Скачать презентацию Лекція 14 Тема Диференціал Основні теореми диференціального числення Скачать презентацию Лекція 14 Тема Диференціал Основні теореми диференціального числення

Вищ. мат тема (14).ppt

  • Количество слайдов: 16

Лекція 14 Тема. Диференціал. Основні теореми диференціального числення. 1. Диференціал. Застосування диференціала до наближених Лекція 14 Тема. Диференціал. Основні теореми диференціального числення. 1. Диференціал. Застосування диференціала до наближених обчислень. Поняття диференціала тісно пов’язане з поняттям похідної і відноситься до основних понять математичного аналізу. Термін „диференціал” від латинського „differentia” – різниця ввів в математику видатний німецький математик Лейбніц (1646— 1716 р. ).

Нехай функція диференційовна в точці тобто в цій точці вона має похідну тоді за Нехай функція диференційовна в точці тобто в цій точці вона має похідну тоді за властивістю границі (якщо функція має границю, то її можна подати у вигляді суми цієї границі та нескінченно малої величини) маємо Перший доданок лінійний відносно , а другий— нескінченно мала величина. Таким чином, перший доданок—це головна частина приросту функції. Означення 1. Головну, лінійну відносно частину приросту функції називають диференціалом функції і позначають Якщо , то , тобто

Властивості диференціала пов’язані з властивостями похідної. 1. Диференціал сталої величини дорівнює 0. 2. Сталий Властивості диференціала пов’язані з властивостями похідної. 1. Диференціал сталої величини дорівнює 0. 2. Сталий множник можна виносити за знак диференціала . 3. Диференціал суми функцій дорівнює сумі диференціалів від функцій доданків . 4. Диференціал добутку дорівнює сумі добутку диференціалу першого множника на другий множник та добутку диференціала другого множника на перший .

5. Диференціал частки знаходиться за формулою . 6. Диференціал складної функції. Нехай Приклад 1. 5. Диференціал частки знаходиться за формулою . 6. Диференціал складної функції. Нехай Приклад 1. Знайти диференціал функції в точці та при . Розв’язання. , , при При

Оскільки диференціал це головна частина приросту функції, то справедлива рівність , . Диференціал використовують Оскільки диференціал це головна частина приросту функції, то справедлива рівність , . Диференціал використовують для наближених обчислень значень функції за допомогою формули .

Приклад 2. Наближено обчислити . Розв’язання. Маємо функцію тоді формула має вигляд або . Приклад 2. Наближено обчислити . Розв’язання. Маємо функцію тоді формула має вигляд або . Підставимо у формулу конкретні значення і одержимо і одержимо

2. Основні теореми диференціального числення. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші. Теорема Ферма. Нехай функція 2. Основні теореми диференціального числення. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші. Теорема Ферма. Нехай функція неперервна на інтервалі і набуває свого найбільшого або найменшого значення у деякій точці цього інтервалу. Тоді якщо в точці існує похідна , то . 0 a c b х

Доведення. Нехай в точці с функція має , тоді для довільних точок х, . Доведення. Нехай в точці с функція має , тоді для довільних точок х, . а отже, і для виконується нерівність при тобто , що й треба було довести. Якщо в точці функція має , то проводять аналогічні міркування.

Геометричний зміст теореми. Якщо в точці функція досягає найбільшого або найменшого значення, то дотична Геометричний зміст теореми. Якщо в точці функція досягає найбільшого або найменшого значення, то дотична до графіка цієї функції в точці паралельна осі . Теорема Ролля. Якщо функція неперервна на відрізку диференційовна в інтервалі і на кінцях відрізку набуває рівних значень , то знайдеться хоча б одна точка , в якій

0 a c b x 0 a c 1 c 2 b x 0 0 a c b x 0 a c 1 c 2 b x 0 a c b х

Геометричний зміст теореми. Якщо функція задовольняє умови теореми Ролля, то на графіку функції існує Геометричний зміст теореми. Якщо функція задовольняє умови теореми Ролля, то на графіку функції існує хоча б одна точка, в якій дотична паралельна до осі . Зауваження. Всі три умови теореми Ролля суттєві; якщо хоча б одна з них не виконується, то теорема Ролля не справджується.

Теорема Коші. Якщо функції і неперервні на відрізку диференційовні в інтервалі , причому , Теорема Коші. Якщо функції і неперервні на відрізку диференційовні в інтервалі , причому , , то існує точка , що Теорема Лагранжа (про скінчений приріст функції). Якщо функція неперервна на відрізку диференційована в інтервалі , то в середині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка в якій .

Геометричний зміст. Якщо функція задовольняє умовам теореми Лагранжа, то на графіку цієї функції знайдеться Геометричний зміст. Якщо функція задовольняє умовам теореми Лагранжа, то на графіку цієї функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка паралельна хорді, що сполучає кінці кривої.

Правило Лопіталя. Нехай функції та визначені і диференційовані в околі точки , частка в Правило Лопіталя. Нехай функції та визначені і диференційовані в околі точки , частка в точці має невизначеність або існує , тоді існує і виконується рівність Зауваження. Правило Лопіталя можна застосовувати повторно.

Приклад 3. Знайти границі за правилом Лопіталя: а) ; б) ; в) ; г) Приклад 3. Знайти границі за правилом Лопіталя: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Розв’язання. а) б) в)

г) д) . Позначимо , тоді , , отже, . г) д) . Позначимо , тоді , , отже, .