Скачать презентацию Лекция 15 Числовые ряды Основные определения Свойства сходящихся Скачать презентацию Лекция 15 Числовые ряды Основные определения Свойства сходящихся

Лекция 15. Числовые ряды(1).ppt

  • Количество слайдов: 15

Лекция 15. Числовые ряды Основные определения Свойства сходящихся рядов Необходимый признак сходимости ряда Достаточные Лекция 15. Числовые ряды Основные определения Свойства сходящихся рядов Необходимый признак сходимости ряда Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами 1

Основные определения Рассмотрим некоторую числовую последовательность Составим из членов этой последовательности бесконечную сумму Выражение Основные определения Рассмотрим некоторую числовую последовательность Составим из членов этой последовательности бесконечную сумму Выражение (1) называется числовым рядом, - общий член ряда. 2

Пример 1. Если то ряд имеет вид , . Пример 2. Пусть. Последовательно находим Пример 1. Если то ряд имеет вид , . Пример 2. Пусть. Последовательно находим Получаем ряд 3

Конечные суммы называются частичными суммами ряда (1). Если существует конечный предел то числовой ряд Конечные суммы называются частичными суммами ряда (1). Если существует конечный предел то числовой ряд (1) называется сходящимся, а число S суммой ряда. Если или не существует, то ряд (1) называется расходящимся 4

Пример. Показать, что ряд сходится и найти его сумму. Общий член ряда Тогда 5 Пример. Показать, что ряд сходится и найти его сумму. Общий член ряда Тогда 5

Свойства сходящихся рядов Сходящиеся ряды можно почленно складывать, т. е. Постоянный множитель можно вынести Свойства сходящихся рядов Сходящиеся ряды можно почленно складывать, т. е. Постоянный множитель можно вынести за знак ряда, т. е. От сходящегося ряда можно отбросить конечное число членов или наоборот прибавить конечное число слагаемых и при этом сходимость ряда не изменится. 6

Необходимый признак сходимости ряда Теорема. Если ряд Если же сходится, то ряд расходится. Пример. Необходимый признак сходимости ряда Теорема. Если ряд Если же сходится, то ряд расходится. Пример. Исследовать сходимость ряда ряд расходится. Замечание. Рассмотренная теорема выражает лишь необходимый, но не достаточный признак сходимости ряда. Если , то из этого еще не следует, что ряд сходится. Например гармонический ряд - расходится. 7

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Признак сравнения. Пусть даны ряды и Если Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами Признак сравнения. Пусть даны ряды и Если ряд с большими членами сходится, то сходится и ряд с меньшими членами. Если же ряд с меньшими членами расходится, то расходится и ряд с большими членами. Признак сравнения в интегральной форме. Если существует конечный и отличный от нуля то ряды и сходятся или расходятся одновременно. 8

Для сравнения наиболее часто используют следующие «эталонные» ряды: геометрическая прогрессия сходится при и расходится Для сравнения наиболее часто используют следующие «эталонные» ряды: геометрическая прогрессия сходится при и расходится при Гармонический ряд расходится Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при 9

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд Сравним данный ряд с гармоническим то есть члены Пример 1. Исследовать на сходимость ряд Сравним данный ряд с гармоническим то есть члены данного ряда больше членов расходящегося гармонического ряда, следовательно данный ряд расходится. Пример 2. Исследовать на сходимость ряд Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим данный ряд расходится. 10

Признак Даламбера. Пусть для ряда с положительными членами существует Тогда если D<1, то ряд Признак Даламбера. Пусть для ряда с положительными членами существует Тогда если D<1, то ряд сходится; если D>1, то ряд расходится; если D=1, то признак ответа о сходимости не дает. Пример. Исследовать на сходимость ряд . Ряд сходится. 11

Признак Коши. Пусть для ряда с положительными членами существует Тогда если К<1, то ряд Признак Коши. Пусть для ряда с положительными членами существует Тогда если К<1, то ряд сходится; если К>1, то ряд расходится; если К=1, то признак ответа о сходимости не дает. Пример. Исследовать на сходимость ряд Ряд расходится. 12

Интегральный признак. Пусть члены ряда Пусть функция положительны и при . имеет значения положительна Интегральный признак. Пусть члены ряда Пусть функция положительны и при . имеет значения положительна и монотонно убывает при , . Тогда числовой ряд сходится или расходится вместе с несобственным интегралом 13

Пример 1. Обобщенный гармонический ряд. Исследовать на сходимость ряд Функция . монотонно убывает. Несобственный Пример 1. Обобщенный гармонический ряд. Исследовать на сходимость ряд Функция . монотонно убывает. Несобственный интеграл Ряд расходится при p<1 и сходится при p>1. Например, ряд - расходится, так как 14

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд Члены ряда Функция убывает при . и монотонно Пример 2. Исследовать на сходимость ряд Члены ряда Функция убывает при . и монотонно убывают. также положительна и монотонно. Несобственный интеграл, а вместе с ним и числовой ряд расходятся. 15