Лекция 15 Интерференция света в тонких пленках Дифракция

Лекция 15. Интерференция света в тонких пленках. Дифракция света

Вопросы: n Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок n Применения интерференции света: просветление оптики, интерферометры n Принцип Гюйгенса – Френеля n Метод зон Френеля. Векторная диаграмма n Дифракция Френеля от круглого отверстия (и от круглого диска) n Дифракция Фраунгофера от щели n Предельный переход от волновой оптики к геометрической

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Интерференционные полосы равного наклона Пусть на прозрачную плоскопараллельную пластинку падает плоская монохроматическая световая волна, которую можно рассматривать как параллельный пучок лучей (на рис. представлен один из лучей ОА). В результате отражений от обеих поверхностей (верхней и нижней) пластинки исходная волна расщепится на две световые волны (лучи 1 и 2), которые при определенных условиях могут интерферировать. Амплитуды (и интенсивности) 1 2 3 4 О этих волн мало отличаются друг i от друга, а это важно для n 1≈1 получения контрастной интер. А С n ференционной картины. b Замечание. Кроме волн 1 и 2 возникают также многократноотраженные волны (лучи 3, 4, …) и волны, В прошедшие пластинку (лучи 1′, 2′, 1′ 2′ 3′ 3′, …), однако ввиду их малой интенсивности (при каждом отражении теряется до 95% светового потока) далее рассматривать эти пучки не будем. r

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Интерференционные полосы равного наклона Оптическая разность хода лучей 1 и 2 равна ∆ = lоп 2 – lоп 1 = n. (AB + BC) – AD, где n – показатель преломления пластинки. Так как (АВ + ВС) = 2. b/cos r, AD = (2. b. tg r). sin i, то после их подстановки в ∆ получаем ∆ = 2. n. b. cos r (1) Следует учесть, что при отражении света от границы раздела с оптически более плотной средой (луч 1) происходит скачок фазы колебаний на π у 1 2 О отраженной волны, т. е. , как i говорят, происходит «приобрете D n 1≈1 -ние» (или «потеря» ) этой А С волной полуволны λ/2. n b В соответствии с законом r преломления sin i = n. sin r полу. В ∆= (2)

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Интерференционные полосы равного наклона Таким образом, в случае когерентности волн 1 и 2 и при их соответствующем наложении получаем условие наблюдения максимумов Imax отражения: = m. λ или (3) где m = 0; 1; 2; …- интерференционный порядок. В случае падения света, распространяющегося в среде с показателем преломления n 1, на границу раздела со средой более плотной (n 2 > n 1) имеем условие наблюдения максимумов интенсивности в отраженном свете: = m(n 1. λ 1) (4) или с учетом, что длина волны света в вакууме λ 0 = n 1. λ 1: (4′) Условие минимумов интенсивности в отраженном свете: (5) или (5′)

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Интерференционные полосы равного наклона Меняя угол падения i света на пластинку, мы будем наблюдать последовательную смену интерференционных максимумов и минимумов отражения. Иначе говоря, будут наблюдаться интерференционные полосы равного наклона, т. е. соответствующие определенным углам падения лучей i. Для получения картины полос равного наклона можно использовать в качестве падающего – рассеянный монохроматический свет (он содержит лучи, падающие на пластинку одновременно под самыми разными углами), а на пути отраженного света поставить собирающую линзу и в ее фокальной плоскости разместить экран (см. рис. ). F i 1 i 2 Замечания. В данном эксперименте «полосы» представляют собой вид «Кольца» концентрических колец с центром F (фокус линзы), имеющие опреде. Экран ленную интенсивность (Imax или Imin). При таком положении экрана Линза говорят, что полосы равного наклона локализованы на бесконечности.

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Интерференционные полосы равного наклона Замечания. 1. Если удается наблюдать интерференционную картину в проходящем свете, то последовательность чередования полос изменяется на обратную: соответствующий Imin в отраженном свете становится Imax в проходящем свете. 2. При освещении пластинки белым светом получается окрашенная интерференционная картина (для некоторых λi выполняются условия максимумов, а для других λi+1 – условия минимумов). Определим условия, при которых отраженные волны будут когерентными и, следовательно, будут интерферировать, т. е. на практике для них выполняются соотношения: lког ≥ 2. ∆ и hког ≥ 2. d (6) Рассмотрим область когерентности (lког. hког) в падающей волне (на рис. заштрихована) и проследим за ее динамикой. После «расщепления» падающей lког волны расщепится и область когерентности, причем так, что в отраженных i hког волнах эти области сместятся относительно друга. Если при этом они перекрываются, то будет наблюдаться интерференция, и тем отчетливее, чем больше степень перекрытия.

