Лекция 15 Основные методы интегрирования интегрирование рациональных функций

Лекция 15. Основные методы интегрирования, интегрирование рациональных функций. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций. 1

§ 1. Метод интегрирования по частям. По значимости – это второй метод после метода подстановки. Формула интегрирования по частям является обращением формулы дифференциала произведения. Пусть U=U(x) и V=V(x) – некоторые функции. d(U·V)=d. U·V+U·d. V→Ud. V=d(U·V) – Vd. U. 2

Проинтегрируем это равенство: ∫Ud. V=U·V – ∫Vd. U При взятии интеграла ∫d(U·V)=U·V Данная формула позволяет свести вычисления интеграла от ∫Ud. V к вычислению интеграла ∫Vd. U , что бывает намного проще. 3

Пример 1. 4

Замечание. При вычислении интегралов методом по частям требуется определённое искусство в том, как лучше разбить подынтегральное выражение так, чтобы ∫V·d. U был простым для вычисления. Пример 2. 5

II способ (тупиковый). При нерациональном выводе может получиться более сложный интеграл. Когда мы разбиваем подынтегральное выражение ∫Ud. V на U и d. V, то dx содержится в d. V. 6

Некоторые интегралы приходится брать дважды по частям: Аналогично: 7

Интегралы вида: ∫x 3 sinxdx; ∫ x 3 cosxdx; ∫ x 3 exdx – берутся трижды по частям. И вообще: xnsinxdx; ∫ xncosxdx; ∫ xnexdx берутся n раз по частям. (Каждое применение метода по частям понижает степень x на единицу. ) Случается так, что повторное применение к интегралу метода интегрирования по частям приводит интеграл к самому себе. В этом случае мы имеем либо ничего не дающее тождество, т. е. интегрирование было проведено нерационально, либо получаем линейное уравнение относительно этого интеграла, и откуда его находим. 8

Пример. I= ∫exsinxdx; I= ∫excosxdx. Пусть 9

I = ex (sinx – cosx) – I; 2 I = ex (sinx – cosx); I=(1/2) ex (sinx – cosx) + c По значимости этот метод (после метода подстановки) занимает 2 – е место, однако есть интегралы, которые могут быть вычислены только этим методом: ∫xneaxdx xn = U ∫ xnsinaxdx ∫ xncosaxdx ∫xnlnmxdx ∫ xnarctgxdx ∫ xnarcsinxdx lnx = U 10

§ 2. Интегралы вида ∫ Pn(x)dx; ∫ cosmxdx; ∫ sinmxdx (m, n ϵ N). Pn(x)=a 0+a 1 x+…+anxn ∫Pn(x)=a 0∫dx+a 1∫xdx+…+an∫xndx =a 0 x+a 1(x 2/2)+ +an(xn+1/n+1)+c. ∫ cosmxdx; а). m=2 k+1 (нечётная) ∫ cosmxdx = ∫ cos 2 k+1 xdx = ∫ cos 2 kx·cosxdx = = ∫ (cos 2 x)k·dsinx = ∫ (1 – sin 2 x)kdsinx = [sinx = t] = = ∫ (1 – t 2)kdt – получим интеграл от многочлена, который легко вычисляется. 11

б). m = 2 k (чётная) ∫ cosmxdx = ∫ cos 2 kxdx = ∫ (cos 2 x)kdx = = ∫((1+cos 2 x)/2)kdx = (1/2 k)∫(1+cos 2 x)kdx Под знаком ∫ мы получили так называемый тригонометрический многочлен, переменной в котором является cos 2 x, причём многочлен в степени k , т. е. в два раза ниже, чем была в начале. Далее интегрируя этот тригонометрический многочлен: ∫(a 0+a 1 cos 2 x+a 2 cos 22 x+…+akcosk 2 x)dx Степени cos здесь чётные и нечётные, где нечётные – доводим до конца, где чётные – вновь понижаем в два раза, как это было в начале. 12

И так степень понижаем до тех пор, пока не получим табличные интегралы. Пример : 1). ∫ cos 3 xdx = ∫ cos 2 x·cosxdx = ∫ cos 2 x·dsinx = = ∫ (1 -sin 2 x)dsinx = [sinx = t] = ∫ (1 – t 2)dt = = t – (t 3/3)+c = sinx – (1/3)sin 3 x+c. 2). ∫ cos 2 xdx = ∫((1+cos 2 x)/2)dx ∫cos 4 xdx = ∫(cos 2 x)2 dx = ∫((1+cos 2 x)2/2)dx = = (1/4)∫(1+2 cos 2 x+cos 22 x)dx – нет проблем. Относительно ∫ sinmxdx рассуждения аналогичны, а именно: 13

а). m = 2 k + 1, и в этом случае: ∫ sinmxdx = ∫ sin 2 k+1 xdx = ∫ sin 2 kx·sinxdx = = – ∫ (1 -cos 2 x)kdcosx = [cosx = t]= ∫ (1 – t 2)kdt б). m = 2 k. Здесь: ∫ sinmxdx = ∫ sin 2 kxdx = ∫((1 – cos 2 x)/2)kdx = = (1/2 k) ∫(1 – cos 2 x)kdx 14

§ 3. Интегрирование рациональных функций. – рациональная функция, где Pn(x), Qm(x) многочлены соответствующих степеней n и m , n, m ϵ N. По другому такие функции называются рациональными дробями. При этом рациональная дробь называется правильной, если степень числителя строго меньше степени знаменателя n < m , и называется неправильной в противном случае n ≥ m , т. е. степень числителя больше или равна степени знаменателя. 15

Простые рациональные дроби Определение. Простыми рациональными дробями называются функции вида: , , n > 1 (1) , , n > 1, D < 0, т. е. (2) p 2 – 4 q < 0 Дроби вида (1) называются простыми рациональными дробями первого рода, и вида (2) – второго рода 16

17

x 2+px+q=x 2+2 x·(p/2)+(p 2/4 – (p 2/4)+q = = (x+(p/2)) 2 +q – (p 2/4) Заметим, что q – (p 2/4) > 0 (4 q – p 2)/4) > 0 , т. к. p 2 – 4 q < 0 Это даёт нам основание ввести обозначение q – (p 2/4) = a 2 18

19

20

n>1 21

22

23

Теорема (о разложении правильной рациональной дроби). Всякую рациональную дробь можно представить в виде суммы простых рациональных дробей (см. учебники). Пример: 24

Любая правильная интегрируема. рациональная дробь 25

Алгоритм для вычисления правильной рациональной дроби 1) Разложить на множители знаменатель дроби. 2) Представить эту дробь в виде суммы простых рациональных дробей. 3) Проинтегрировать полностью полученную сумму. Пусть f(x)-неправильная рациональная дробь , n≥m 26

В этом случае всегда можно разделить числитель на знаменатель. Результатом деления будет либо многочлен (если нацело), либо сумма многочлена и правильной рациональной дроби. Рациональная функция всегда интегрируема. «О разложении рациональной дроби в сумму простых» 27

28