Скачать презентацию Лекция 15 И 8 -11 Ряды Скачать презентацию Лекция 15 И 8 -11 Ряды

Lektsia_15_I8-11.ppt

  • Количество слайдов: 58

Лекция 15 (И 8 -11) Ряды. Лекция 15 (И 8 -11) Ряды.

 • Следствие. Отбрасывание конечного числа членов, стоящих в начале ряда, не влияет на • Следствие. Отбрасывание конечного числа членов, стоящих в начале ряда, не влияет на его сходимость (или расходимость), как и не влияет приписывание нескольких новых членов в начале ряда.

 • Теорема 2. Если числовой ряд сходится и сумма его равна S , • Теорема 2. Если числовой ряд сходится и сумма его равна S , то сходится и числовой ряд (где k- const), сумма которого будет равна k. S. • Доказательство.

 • Так как ряд сходится, то , а . А предел n-й частичной • Так как ряд сходится, то , а . А предел n-й частичной суммы ряда будет равен k. S. Действительно:

 • Остаток ряда при n→ стремится к нулю. • Итак, теорема 2 доказана. • Остаток ряда при n→ стремится к нулю. • Итак, теорема 2 доказана. • Теорема 3. Пусть даны два сходящихся числовых ряда и , суммы которых соответственно равны А и В. Тогда ряды и также будут сходящимися, а их суммы соответственно будут равны А+В и А-В. • (Доказать самостоятельно)

Критерий Коши сходимости числового ряда • Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, Критерий Коши сходимости числового ряда • Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы • • имело место неравенство

Необходимый признак сходимости числового ряда • Теорема 4. Если ряд сходится, то . (обратное Необходимый признак сходимости числового ряда • Теорема 4. Если ряд сходится, то . (обратное утверждение неверно)

 • Доказательство. Пусть Sn - n – я • частичная сумма ряда , • Доказательство. Пусть Sn - n – я • частичная сумма ряда , то есть Sn=a 1+a 2+…+an, а Sn-1 - (n-1) –я частичная сумма ряда : Sn-1=a 1+a 2+…+an-1 , тогда аn=Sn –Sn-1. Найдём предел общего члена ряда при n→ . Так как ряд сходится, то и • Следовательно,

 • Пример 1. Ряд вида называется гармоническим рядом. Предел общего члена ряда равен • Пример 1. Ряд вида называется гармоническим рядом. Предел общего члена ряда равен нулю Однако этот ряд является расходящимся. Покажем это позже.

Достаточный признак расходимости числового ряда. Теорема 5. Если предел общего члена числового ряда при Достаточный признак расходимости числового ряда. Теорема 5. Если предел общего члена числового ряда при n→ отличен от нуля, то этот числовой ряд расходится.

 • Доказательство проведём от противного. Предположим, что ряд является сходящимся. Тогда по теореме • Доказательство проведём от противного. Предположим, что ряд является сходящимся. Тогда по теореме 4 , но по условию теоремы. Получили противоречие, то есть наше предположение о сходимости числового ряда неверно, следовательно, данное противоречие доказывает теорему.

 • Пример 2. Исследовать на сходимость ряд Общий член данного ряда Найдем его • Пример 2. Исследовать на сходимость ряд Общий член данного ряда Найдем его предел при n : Так как предел общего члена отличен от нуля, то достаточному признаку расходимости ряда получим, что данный ряд расходится.

Геометрический ряд. Ряд вида , где а 0, называется геометрической прогрессией (или геометрическим рядом). Геометрический ряд. Ряд вида , где а 0, называется геометрической прогрессией (или геометрическим рядом).