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Интерференционные полосы равного наклона При увеличении толщины b пластинки область когерентности уменьшается и интерференционная картина становится все менее отчетливой и, начиная, с некоторой b интерференция исчезает. Согласно (3) и (6) условие когерентности отраженных волн: ≤ lког /2 (7) Из последнего соотношения можно оценить критическую толщину пластинки (полагая , пренебрегаяλ/2 и с учетом lког = λ 2/∆λ): b ≤ λ 2/(4. ∆λ). Также поперечный сдвиг (с) частей lког области когерентности не должен c превосходить половины ширины hког i когерентности, т. е. с ≤ hког/2. При b этом чем меньше угол падения света i, тем меньше величина с и, следовательно, тем меньшая требуется ширина когерентности.

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Интерференционные полосы равной толщины Если стеклянная пластинка имеет форму клина с малым углом раскрытия α << 1, и на нее падает плоская монохроматическая световая волна, то в этом случае отраженные от поверхностей клина волны будут распространяться под разными углами. Выясним, где будет локализована интерференционная картина; это проще сделать при исследовании области когерентности после расщепления волны при отражении от поверхностей клина. Ясно, что при небольших lког и hког область перекрытия когерентных lког участков отраженных волн локализоc вана в основном вблизи поверхности hког i клина и становится все более узкой α по мере перемещения в сторону утолщения клина, исчезая совсем. Так как разность хода лучей, отразившихся от различных мест клина, неодинакова, в зоне интерференции появятся светлые и темные полосы, параллельные ребру клина.

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Интерференционные полосы равной толщины Каждая из этих полос возникает при суперпозиции отраженных лучей от участков клина с одинаковой толщиной, поэтому их называют полосами равной толщины. С помощью линзы, сфокусированной на верхнюю грань клина, интерференционную картину с его поверхности можно отобразить на экран, расположенный за линзой в плоскости, сопряженной с плоскостью клина, где пересекаются отраженные лучи (они обладают когерентностью). В этом случае картина будет Э наблюдаться даже тогда, когда прост. Л ранственная когерентность падающей i волны – мала. ЗИ Полосы равной толщины можно α также наблюдать в тонкой клиновидной прослойке воздуха между поверхностями двух прозрачных (относительно толстых) пластинок. Это явление используется при контроле качества шлифованных поверхностей плоскопараллельных пластинок.

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Интерференционные полосы равной толщины Кольца Ньютона – это кольцевые полосы равной толщины, наблюдаемые при отражении света от поверхностей (воздушного) зазора между стеклянной пластиной и соприкасающейся с ней плоско-выпуклой линзой. При нормальном падении света кольца имеют вид концентрических окружностей с центром в точке касания О. С Из рисунка видно, что для радиуса некоторого кольца R выполняется r 2=R 2 –(R-b)2, λ а при условии b<

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Применения интерференции света Просветление оптики В основе технологии просветления оптики (объективов) лежит интерференция света при отражении от тонких пленок. Дело в том, что при прохождении света через каждую преломляющую поверхность линзы (призмы и т. п. ) отражается до 4… 5 % падающего света. В сложных объективах такие отражения могут происходить многократно, и суммарная потеря светового потока оказывается весьма ощутимой. Например, в призменном бинокле – больше 50 %. Кроме того, отражения от поверхностей линз приводят к возникновению бликов. С целью устранения потерь на отражение применяют просветление оптики, т. е. на каждую свободную поверхность линзы наносится (напыляется) тонкая пленка прозрачного диэлектрика с показателем преломления (8) где n 1 и n 2 – показатели преломления сред, между которыми находится пленка. Диэлектриком могут быть соединения Cd. F 2, Mg. F 2.

