Лекция 14 Пересечение поверхностей метод вспомогательных концентрических сфер

Лекция 14 «Пересечение поверхностей, метод вспомогательных концентрических сфер» 1

Для применения метода концентрических сфер необходимо выполнение трех условий: 1) Обе пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения; 2) Оси поверхностей должны пересекаться; 3) Поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, т. е. оси поверхностей должны лежать в одной плоскости. 2

Алгоритм решения 2 ГПЗ. 1. Находим центр секущих сфер – точку пересечения осей вращения заданных поверхностей. 2. Находим минимальный радиус сферы (Rmin). Сфера минимального радиуса должна одну поверхность пресекать, а другой касаться, т. е. быть вписанной. 3. Находим радиус максимальной секущей сферы, она должна проходить через самую дальнюю точку пересечения очерков поверхностей. 4. Строим линии пересечения сферы Rmin с заданными поверхностями. 5. Определяем точки пресечения построенных линий. 6. Произвольно выбираем последовательно ряд промежуточных секущих сфер и повторяем построения по пунктам 4 и 5. 7. Соединяем точки плавной кривой линией с учетом видимости. 3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Лекция 15 «Пересечение прямой с поверхностью (1 ГПЗ)» 20

Алгоритм решения такой же как при пересечении прямой с плоскостью. 21

22

23

24

25

26

27

28

29

Условие задачи: Определить точки пересечения прямой, заданной отрезком АВ, с поверхностью. Решить вопрос видимости прямой. 30

S 2 Заданы поверхность прямого кругового конуса и отрезок прямой общего положения АВ A 2 B 2 S 1 B 1 A 1 31

S 2 A 2 B 2 S 1 Для того, чтобы секущая плоскость пересекла обе фигуры по простым для построения линиям, ее надо задать «через» прямую, так как пересечением прямой и плоскости, если прямая принадлежит этой плоскости, является сама прямая. B 1 A 1 32

S 2 α 2 A 2 B 2 S 1 A 1 B 1 Однако, если зададим фронтально проецирующую плоскость α (α 2 ), то линией пересечения этой плоскости с поверхностью конуса будет эллипс, что не является простой для построения линией. 33

S 2 A 2 B 2 S 1 A 1 B 1 Если зададим горизонтально проецирующую плоскость α (α 1), то линией пересечения этой плоскости с поверхностью конуса будет гипербола, что так же не является простой для построения линией. α 1 34

S 2 A 2 B 2 S 1 A 1 Если в качестве посредника воспользоваться плоскостью общего положения и задать ее через вершину конуса, то линией B 1 пересечения этой плоскости с поверхностью будут две пересекающиеся прямые. 35

S Рассмотрим решение задачи на примере пространственной модели. Следует иметь ввиду, что линия среза (основание конуса) должна принадлежать плоскости проекций, или надо дополнительно вводить плоскость уровня П 0 , чтобы основание принадлежало этой плоскости. . A B П 0 36

S Зададим плоскость общего положения двумя пересекающимися прямыми, одна из которых - заданная АВ, а другую зададим через вершину S и точку на прямой АВ, например, через точку А ( можно задать любую другую точку на этой прямой). A B П 0 37

S Построим следы плоскости общего положения SАВ на плоскости проекций (П 0 ), для чего найдем следы прямой S А (точка М). A B П 0 M 38

S Построим следы плоскости общего положения SАВ на плоскости проекций (П 0 ), для чего найдем следы прямой S А (точка М). И следы прямой АВ (точка Т). A П 0 B Т M 39

S Следом плоскости общего положения SАВ на плоскости проекций (П 0 ) является прямая (отрезок) МТ. В этой же плоскости П 0 лежит основание конуса. A П 0 B Т M 40

Следом плоскости общего положения SАВ на плоскости проекций (П 0 ) является прямая (отрезок) МТ. В этой же плоскости П 0 лежит основание конуса. S Отмечаем точки 1 и 2 взаимного пересечения основания конуса и следа плоскости МТ. A П 0 B Т M 2 1 41

Пересечением плоскости общего положения SАВ с поверхностью конуса являются две прямые S 1 и S 2. S A П 0 B Т M 2 1 42

Отрезки АВ, S 1 и S 2 принадлежат плоскости SМТ. Следовательно, точки D и Е (пересечение АВ с отрезками S 1 и S 2) являются точками пересечения АВ с поверхностью конуса. S A C D П 0 B Т M 2 1 43

Отрезки АВ, S 1 и S 2 принадлежат плоскости SМТ. Следовательно, точки D и Е (пересечение АВ с отрезками S 1 и S 2) являются точками пересечения АВ с поверхностью конуса. S A C D B Т M 2 1 44

S A C D B 45

S A C D B 46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56