 • Пример 3. Покажем, что геометрический ряд сходится при q 1 и его • Пример 3. Покажем, что геометрический ряд сходится при q 1 и его сумма равна • • и расходится при q 1. • Пусть ,

 • Если q=1, то Sn=na и при n последовательность {Sn} является расходящейся. Если • Если q=1, то Sn=na и при n последовательность {Sn} является расходящейся. Если q 1, то можно записать • откуда следует

 • Если q 1, то • и поэтому • Если q 1 или • Если q 1, то • и поэтому • Если q 1 или q= -1, то последовательность • {qn} расходится, следовательно, и {Sn} также • расходится. Что и требовалось доказать.

 • Пример 4. Найти сумму n- первых членов ряда (Sn); доказать сходимость ряда, • Пример 4. Найти сумму n- первых членов ряда (Sn); доказать сходимость ряда, пользуясь определением сходимости; найти сумму ряда (S)

 • Общий член ряда представим в виде суммы • простых дробей с неопределенными • Общий член ряда представим в виде суммы • простых дробей с неопределенными • коэффициентами:

 • Приравнивая коэффициенты при • одинаковых степенях n, получим систему • уравнений для • Приравнивая коэффициенты при • одинаковых степенях n, получим систему • уравнений для определения чисел А и В: • Следовательно, любой член ряда может быть представлен в виде:

 • а частичная сумма Sn примет вид: • а частичная сумма Sn примет вид:

 • Следовательно, • Следовательно,

 • Существование конечного предела частичной суммы ряда доказывает сходимость ряда по определению. Сумма • Существование конечного предела частичной суммы ряда доказывает сходимость ряда по определению. Сумма данного ряда равна 1/3, то есть S=1/3

Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами. Ряды, члены которых неотрицательны, называются знакоположительными Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами. Ряды, члены которых неотрицательны, называются знакоположительными рядами (или положительными). ▫ 1. Признаки сравнения.

 • Теорема 6. Если даны два положительных ряда a 1+а 2+…+аn+… (A) b • Теорема 6. Если даны два положительных ряда a 1+а 2+…+аn+… (A) b 1+b 2+…+bn+… (B) и для всех n N выполняются неравенства 0 an ≤ bn, то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

 • Доказательство. Пусть Аn= a 1+а 2+…+аn , Bn= b 1+b 2+…+bn соответственно • Доказательство. Пусть Аn= a 1+а 2+…+аn , Bn= b 1+b 2+…+bn соответственно частичные суммы рядов (А) и (В). 1) Предположим, что ряд (В) сходится , следовательно, по определению это означает, что существует конечный предел частичных сумм ряда (В):

 • Так как все члены данных рядов положительны, то 0< Bn<B, откуда 0< • Так как все члены данных рядов положительны, то 0< Bn0. Следовательно, по теореме Вейерштрасса последовательность частичных сумм Аn является сходящейся, а значит ряд (А) также является сходящимся.

 • 2) Предположим, что ряд (А) расходящийся. То есть • так как аn>0. • 2) Предположим, что ряд (А) расходящийся. То есть • так как аn>0. Но Аn< Bn , следовательно, • n N. Отсюда следует, что ряд (В) расходится. • Теорема доказана.

 • Замечание 1. Теорема остаётся верной и в случае, когда неравенство an ≤ • Замечание 1. Теорема остаётся верной и в случае, когда неравенство an ≤ bn выполняется не для всех n, а начиная с некоторого номера k, то есть для n k.

2. Предельный признак сравнения • Теорема 7. Если то ряды (А) и (В) ведут 2. Предельный признак сравнения • Теорема 7. Если то ряды (А) и (В) ведут себя одинаково ( то есть, сходятся или расходятся одновременно).

 • Доказательство. • Доказательство.

 • Если ряд (В) сходится, то ряд также сходится, но так как то • Если ряд (В) сходится, то ряд также сходится, но так как то и ряд (А) также сходится. Если ряд (В) расходится, то расходится ряд ( настолько мало, что k- >0) следовательно, ряд (А) также расходится, следовательно, ряды ведут себя одинаково. Что и требовалось доказать.