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Применения интерференции света Просветление оптики В этом случае амплитуды отраженных от обеих поверхностей пленки волн оказываются [см. теорию Е′m /Em = (n 1 – n 2)/(n 1 + n 2)] практически одинаковыми, и для них можно записать равенство Е′ 1/Е ≈ Е′ 2/Е, а в случае исходной воздушной среды n 1 ≈ 1 получаем (1 - n′)/(1 + n′) ≈ (n′ n 2)/(n′ + n 2), откуда собственно следует условие (8) для n′. Толщина пленки b выбирается такой, чтобы отраженные волны оказывались в противофазе, т. е. при наложении гасили друга. Следовательно из условия минимумов при норb мальном падении света с длиной Линза n 1 волны λ: 2 b. n′ = (m + ½). λ, где m = n′ n E 0, 1, 2, … и учтено, что обе волны 2 λ отражаются от оптически более плот. E′ 1 E′ 2 ных сред и испытывают скачок фазы на «π» (потеря ими λ/2), можно определить ряд возможных толщин b = (m + ½). λ/. При этом с целью минимизации поглощения света пленкой следует выбирать: bmin = λ/ при m =0.

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Применения интерференции света Интерферометры Интерферометр Жамена выполняет роль интерференционного рефрактометра, т. е. прибора для измерения показателя преломления. Интерферометр состоит из двух плоскопараллельных пластин А и В, источника света (щель) S, двух калиброванных кювет К 1 и К 2 и окуляра Ок. Узкий пучок света от источника S падает под углом i = 45° на достаточно тонкую пластинку А, где в результате отражений и преломлений расщепляется на два пучка (луча) 1 и 2. Далее эти лучи проходят через кюветы калиброванной длины l, попадают на пластинку В S для повторных отражений и преλ i l ломлений, которая направляет их B n 1 K 1 в окуляр Ок. Лучи 1 и 2 – когерентны и могут интерферировать, A K 2 поэтому в окуляре наблюдается n 2 интерференционная картина, по. Ок ложение полос которой зависит от разности хода лучей ∆ = (n 2 – n 1). l.

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Применения интерференции света Интерферометры Интерферометр Жамена обычно настраивается по картине в окуляре при заполнении кювет воздухом, когда n 1 = n 2 ≈ 1. При заполнении одной из кювет (пусть К 2) исследуемой средой (газом), показатель преломления n 2 которой надо определить, наблюдается смещение исходной интерференционной картины на m - полос. Возникающую оптическую разность хода ∆ лучей 1 и 2 можно связать со смещением картины как ∆ = m. λ, поэтому искомая величина легко определяется из уравнения для ∆, т. е. n 2 = m. λ/l + 1. Интерферометр Майкельсона – прибор, предназначенный для точного измерения малых длин. С его помощью впервые была измерена длина световой волны, проведено изучение тонкой структуры спектральных линий, выполнено первое прямое сравнение эталонного метра с длиной волны света. С помощью этого интерферометра был осуществлен знаменитый опыт Майкельсона и Морли, доказавший независимость скорости света от движения Земли (от движения источника света).

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Применения интерференции света Интерферометры Рассмотрим упрощенную схему интерферометра Майкельсона. Монохроматический свет от источника S падает на разделительную пластину Р, которая состоит из двух одинаковой толщины плоскопараллельных стеклянных пластинок, склеенных между собой. Причем одна из склеиваемых поверхностей покрыта полупрозрачным слоем серебра. Пластина Р разделяет падающий на нее свет на два взаимно перпендикулярных пучка 1 и 2 одинаковой Пучок 1, отраженный затем от интенсивности. зеркала З 1, вторично падает на З 1 разделитель, где снова расщепля 1 ЗТ Р -ется на две части; одна из них 1′ 1′ З 2 отражается в сторону зрительной трубы ЗТ, другая - идет к 2 2′ источнику S (далее не используется). Пучок 2, выйдя из пластиλ ны, отражается от зеркала З 2, S возвращается к Р, где опять расщепляется на две части, одна из которых 2′ попадает в трубу.

