) кривої Якщо на відрізку крива є опуклою (вгнутою), то для всіх точок Достатні умови опуклості (вгнутості) кривої Якщо на відрізку , то крива є опуклою (вгнутою) на цьому відрізку.

Необхідні умови існування точки перегину кривої Якщо х0 – точка перегину кривої , то або – не існує. Достатні умови існування точки перегину кривої Нехай точка х0 – критична точка другого роду, тобто або не існує, і Якщо при переході через точку змінила знак, то точка х0 – точка перегину кривої

Алгоритм дослідження функції на опуклість (вгнутість) і точки перегину. 1. Знайти область визначення функції. 2. Знайти другу похідну 3. Знайти критичні точки другої похідної, тобто точки, в яких або не існує. 4. Дослідити знак на інтервалах, на які розбивають область визначення функції її критичні точки. 5. Зробити висновок про характер інтервалів опуклості (вгнутості) та існування точок перегину. 6. Знайти точки перегину

2. Асимптоти графіка функції. Означення 3. Пряма, до якої нескінченно близько наближаються точки графіка функції при необмеженому віддаленні їх від початку координат, називається асимптотою кривої (рис. ). Асимптоти бувають: вертикальні, горизонтальні, похилі. 0

Означення 4. Пряма х=а називається вертикальною асимптотою кривої , якщо хоча б одна з односторонніх границь функції або дорівнює нескінченності. Вертикальні асимптоти шукають на кінцях області визначення функції або в точках, які перетворюють знаменник функції в нуль. Пряма є вертикальною асимптотою кривої

Означення 5. Пряма , де називається горизонтальною асимптотою кривої На рис. пряма є горизонтальною асимптотою для функцій і : -двосторонньою асимптотою для , бо ; -правосторонньою (односторонньою) асимптотою для , бо існує лише

y y=b y=f 2(x) b 0 y=f 2(x) x Означення 6. Пряма називається похилою асимптотою кривої .

На рис. пряма є похилою асимптотою для кривих і : – двосторонньою для , бо і ; – лівосторонньою (односторонньою) для кривої , оскільки скінченими є границі для і лише при : і , а при ці границі є нескінченними або не існують.

0

Приклад 2. Знайти асимптоти кривої: Розв’язання. Знайдемо точки, в яких знаменник функції дорівнює нулю. - вертикальні асимптоти кривої. Для горизонтальної асимптоти шукаємо отже, горизонтальної асимптоти крива не має. Для похилої асимптоти шукаємо

Отже, похила асимптота існує і має рівняння Це двостороння асимптота, оскільки значення і є обмеженими при

3. Загальна схема дослідження і побудови графіка функції. Алгоритм дослідження функції та побудови графіка. 1. Область визначення функції, точки перетину з осями координат. 2. Дослідження функції на парність (непарність), періодичність. 3. Знаходження асимптот графіка функції. 4. Дослідження функції на монотонність, екстремум. 5. Дослідження на опуклість (вгнутість) та точки перегину графіка функції. 6. Побудова графіка функції.

Приклад 3. Дослідити та побудувати графік функції Розв’язання. Дослідимо функцію за схемою. 1. Область визначення функції: , Отже, Перетин з осями координат: - з віссю Ох: , звідки х = 0; - з віссю Оу: , звідки . Отже, крива перетинає координатні осі лише в одній точці О(0; 0).

2. Дослідимо функцію на парність. отже, функція непарна, що свідчить про симетрію кривої відносно початку координат. Функція не є періодичною, оскільки вона не містить тригонометричних функцій.

3. Асимптоти кривої. Вертикальні асимптоти: . Дослідимо поведінку кривої в околі асимптот (рис. ). y -1 0 1 x

Горизонтальні асимптоти не існують, оскільки Похилу асимптоту обчисливши спочатку знайдемо, а потім Отже, існує похила двостороння асимптота у = х.

4. Дослідимо функцію на монотонність за похідною: Критичні точки першого роду у/= 0, коли х = 0 або у/ – не існує, коли Критичні точки розбивають вісь Ох на шість інтервалів монотонності. Знайдемо знак похідної на кожному з цих інтервалів, розв’язавши нерівність методом інтервалів.

Одержимо такі знаки на цих інтервалах (рис. ). f / ( x) + - - + -1 0 1 x f ( x) Маємо при – інтервали зростання функції, при – інтервали спадання функції. Отже, – точка , – точка Побудуємо точки та на графіку функції.

5. Дослідимо функцію на опуклість за другою похідною. Критичні точки другого роду у//= 0, коли х = 0 у// – не існує, коли Визначемо знак на інтервалах, на які розбивають вісь Ох ці критичні точки: y//>0, тобто

Розв’яжемо цю нерівність методом інтервалів і одержимо такий розподіл знаків (рис. ). f // (x) f ( x) - -1 + 0 1 + х Інтервали – інтервали опуклості, а інтервали – інтервали вгнутості кривої. Точка х=0 – точка перегину кривої, . Отже, маємо на графіку точку О(0; 0) – точку перегину кривої. Точки не є точками перегину кривої, бо не належать області визначення цієї кривої.

6. Побудова графіка функції. Використавши всі дослідження, будуємо графік (рис. ) B -1 0 1 x A