 • В качестве «эталонных» рядов для сравнения нужно выбирать или ряд, представляющий сумму • В качестве «эталонных» рядов для сравнения нужно выбирать или ряд, представляющий сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, или гармонический ряд, который, как было доказано выше, является расходящимся.

Признак Даламбера. • Теорема 8. Пусть для ряда (А) все члены an>0, начиная с Признак Даламбера. • Теорема 8. Пусть для ряда (А) все члены an>0, начиная с некоторого номера n=n 0, и пусть существует предел тогда ряд (А) ▫ 1)при 0≤ q<1 сходится; ▫ 2) при q>1 расходится; ▫ 3) при q=1 неизвестно (т. е. ряд может ▫ сходиться, а может и расходиться).

Доказательство. • Пусть существует 0≤ q<1, возьмём : q< <1, тогда >0 ( = Доказательство. • Пусть существует 0≤ q<1, возьмём : q< <1, тогда >0 ( = -q) N: n N будет выполняться неравенство • или для всех n N.

 • Тогда для членов ряда с номерами N, N+1, N+2, … будут выполняться • Тогда для членов ряда с номерами N, N+1, N+2, … будут выполняться неравенства • a. N+1< a. N • a. N+2< a. N+1< 2 a. N • a. N+3< a. N+2< 3 a. N …. Члены ряда a. N+1, a. N+2, a. N+3, … …… не превосходят соответствующих членов ряда a. N+ 2 a. N+ 3 a. N+…, который является сходящимся рядом, так как представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем 0< <1.

 • Следовательно, по первому признаку • сравнения ряд a. N+1+a. N+2+a. N+3+……… сходится, • Следовательно, по первому признаку • сравнения ряд a. N+1+a. N+2+a. N+3+……… сходится, следовательно, и ряд (А) также сходится. • В случае q>1 , начиная с некоторого номера • N, будет выполняться неравенство • последовательность возрастающая и , значит не выполнен необходимый признак сходимости ряда, и , следовательно, ряд (А) расходится.

 • Если q=1, то признак Даламбера не применим к исследованию сходимости данного ряда. • Если q=1, то признак Даламбера не применим к исследованию сходимости данного ряда. Нужно воспользоваться другим достаточным признаком, дающим ответ на поставленный вопрос. Итак, признак Даламбера полностью доказан.

 • Заметим, что признак Даламбера хорошо применяется в случаях, когда общий член ряда • Заметим, что признак Даламбера хорошо применяется в случаях, когда общий член ряда содержит факториалы или показательную функцию аргумента n.

Радикальный признак Коши. • Теорема 9. Если, начиная с некоторого номера n=n 0, все Радикальный признак Коши. • Теорема 9. Если, начиная с некоторого номера n=n 0, все члены ряда (А) an 0 и существует предел то ряд (А) • 1) при 0 ≤ q <1 сходится; • 2) при q>1 расходится, • 3) при q=1 неизвестно (требуется дополнительное исследование).

Доказательство. • 1. Пусть q <1. Возьмём такое, что q< <1. Следовательно, • >0 Доказательство. • 1. Пусть q <1. Возьмём такое, что q< <1. Следовательно, • >0 ( -q= ) N: n>N • Но 0< <1 , поэтому ряд является сходящейся геометрической прогрессией , следовательно, по первому признаку сравнения ряд с общим членом an также будет сходящимся.

 • 2. Предположим, что q>1, следовательно, по достаточному признаку расходимости ряда ряд с • 2. Предположим, что q>1, следовательно, по достаточному признаку расходимости ряда ряд с общим членом аn является расходящимся. • 3. Если q=1 , то признак Коши не даёт ответа о сходимости исследуемого ряда. Следует применить другой достаточный признак сходимости ряда. • Теорема доказана.