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Применения интерференции света Интерферометры Таким образом, от одного источника S образуются два пучка примерно одинаковой амплитуды, которые распространяются после разделительного слоя (Р) в разных плечах интерферометра. После отражений в зеркалах они снова встречаются и создают при условии временной и пространственной когерентности интерференционную картину в объективе зрительной трубы ЗТ. Зеркало З 1 – неподвижно, а зеркало З 2 можно с помощью микрометрических винтов перемещать поступательно (r) и З 1 φ изменять его наклон (φ). 1 ЗТ З′ 1 Р Заменим мысленно зеркало З 1 1′ З 2 его мнимым изображением З′ 1 (в полупрозрачном зеркале Р). 2 2′ Тогда пучки 1′ и 2′ можно r рассматривать как возникающие λ при отражении от «прозрачной S пластинки» , ограниченной плоскостями З′ 1 и З 2.

Интерференция света при отражении (преломлении) от тонких пластинок • Применения интерференции света Интерферометры Вид интерференционной картины зависит от юстировки зеркал и от расходимости пучка света, падающего на разделитель (Р). Случай 1. Если пучок слегка расходящийся, а плоскости З′ 1 и З 2 параллельны, то получаем полосы равного наклона, имеющие вид концентрических колец. При поступательном перемещении З 2 к З′ 1 радиусы колец уменьшаются, кольца стягиваются к центру (где и исчезают). Смещение картины на одну полосу соответствует перемещению З 2 на λ/2. Замечание. Визуально можно оценить смещение с точностью до 1/20 полосы. Прибор обладает высокой разрешающей силой λ/dλ. Случай 2. Если пучок от источника S параллельный, а плоскости З′ 1 и З 2 – не параллельны, то в трубе ЗТ будут наблюдаться полосы равной толщины (как от клиновидной пластинки). Замечание. При больших расстояниях между З′ 1 и З 2 и высокой степени монохроматичности света (λ/∆λ) удается с помощью нелазерных источников наблюдать интерференцию до m ≈ 106 порядка.

Принцип Гюйгенса - Френеля • Краткое введение в дифракцию света Под дифракцией света понимают совокупность явлений, наблюдаемых при распространении световых волн в среде с резкими неоднородностями (края экранов, отверстия в непрозрачных телах и т. п. ) и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Дифракция приводит к огибанию световыми волнами непрозрачных преград и проникновению света в область геометрической тени. Для наблюдения дифракции световых волн необходимо создание специальных условий, обусловленных малостью длин λ этих волн. Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн. В основном по историческим причинам, перераспределение интенсивности, возникающее в результате наложения волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников, называют интерференцией. А перераспределение интенсивности, возникающее вследствие наложения волн – от когерентных источников, расположенных непрерывно, называют дифракцией волн.

Принцип Гюйгенса - Френеля • Краткое введение в дифракцию света Наблюдение дифракции проводится обычно по схеме: на пути света (от источника S) помещается непрозрачная преграда (П), закрывающая часть волнового фронта, за преградой располагают экран (Э), на котором при определенных условиях возникает дифракционная картина в виде той или иной системы полос, колец или пятен, т. е. чередующихся максимумов и минимумов освещенности. Различают два вида дифракции: дифракция Френеля (дифракция в расходящихся – сходящихся лучах) S Э П Р a b дифракция Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах; когда расстояния а и b очень велики; по схеме Юнга) Л 1 П Л 2 S f 1 a b f 2 Э Р

Принцип Гюйгенса - Френеля • Основной принцип волновой оптики Расчет интерференционно-дифракционной картины, т. е. определение закона распределения интенсивности света, можно провести точно путем решения системы уравнений Максвелла при известных граничных условиях, однако это будет связано с большими математическими трудностями. На практике часто оказывается вполне достаточным приближенный метод решения этой задачи, основанный на принципе Гюйгенса – Френеля. Этот принцип является основным постулатом волновой теории, описывающим механизм распространения и взаимодействия (наложения) волн. Согласно Х. Гюйгенса: в некоторый момент времени t каждая точка (Si) волнового фронта служит источником (элементарным виртуальным центром) вторичных волн, а огибающая этих волн определяет положение фронта волны в следующий момент (t + Δt). в однородной Si в неоднородной среде t (t+Δt) П d среде плоская волна

Принцип Гюйгенса - Френеля • Основной принцип волновой оптики О. Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн: так как все вторичные источники принадлежат одной волновой поверхности, то они – когерентны, и следовательно, волны, вызванные их действием, при наложении могут интерферировать и определять соответствующий интерференционный результат за пределами поверхности. Рассмотрим непрозрачный экран (Э) с некоторым отверстием (S), через которое проходит свет от точечного монохроматического источника S 0; требуется определить напряженность Е светового вектора (или амплитуду колебания АР) в точке Р перед экраном (куда еще в данный момент волна не дошла). Согласно принципа Гюйгенса. Э k Френеля каждый элемент d. S волновой поверхности S, открытый отверстием экрана, служит источником вторичной d. S волны, амплитуда S S P сферической r которой пропорциональна величине S 0 d. S и амплитуде первичной волны а 0, пришедшей к этому элементу.

