Лекція 14 Тема Диференціал Основні теореми диференціального числення

Лекція 14 Тема. Диференціал. Основні теореми диференціального числення. 1. Диференціал. Застосування диференціала до наближених обчислень. Поняття диференціала тісно пов’язане з поняттям похідної і відноситься до основних понять математичного аналізу. Термін „диференціал” від латинського „differentia” – різниця ввів в математику видатний німецький математик Лейбніц (1646— 1716 р. ).

Нехай функція диференційовна в точці тобто в цій точці вона має похідну тоді за властивістю границі (якщо функція має границю, то її можна подати у вигляді суми цієї границі та нескінченно малої величини) маємо Перший доданок лінійний відносно , а другий— нескінченно мала величина. Таким чином, перший доданок—це головна частина приросту функції. Означення 1. Головну, лінійну відносно частину приросту функції називають диференціалом функції і позначають Якщо , то , тобто

Властивості диференціала пов’язані з властивостями похідної. 1. Диференціал сталої величини дорівнює 0. 2. Сталий множник можна виносити за знак диференціала . 3. Диференціал суми функцій дорівнює сумі диференціалів від функцій доданків . 4. Диференціал добутку дорівнює сумі добутку диференціалу першого множника на другий множник та добутку диференціала другого множника на перший .

5. Диференціал частки знаходиться за формулою . 6. Диференціал складної функції. Нехай Приклад 1. Знайти диференціал функції в точці та при . Розв’язання. , , при При

Оскільки диференціал це головна частина приросту функції, то справедлива рівність , . Диференціал використовують для наближених обчислень значень функції за допомогою формули .

Приклад 2. Наближено обчислити . Розв’язання. Маємо функцію тоді формула має вигляд або . Підставимо у формулу конкретні значення і одержимо і одержимо

2. Основні теореми диференціального числення. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші. Теорема Ферма. Нехай функція неперервна на інтервалі і набуває свого найбільшого або найменшого значення у деякій точці цього інтервалу. Тоді якщо в точці існує похідна , то . 0 a c b х

Доведення. Нехай в точці с функція має , тоді для довільних точок х, . а отже, і для виконується нерівність при тобто , що й треба було довести. Якщо в точці функція має , то проводять аналогічні міркування.

Геометричний зміст теореми. Якщо в точці функція досягає найбільшого або найменшого значення, то дотична до графіка цієї функції в точці паралельна осі . Теорема Ролля. Якщо функція неперервна на відрізку диференційовна в інтервалі і на кінцях відрізку набуває рівних значень , то знайдеться хоча б одна точка , в якій

0 a c b x 0 a c 1 c 2 b x 0 a c b х

Геометричний зміст теореми. Якщо функція задовольняє умови теореми Ролля, то на графіку функції існує хоча б одна точка, в якій дотична паралельна до осі . Зауваження. Всі три умови теореми Ролля суттєві; якщо хоча б одна з них не виконується, то теорема Ролля не справджується.

Теорема Коші. Якщо функції і неперервні на відрізку диференційовні в інтервалі , причому , , то існує точка , що Теорема Лагранжа (про скінчений приріст функції). Якщо функція неперервна на відрізку диференційована в інтервалі , то в середині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка в якій .

Геометричний зміст. Якщо функція задовольняє умовам теореми Лагранжа, то на графіку цієї функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка паралельна хорді, що сполучає кінці кривої.

Правило Лопіталя. Нехай функції та визначені і диференційовані в околі точки , частка в точці має невизначеність або існує , тоді існує і виконується рівність Зауваження. Правило Лопіталя можна застосовувати повторно.

Приклад 3. Знайти границі за правилом Лопіталя: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Розв’язання. а) б) в)

г) д) . Позначимо , тоді , , отже, .