Интегральный признак Коши. • Теорема 10. Пусть члены ряда (А) таковы, что a 1 Интегральный признак Коши. • Теорема 10. Пусть члены ряда (А) таковы, что a 1 a 2 … an … и пусть f(x) – непрерывная невозрастающая функция при х b 1, такова, что f(n)=an. Тогда ряд (А) и интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Доказательство. y y=f(x) 0 x 1 x 2 xn x Доказательство. y y=f(x) 0 x 1 x 2 xn x

 • Возьмём на графике функции y=f(x) точки х1=1, х2=2, х3=3, …, хn=n. Через • Возьмём на графике функции y=f(x) точки х1=1, х2=2, х3=3, …, хn=n. Через эти точки проведём прямые, параллельные оси ОУ. Построим две ступенчатые фигуры, состоящие из вписанных и описанных прямоугольников. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x) , снизу - осью ОХ, слева прямой х=1, справа – прямой x=n, определяется по формуле

 • Рассмотрим ряд ; n-я – частичная сумма этого ряда имеет вид Площадь • Рассмотрим ряд ; n-я – частичная сумма этого ряда имеет вид Площадь Q+ описанной фигуры, будет равна А площадь Q- вписанной фигуры равна

Из построения графика и свойств функции f(x) , получаем, что • Q -< Q Из построения графика и свойств функции f(x) , получаем, что • Q -< Q + • Следовательно, Так как Sn-1

 • Теперь докажем, что несобственный интеграл и рассматриваемый ряд ведут себя одинаково в • Теперь докажем, что несобственный интеграл и рассматриваемый ряд ведут себя одинаково в смысле сходимости. 1. Пусть несобственный интеграл сходится, тогда так как

 • то есть последовательность Sn является возрастающей и ограниченной сверху, а значит ( • то есть последовательность Sn является возрастающей и ограниченной сверху, а значит ( по теореме Вейерштрасса), она имеет предел, и, следовательно, ряд является сходящимся. 2. Предположим, что несобственный интеграл расходится.

 • Тогда • есть частичные суммы неограниченно растут, • а, следовательно, ряд • • Тогда • есть частичные суммы неограниченно растут, • а, следовательно, ряд • - расходится. • Что и требовалось доказать.

 • Исследование сходимости числового ряда с неотрицательными членами с помощью выделения главной части. • Исследование сходимости числового ряда с неотрицательными членами с помощью выделения главной части. • Сходимость числового ряда с положительными (неотрицательными) членами можно исследовать с помощью перехода к асимптотической формуле (выделения главной части) • ( где k >0, n )

 • При p>1 ряд сходится, при p≤ 1 ряд расходится. Следующая таблица поможет • При p>1 ряд сходится, при p≤ 1 ряд расходится. Следующая таблица поможет определить эквивалентную замену • Эквивалентность при n

 • Данная таблица применима только в случае n • Пример 5. Исследуем сходимость • Данная таблица применима только в случае n • Пример 5. Исследуем сходимость ряда Дирихле

 • Применим интегральный признак, приняв за • Эта функция при р>0 удовлетворяет всем • Применим интегральный признак, приняв за • Эта функция при р>0 удовлетворяет всем условиям теоремы: функция является невозрастающей, непрерывной при x>b>1 и

 • Вычислим интеграл • Вычислим интеграл

 • Получаем, что при р>1 интеграл равен , следовательно, является сходящимся, поэтому и • Получаем, что при р>1 интеграл равен , следовательно, является сходящимся, поэтому и ряд также является сходящимся. В случае р 1 интеграл равен бесконечности, следовательно, ряд будет расходящимся. Заметим, что исследование сходимости этого ряда с помощью признака Даламбера и радикального признака Коши невозможно, так как q=1.

 • Пример. Исследуйте сходимость ряда с помощью признака Даламбера. • Решение. Рассмотрим предел • Пример. Исследуйте сходимость ряда с помощью признака Даламбера. • Решение. Рассмотрим предел отношения последующего члена ряда к предыдущему при n :

так как предел отношения меньше единицы, то по признаку Даламбера данный ряд является сходящимся. так как предел отношения меньше единицы, то по признаку Даламбера данный ряд является сходящимся.