Принцип Гюйгенса - Френеля • Основной принцип волновой оптики Так как амплитуда сферической волны убывает с расстоянием r от источника как 1/r, то от каждого открытого элемента d. S, в точку Р придет элементарное колебание: d. E = K( ). a 0 /r. d. S. cos(. t – k. r +α 0), где (. t +α 0) – фаза колебания в месте расположения отверстия S, k – волновое число, К( ) – угловой коэффициент (0 К( ) 1), зависящий от угла между волновым вектором k (или нормалью п к площадке d. S) и направлением на точку Р. Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию элементарных колебаний, взятых от всей открытой волновой поверхности S: EP = ∫K( ). a 0 /r. cos(. t – k. r +α 0). d. S (9) Формула (9) является аналити. Э k ческим выражением принципа Гюйгенса-Френеля, т. е. для определе d. S ния амплитуды колебаний в точке Р, S S P лежащей перед некоторой поверхr S 0 ностью S, надо найти амплитуды колебаний от всех элементов d. S и затем сложить их с учетом фаз.

Метод зон Френеля. Векторная диаграмма • Расчет размеров зон Френеля Вычисления по формуле (9), вообще, достаточно сложны. Однако, как показал Френель, в случаях, отличающихся определенной симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебания может быть осуществлено простым алгебраическим или геометрическим суммированием. Френель предложил разбивать открытую волновую поверхность на зоны, конфигурация которых зависит от симметрии рассматриваемой задачи. Рассмотрим дифракцию Френеля от круглого отверстия при падении на преграду сферической волны. Пользуясь методом зон Френеля, определим амплитуду колебаний в точке Р за отверстием на его оси. Волновая поверхность S, S S 0 a П O b которая перекрывает отверb+4λ/2 стие преграды П, симметриb+λ/2 чна относительно прямой S 0 P, поэтому ее целесообразно P «разбить» на кольцевые зоны с центром в (. ) О так, чтобы расстояние от краев каждой зоны до (. ) Р отличалось друг от друга на λ/2.

Метод зон Френеля. Векторная диаграмма • Расчет размеров зон Френеля Определение. Симметричные относительно оптической оси зоны, на которые можно «разбить» свободный волновой фронт и расстояния от границ которых до точки наблюдения отличаются друг от друга на полволны (а колебания, приносимые в эту точку соответствующими световыми лучами, находятся в противофазе), называются зонами Френеля. Определим внешний радиус m-ой зоны Френеля rm. Для этого найдем отрезок СО = ha+ hb = m. λ/2. Из рисунка видно, что для ΔS 0 AB: rm 2 = a 2 - (a – ha)2= (2 a – ha). ha. Как правило, ha<<2 a, а поэтому, учитывая малость ha 2, можно считать: rm 2≈2 a. ha или ha≈rm 2/2 a. Аналогично можно получить для ΔBAP: rm 2 = (b + mλ/2)2 – (b + mλ/2 – hb)2 = (2 b + mλ – hb)hb, A и пренебрегая слагаемыми с mλ bm= b+mλ/2 и h 2 по сравнению с 2 b, имеем b a hb≈rm 2/2 b. Подставив выраже. S 0 P ния для ha и hb в их сумму, C O b получаем rm 2(1/2 a +1/2 b) = ha hb B mλ/2. Таким образом для падающей сферической волны имеем: (10)

Метод зон Френеля. Векторная диаграмма • Расчет размеров зон Френеля В случае нормального падения на отверстие плоской волны (для нее а ∞) имеем: (11) Определим площадь m-ой зоны Френеля ΔSm. Для этого найдем разность боковых поверхностей сферических сегментов с основаниями Øm= 2 rm и Øm-1= 2 rm-1, используя известную формулу для такой поверхности S = 2. a. ha: ΔSm = Sm – Sm-1 ≈ λ. ab /(a + b) (12) Как видно, все зоны Френеля – равновелики (их поверхности не зависят от номера m).

Метод зон Френеля. Векторная диаграмма • Расчет дифракции от круглого отверстия Фазы колебаний, возбуждаемых в (. ) Р соседними зонами Френеля, отличаются на π (т. е. находятся в противофазе), поэтому амплитуда результирующего колебания может быть представлена в виде алгебраической суммы амплитуд, обусловленных действием соответствующих зон Френеля: АР = А 1 – А 2 + А 3 – А 4 + … ± А m (5) Причем для зон Френеля выполняется неравенство: А 1> А 2 > А 3 > … Аm – 1 > Am , так как расстояние bm от зоны до (. ) Р монотонно растет с номером m и угол φ также растет, а коэффициент К(φ) в уравнении (1) – быстро уменьшается. Вывод. Результирующая амплитуда (и интенсивность) зависит от того, четное или нечетное число m зон Френеля умещается в отверстии для точки наблюдения Р: - если m нечетное, то получаем Imax, – если m четное, то получаем Imin. Таким образом можно представить рекурентную формулу: АР = А 1/2 ± Аm/2 (5′)

Метод зон Френеля. Векторная диаграмма • Расчет дифракции от круглого отверстия Если представить случай полностью открытого волнового фронта, то имеем: АР = А 1/2 + (А 1/2 – А 2 + А 3/2) + (А 3/2 – А 4 + А 5/2) + … + (Аm-1/2 – Аm + Am+1/2) (6) а с учетом, что Am-1/2 + Am+1/2 = Am, как среднее значение, то все выражения в скобках в (6) равны нулю и, следовательно, АР = А∞ ≈ А 1/2 (7) Таким образом, амплитуда в (, ) Р, создаваемая всей сферической волновой поверхностью (или бесконечным числом открытых зон Френеля), равна половине амплитуды от 1 -ой зоны Френеля. • Векторная диаграмма является наглядной графической иллюстрацией метода зон Френеля. В этом случае каждую зону разбивают на огромное число N элементарных кольцевых подзон. Амплитуду колебаний, создаваемых каждой подзоной, изображают в виде элементарного амплитуд-вектора d. A.

Метод зон Френеля. Векторная диаграмма • Векторная диаграмма Вследствие увеличения расстояния r и уменьшения коэффициента К(φ) амплитуда колебаний от каждой следующей подзоны будет чуть-чуть меньше по модулю и отставать по фазе на dδ от колебаний предыдущей подзоны. Откладывая из (. ) О некоторой горизонтальной базы последовательно все N амплитуд-векторов d. Ai с соответствующим поворотом на угол dδ против часовой стрелки, можно получить векторную цепочку, которая определяет действие всей открытой 1 -ой зоны Френеля. Замыкающий эту цепочку вектор А 1 есть амплитуд-вектор полностью открытой 1 -ой зоны Френеля. δ=π δ = 2π d. AN А 1 О δ = 3π Спираль Френеля А 3 dδ A 2 0 О A∞≈ А 1/2 О О d. A 1 Открыта вся Открыта 1 -я Открыты две первые Открыты три первые волновая зоны Френеля зона Френеля поверхность

Метод зон Френеля. Векторная диаграмма • Векторная диаграмма Таким образом, по мере увеличения радиуса отверстия в преграде амплитуда колебаний (и интенсивность света) в (. ) Р изменяется не монотонно при переходе от одной зоны Френеля к другой. Монотонное изменение амплитуды происходит только в пределах одной наблюдаемой зоны. Замечание. Аналогичную динамику изменения освещенности экрана можно наблюдать, если вместо увеличения отверстия – приближать к нему экран с точкой наблюдения Р. Выводы. Наибольшая освещенность в центре экрана наблюдается при полностью открытой 1 -ой зоне Френеля (I 1). Так как интенсивность света I пропорциональна А 2, то интенсивность в (. ) Р при полностью открытой волновой поверхности (А∞ = А 1/2) в 4 раза меньше, чем при открытой только 1 -ой зоне Френеля, т. е. I∞ = I 1/4. При полностью открытых первых двух зонах результирующая амплитуда А 2 0 и, следовательно, I 2 0, хотя световой поток через отверстие – вдвое больше. Замечание. Если отверстие открывает лишь часть 1 -ой зоны Френеля, то на экране получается размытое светлое пятно.

Дифракция Френеля от круглого отверстия (и от круглого диска) • Дифракционные картины в зависимости от числа зон Френеля Дифракционная картина от круглого отверстия в центре экрана будет иметь либо светлое пятно (см. рис. ) при нечетном числе m открытых зон Френеля, либо темное пятно при четном числе зон, а вокруг пятна будут наблюдаться концентрические чередующиеся светлые и темные кольца. Распределение интенсивности по экрану I(r) [r – расстояние от центра экрана] I(r) В случае, когда: P Экран r m – нечетное число I(r) P r m – четное число

Дифракция Френеля от круглого отверстия (и от круглого диска) • Зонные пластинки Если поставить на пути световой волны пластинку (экран), состоящую из чередующихся прозрачных и непрозрачных колец, радиусы которых совпадают с радиусами зон Френеля для конкретных значений параметров (a, b, λ), то эта пластинка закроет все четные (отрицательные) зоны Френеля и оставит только нечетные (положительные) зоны. При этом амплитуда (и интенсивность) в (. ) Р резко возрастет, так как в этом случае работает формула: АР = А 1 + А 3 + А 5 + … Таким образом, зонная (ампa b литудная) пластинка, содержаан Экр щая n открытых зон Френеля, создаст в точке наблюдения Р ЗТ P интенсивность примерно в n 2 раз большую, чем отверстие S размером в 1 -ю зону, т. е. получим IP ≈ n 2. I 1. Замечание. Действие зонной пластинки подобно фокусирующему действию собирающей линзы.

Дифракция Френеля от круглого отверстия (и от круглого диска) • Дифракция Френеля от круглого (малого) диска I(r) O r Поместим между источником света S и точкой Р непрозрачный круглый диск D радиуса r 0. Если диск для (. ) Р, находящейся на оптической оси, перекроет m первых зон Френеля, то амплитуда в этой точке будет: АР = Аm+1 – Аm+2 + Аm+3 - … = Am+1/2 + (Am+1/2 – Am+2 + Am+3/2) + … ≈ Am+1/2, так как все выражения в скобках можно считать равными нулю. Таким образом, результирующая амплитуда в (. ) Р будет равна половине амплитуды от первой отк. D рытой диском зоны Френеля, а интенсивность IP ≈ r 0 P 1/4. Im+1. S Дифракционная картина имеет вид чередующихся светлых и темных концентрических колец с центра. Экран льным светлым пятном Пуассона.

Дифракция Фраунгофера от щели Пусть на бесконечную прямую щель Sh ширины b падает нормально плоская световая волна с длиной λ. Поместим за щелью собирающую линзу, а в ее фокальной плоскости экран. Разобьем мысленно щель (т. е. открытую часть волнового фронта) на очень узкие, одинаковые по ширине, зоны – полоски, параллельные прямолинейным краям щели. Суммирование вторичных волн проведем с помощью векторной диаграммы. Колебания, приходящие в (. ) Р от каждой такой полоски имеют одинаковую амплитуду λ d. A поскольку распространяются Sh парал-лельно другу перед линзой; при этом разность фаз dδ. sinφ ∆=b между колебаниями от соседних φ b полосок будет постоянной. O Линза Таким образом при графическом f построении получим цепочку векто. P P 0 Экран ров d. Ai, одинаковых по модулю и повернутых относительно друга на один и тот же угол dδ, который зависит от угла дифракции φ.

Дифракция Фраунгофера от щели • Условие дифракционных минимумов Результирующую амплитуду – вектор А (см. рис. 1) можно рассматривать как хорду дуги окружности с центром в (. ) С и радиуса R. Для центральной точки Р 0, т. е. при угле дифракции = 0, разность фаз = 0 и векторная диаграмма превращается в прямую цепочку, что соответствует центральному (m = 0) максимуму I 0, который пропорционален А 02(см. рис. 2). d. AN R=A 0/ С |А|= А 0 d. A 1 D=A 0/ d. AN Рис. 2 Рис. 3 А В случае, когда оптическая. А 0=R разность хода Δ, выражаемая как b. sin , равна длине волны λ, то dδ О колебания, исходящие от краев d. A 1 Рис. 1 щели, отличаются по фазе на = 2 , и цепочка векторов оказывается замкнутой на себя (рис. 3), а амплитуда результирующего колебания А обращается в 0. Это первый минимум дифракционной картины, т. е. симметричной относительно (. ) Р 0 системы чередующихся светлых и темных полос.

Дифракция Фраунгофера от щели • Условие дифракционных минимумов Результирующая амплитуда обращается в нуль также при = m. 2 , где m =1, 2, 3, … ( = 2 /λ. Δ). Цепочка элементарных векторов замыкается после m-оборотов, практически не меняя своей длины А 0. Таким образом, условие наблюдаемых на экране минимумов интенсивности Imin: b. sin m = ±m. λ (8) • Условие (дополнительных) максимумов b. sin m = ±(2 m+1)λ/2 (9) при этом разность фаз составляет = (2 m+1) . Так первый дополнительный максимум возникает при условии Δ = b. sin = 3λ/2, в этом случае А 1=2/3 . А 0 колебания, исходящие от противоположных краев щели, отличаются по фазе на = 3. Диаметр полученной после полуторного обхода окружности есть амплитуда этого максимума А 1=2/3. . А 0 Таким образом получаем I 1= (2/3 )2. I 0 ≈ 0, 045. I 0.

Дифракция Фраунгофера от щели Для других максимумов получается соотношение: I 0: I 1: I 2: I 3: …=1: (2/3 )2: (2/5 )2: (2/7 )2: …≈ ≈1: 0, 045: 0, 016: 0, 008: … • Закон распределения интенсивности Из рис. 1 имеем A = 2 R. sin( /2), а так как R = A 0/ , то получаем A = A 0. sin( /2)/( /2). Тогда с учетом, что I ~ A 2, запишем для интенсивности: I = I 0. sin 2 / 2 (10) где = /2 = /λ. Δ = /λ. b. sin . Таким образом интенсивность зависит от угла дифракции Количество минимумов определяется соотношением ширины щели b к длине волны падающего света λ; так как sin = ±mλ/b, а |sin | ≤ 1, то получаем неравенство mλ/b ≤ 1 или для возможных m ≤ b/λ. В случае b < λ минимумы вообще не возникают; здесь освещенность от центра монотонно убывает к краям картины.

Дифракция Фраунгофера от щели • Угловая ширина центрального максимума Краям центрального максимума соответствуют значения угла 1, получающегося из условия b. sin 1= ±λ, т. е. 1=±arcsin(λ/b). Следовательно угловая ширина центрального максимума: = 2. arcsin(λ/b) (11) В случае, когда b>>λ и, следовательно, arcsin(λ/b) ≈ λ/b, получаем: ≈ 2. λ/b. I m=0 m=1 m=-1 m=2 m=-2 – 2λ/b –λ/b 0 λ/b 2λ/b sin

Предельный переход от волновой оптики к геометрической При рассмотрении дифракции Френеля в случае падения на преграду плоской монохроматической волны (λ) было установлено: rm≈ √m. λ. b – радиус m-ой зоны Френеля, и результат дифракции определяется числом m открытых зон Френеля. Следовательно выражение: m = r 2/(λ. b) можно использовать в качестве параметра, позволяющего судить, с каким видом дифракции (френелевой или фраунгоферовой) мы имеем дело в каждом конкретном случае; иначе говоря, для анализа следует определить критерий: p = d 2/(b. λ) (12) где d – некоторый характерный размер преграды (диаметр отверстия, ширина щели и т. п. ; см. следующий слайд). Значение этого критерия (параметра) определяет характер дифракции: • р << 1 дифракция Фраунгофера (т. е. преграда мала по сравнению с удалением b от экрана); • р ~ 1 дифракция Френеля; • р >> 1 приближение геометрической оптики (т. е. очень большая преграда, которая только отбрасывает тень).

Предельный переход от волновой оптики к геометрической Падение плоской монохроматической световой волны на преграду λ Sh b φ P d Экран